Свойства годографа Найквиста

1. Годограф Найквиста спиралевиден.

2. При  годограф W(j)0, т.к. нет безинерционных систем.

3. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси.

4. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси "+1".

5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в  и приращению его фазы на -180°.

Примеры годографов Найквиста статических САР ([0...+))

1. САР на колебательной границе устойчивости.

2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3. Неустойчивая САР.

4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

Примеры годографов Найквиста астатических сар и сар с чисто мнимыми корнями

1. Устойчивая САР с астатизмом первого порядка.

2. Устойчивая САР с астатизмом второго порядка.

3. Устойчивая САР с астатизмом третьего порядка.

4. Неустойчивая САР с консервативным звеном.

5. Устойчивая САР с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

54 Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Логарифмический критерий – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления.

Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Формулировка критерия: для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля число переходов фазовой характеристикипрямойснизу верх превышало начисло переходов сверху вниз, где а – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

В частном случае для устойчивой разомкнутой системы (а=0) необходимым и достаточным условием замкнутой системы является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой, или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз.

Рис. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ

Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости.

Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости.

,

где — частота, при которой фазовая характеристика равна.

Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости.

,

где – значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие.

Построение областей устойчивости - d-разбиение

Пусть имеем произвольную передаточную функцию систем:

,

и требуется оценить влияние разброса параметров на устойчивость.

Выделим два параметра (K и T_i), влияние которых на устойчивость следует оценить. Остальные параметры зафиксируем. Воспользуемся алгоритмом:

Итог итерационного алгоритма - область устойчивости (D-разбиение) ограниченная осями и графиком (уменьшение K и одной из постоянных времени объекта, как правило, положительно сказывается на устойчивости).

При заданной частоте существует только одна координата (K, T_i), которой будет соответствовать положение системы на границе устойчивости.

Наиболее удобно в итерационном алгоритме для системы любого порядка использовать критерий Михайлова, тогда уравнение границы:

D(j) = 1+ W(j) = 1 + R(j)/Q(j) = R(j) + Q(j) = 0,

т.е.     K (1 + T₃(j)) ... + j(1 + T₁(j)) (1+T₂(j)) ... = 0