Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

образовательная функция изучения математических моделей объектов ок-

ружающего мира имеет бинарное назначение: с одной стороны способст-

вует усвоению содержания школьного курса математики, а с другой – по-

казывает приложения этого курса к изучению объектов окружающего ми-

ра. Эта функция математического моделирования положена нами в основу одного из классификационных признаков задач на приложения – «по по-

становке задачи».

Например, при изучении школьного курса геометрии имеется воз-

можность показать, что одни и те же математические модели (по сути, изу-

ченные определения, свойства, формулы и т.п.) могут быть использованы для изучения различных реальных объектов, а, следовательно, расширить область применения полученных знаний. Сравним следующие две задачи,

которые иллюстрируют универсальность математических знаний. Матема-

тическая модель условия этих задач одинаковая – по гипотенузе и острому углу прямоугольного треугольника вычислить противолежащий катет.

Лестница длиной 12 м прислонена к стене дома. Угол ее наклона

кповерхности земли равен 72°. Какой высоты достигает верхний конец лестницы?

Угол подъема при взлете модели самолета равен 30°. На какую высоту поднимется самолет, пролетев 200 м, если угол подъема оста-

нется неизменным?

При решении этих задач учащиеся, с одной стороны, приобретают умение находить в прямоугольном треугольнике по двум заданным эле-

ментам – третий, а с другой стороны – убеждаются в универсальности ма-

тематических знаний, в их применимости к описанию объектов различной природы.

Знакомство с различными моделями окружающей действительности расширяет знания учащихся о мире. В следующей задаче приведен пример использования геометрии в геодезии. Здесь же мы можем продемонстри-

ровать иерархичность моделей выбранного объекта – если некоторые мо-

231

дели объединены одной целью, но с различной степенью точности отра-

жают моделируемый объект, то говорят, что такие модели составляют ие-

рархию.

 Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе.

Приведем ее решение. Земля имеет форму геоида. Эта модель Земли не позволит решить задачу средствами школьного курса геометрии. По-

этому упростим ее. Пусть моделью формы Земли будет сфера. Меридианы являются большими окружностями на сфере, с радиусом, равным радиусу Земли. Кратчайшим расстоянием между ними является дуга большой ок-

ружности (экватора), соответствующей углу в 1°. Значит, необходимо вычислить длину дуги окружности заданного радиуса. Радиус Земли R

можно принять равным 6371 км. Тогда по формуле длины дуги окружно-

сти имеем: L = R . Подставив заданные значения, приближенно полу-

180

чим 111,13 км.

Таким образом, иерархия моделей здесь представлена цепочкой гео-

ид – сфера. Такое упрощение модели земли позволяет решить задачу сред-

ствами школьного курса математики, однако не дает возможности исполь-

зовать приведенный способ решения, например, для прокладывания курса корабля. (Этот способ решения не позволяет найти истинного расстояния между меридианами.)

2. Функция контроля учебной деятельности учащихся. Эта функция моделирования на сегодняшний день приобретает особую актуальность в связи с включением в содержание ГИА и ЕГЭ задач, связанных с практи-

ческими приложениями математики в школе. Рассматриваемая функция нашла отражение в нескольких классификационных признаках задач на приложения – «по математическим методам решения», «по сложности применения метода математического моделирования», «по назначению в обучении», о которых шла речь ранее. На основании этих классификаци-

232

онных признаков возможно отбирать задачи на приложения, предназна-

ченные для контроля сформированности общеучебных и прикладных ма-

тематических умений школьников.

Приведем примеры. Построение математической модели, сформули-

рованной в задаче ситуации, позволяет учителю убедиться в том, что зна-

ния учащихся носят не формальный характер. Так, при изучении третьего признака равенства треугольников, вводится понятие «жесткости» фигуры.

Следующая задача поможет учителю проконтролировать понимание уча-

щимися сути изученного понятия.

 Прямоугольная калитка (рис. 26, слева) со временем расшатыва-

ется и становится похожей на параллелограмм. Этого можно избежать,

прибив к ней ещѐ одну планку. Только надо знать, как это сделать. (Вер-

ный ответ на рис. 26 справа.)

Рис. 26

При решении этой задачи ученик должен «увидеть» треугольники,

образуемые досками, из которых сделана калитка. В этом случае учитель может считать, что ученик не только запомнил признак равенства тре-

угольников по трем сторонам, но и умеет использовать его для разрешения ситуации, близкой к реальной.

3. Интерпретационная функция. Эта функция отражает принцип множественности моделей, принятый в прикладной математике. Известно, что один и тот же объект может быть представлен с помощью различных моделей в зависимости от цели исследования объекта. Например, окружность задается с помощью указания ее радиуса, уравнением относительно осей координат, а также с помощью чертежа. В одних случаях целесообраз-

233

но воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Каждая из этих моделей является ее интерпретацией.

Рассматриваемая функция также связана с тем, что выбранная математическая модель должна удовлетворять ряду требований. Это требования адекватности (соответствия математической модели реальному объекту); точности; достаточной простоты; полноты; продуктивности (доступности исходных данных – в справочниках или эмпирическим путем).

Приведем иллюстрацию требования адекватности рассматриваемого объекта его математической модели. Математическая модель объекта должна быть ему адекватна с точки зрения заданной цели исследования, т.е. отражать требуемые характеристики этого объекта. Следующий пример иллюстрирует сказанное.

 Перед вами стеклянные чайники четырѐх моделей одинаковой вместимости (рис. 27). В каком чайнике заваренный чай останется тѐплым дольше?

Рис. 27

Для решения задачи учащимся необходимо выделить те характери-

стики объектов (чайников), которые повлияют на скорость остывания. Это может быть материал, из которого изготовлены чайники; объем и свойства жидкости, в них налитой; а также площадь поверхности чайника. Так как первые две характеристики у всех чайников одинаковые, остается сравнить последнюю. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорцио-

нально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чай-

234

ника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности

учетвѐртого чайника, так как его форма близка к сфере.

Впроцессе изучения школьного курса геометрии имеется возмож-

ность показать, что при построении математических моделей в прикладной математике реальная ситуация описывается приближенно, т.к. в модели невозможно (да и нет необходимости) учесть все связи и характеристики изучаемых объектов. Отбрасывание второстепенных деталей облегчает изучение отраженного в модели объекта.

В условии следующей задачи уже даны все необходимые упрощения.

Сама задача может рассматриваться как содержательная модель реальной ситуации.

 Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит во-

круг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере, та дуга земной по-

верхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400 км.

4. Функция реализации межпредметных связей. Как было показано ранее, содержание понятия математического моделирования является главной составляющей прикладной математики. Поэтому четвертая функ-

ция связана с проблемой ознакомления школьников с областями знаний,

где возможно применение метода математического моделирования для ис-

следования объектов действительности. Эта функция математического мо-

делирования положена в основу классификационного признака задач на приложения – «по области приложений» Традиционно, в школьном курсе математики, межпредметные связи иллюстрируются на примере решения задач с физическим содержанием. Здесь мы приведем иллюстрацию, свя-

занную с изучением химии.

Расстановка коэффициентов в уравнениях химических реакций мо-

жет занять немало времени, если делать это методом подбора. Если же к решению этой проблемы применить математические знания и составить небольшой алгоритм, основанный на решении системы уравнений, то по-

235

шаговое его выполнение позволит расставлять коэффициенты в химиче-

ских уравнениях любой сложности. Итак:

1)Обозначим неизвестные коэффициенты химического уравнения x, y, z, и т.д.

2)Составим уравнения, определяющие количество атомов каждого химического элемента, входящего в состав реагирующих веществ до и по-

сле реакции. Для этого перемножим соответствующие коэффициенты и

индексы.

3)Выберем переменную, которая в составленной системе принимает наименьшее значение, и приравняем ее единице.

4)Вычислим значения остальных переменных. Если хотя бы одно из полученных значений окажется дробным, необходимо вернуться к преды-

дущему пункту и увеличить значение выбранной переменной на единицу.

Расчет будет закончен, если все полученные значения коэффициен-

тов – целые числа. Продемонстрируем выполнение алгоритма на примере.

Пусть требуется расставить коэффициенты в следующем уравнении:

СаО + Р2О5 Са3(РО4)2

1. Введем обозначения для неизвестных коэффициентов:

х СаО + yР2О5 = z Са3(РО4)2

2. Составляем уравнение для каждого химического элемента:

Са: х = Зz; Р: 2y = 2z; О: x + 5y = 8z

x 3z

Получаем систему уравнений: y z

x 5 y 8z

3.Пусть z = 1.

4.Тогда, решая систему уравнений, получим: x = 3, y = 1. Так как все полученные значения – целые, расчет прекращается.

Ответ: ЗСаО + Р2О5 = Са3(РО4)2

Приведенный способ расстановки коэффициентов в уравнении хи-

мической реакции демонстрирует школьникам межпредметные связи ал-

236

гебры и химии. Изученный учащимися способ является для них актуаль-

ным и значимым для успешной учебной деятельности. Учащиеся убежда-

ются, что полученные математические знания, связанные с составлением и решением систем линейных уравнений, действительно будут ими востре-

бованы при изучении химии.

Представленные функции (образовательная, контроля учебной дея-

тельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей) и наше понимание их в контексте практико-ориентированного обу-

чения математике позволили нам выделить ряд особенностей обучения школьников математическому моделированию, которые включены нами в конструируемую методическую систему подготовки учителя.

2.4.4. Методические особенности обучения математическому моделированию в практико-ориентированном обучении математике в школе

Как уже отмечалось ранее, реализация линии практических приложений математики в школе происходит поэтапно: на пропедевтическом,

подготовительном, основном и заключительном этапах. Формирование прикладных математических умений школьников, связанных с обучением методу математического моделирования, происходит на каждом этапе на различных уровнях. Эти уровни определены четырьмя уровнями сложности задачи на приложения, напомним их:

I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель.

II. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями.

III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно. Требуется учет реально сложив-

шихся условий.

IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их матема-

тические эквиваленты неизвестны школьникам.

237

Таким образом, в практико-ориентированном обучении при реализа-

ции соответствующей линии предусмотрено поэтапное усложнение задач на приложения. Для успешного обучения школьников решению таких за-

дач методом математического моделирования, учителю необходимо учесть ряд особенностей этого процесса, среди которых мы выделяем: использо-

вание подготовительных упражнений; сопровождение изложения теоре-

тического материала примерами приложений математики; использова-

ние поисковых домашних заданий; реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Остановимся на них подробнее.

1. Использование подготовительных упражнений. На каждом этапе реализации линии учащимся необходимо не только решать задачи на при-

ложения соответствующего уровня сложности, но и выполнять подготови-

тельные упражнения на отработку того или иного этапа метода математи-

ческого моделирования. Эти упражнения могут примыкать к задачам в ка-

честве дополнительных заданий и вопросов или предлагаться как само-

стоятельные задания.

2. Сопровождение изложения теоретического материала примера-

ми приложений математики. Деятельность учителя, связанная с обучени-

ем математическому моделированию в условиях ограниченности урочного времени, может быть организована в форме комментариев с прикладных позиций изложения учебного теоретического материала, решения матема-

тических задач. Примеры практических приложений математики приво-

дятся с учетом возрастных интересов школьников, этапа реализации линии и служат подготовкой к изучению метода математического моделирова-

ния.

3. Использование поисковых домашних заданий. При постановке до-

машних заданий учителю необходимо предлагать заинтересованным уча-

щимся дополнительные задания на поиск приложений математики, содер-

жание которых может быть связано с интересами и увлечениями школьни-

ка, с выбранным им профилем обучения. Такие домашние задания направ-

238

лены на подготовку школьников к прикладной проектной и исследователь-

ской деятельности.

4. Реализация бинарного подхода в отборе практических приложе-

ний математики. Подбор задач на приложения необходимо осуществлять с учетом бинарного назначения практических приложений математики в обучении (с одной стороны – обучение приложениям математики, с другой

– обучение математике через ее приложения). При постановке курсов по выбору и элективных курсов прикладной направленности отбор содержа-

ния определяется необходимостью рассмотрения разделов математики,

служащих с одной стороны теоретической основой приложений математи-

ки, а с другой стороны расширяющих и углубляющих знания учащихся по школьному курсу математики.

Учет перечисленных методических особенностей позволит сделать процесс обучения методу математического моделирования непрерывным и поступательным, что обеспечит качественную подготовку школьника к решению задач практического характера, включенных в государствен-

ную итоговую аттестацию по математике на основной и старшей ступени общего образования.

Приведем пример поискового домашнего задания по теме «Объемы и площади поверхности тел. Вычисление коэффициента комфортности жилища», иллюстрирующий третью выделенную нами особенность обуче-

ния школьников математическому моделированию (использование поис-

ковых домашних заданий).

Постановка задания. Установите геометрическую форму и размеры различных национальных типов жилья народов мира. Вычислите коэффи-

циент комфортности жилища по следующей формуле: где V – объем, S –

площадь поверхности фигуры. Данные представьте в таблице по следую-

щим столбцам: 1) название жилища, 2) изображение жилища; 3) значение коэффициента комфортности. Сделайте вывод, какое жилье, на ваш взгляд,

является наиболее комфортным?

239

Для выполнения задания необходимо определить критерий ком-

фортности жилья. Сравнивать жилища по комфортности учащиеся могут относительно традиционного европейского жилища. Поисковая деятель-

ность учащихся состоит в самостоятельном анализе научно-популярной,

справочной литературы и вычленении из ее содержания сведений о форме и размерах различных национальных жилищ. Обучающие возможности этого задания обоснованы большим выбором форм жилищ. При вычисле-

нии их объемов и площадей поверхностей отрабатываются необходимые для усвоения этой темы умения и навыки. При выполнении этого задания у учащихся формируются следующие поисковые, исследовательские навы-

ки: работа с информационными источниками, анализ и выделение главно-

го, систематизация, сравнение и обобщение информации и т.п. Жилища,

которые могут выбрать учащиеся:

1. Восточносибирский чум – конус, высотой h = 4 м и радиусом ос-

нования r = 3 м.

2.Жилище эскимосов на Аляске – конус, высотой h = 5м и радиусом основания r = 4м.

3.Жилище береговых чукчей – цилиндр (основание), высотой Н = 1,3 м;

конус (крыша), высотой h = 2 м и радиусом основания r = 2,5 м.

4. Жилище аборигенов Северной Австралии – часть сферы, высотой h = 2,5 м и радиусом основания r = 3 м.

5.Жилище народов кирди в Камеруне – цилиндр, высотой h = 2 м

ирадиусом основания r = 6 м.

6.Традиционное европейское жилище – комната в форме прямо-

угольного параллелепипеда, ребра которого равны 6 м; 3 м; 2,7 м.

Результаты обсуждаются совместно со всеми учащимися, выпол-

нявшими это задание. По результатам вычислений выбирается самое ком-

фортное жилище, согласно установленному критерию. Также целесооб-

разно с учащимися обсудить возможные погрешности вычислений, сде-

ланные допущения и упрощения.

240