подробное обсуждение в разделе 2.3). Более того, коэффициенты в членах δφy первой и второй степени могут иметь разные знаки, приводя к нулевой ошибке при ненулевом значении y (к сожалению, это значение, даже если существует, разное для разных характеристик светорассеяния).

2.2.2.3. Ошибки формы

В этом параграфе анализ ошибок обобщается на частицы, форма которых не может быть точно описана набором кубических элементов. Дискретизация проводится так же, как и в подразделе 2.1.2, но теперь некоторые Vi некубические (при i∂V, что означает, что диполь i лежит на поверхности объёма V). Так же как и раньше ri расположены в центре куба (описанного вокруг Vi), чтобы не нарушать регулярность решётки. Стандартная формулировка ПП использует одинаковые объёмы диполей

(Vi = d 3) в формулах (12), (23), (97) и (98), т.е. дискретизация немного изменяет форму частицы. Мы оценим ошибку вносимую этими поверхностными диполями, потом её следует добавить к той, что была получена в параграфе 2.2.2.2. Начинаем с оценки

hd , сперва рассмотрим hd для i∂V

1 i

d

=

3

′

′

′

3

(0)

,

(143)

hi

∑

∫d

r G(ri

,r )p(r ) − d

Gij

p j

j ∂V Vj

что получается из формулы (106). При i∂V к hid

дополнительно добавляется ошибка

самонаведённого члена

4π

d

3

′

′

′

3

(0)

h

=

G

p

+ M(V

,r ) −

.

i

∫

d

r G(r

,r )p(r ) − d

ij

j

,r ) − L(∂V

3

Ι p

(144)

j∑∂V

i

i

i

i

i

i

j≠i

Vj

Обозначим:

sh

=

∫

3

′

′

′

− d

3

(0)

p j ,

hij

d

r G(ri ,r )p(r )

Gij

(145)

Vj

sh

4π

(146)

hii = M(Vi ,ri ) − L(∂Vi ,ri ) −

3

Ι pi .

В формуле (145) каждый член оценивается независимо (так как нет существенного сокращения, и ошибка того же порядка, что и сами значения), используя неравенства

(102) [для p(r) и G(r) ] и (103). Это приводит к

	c d 3R				−3 , R	< 2,
hshij		62		ij	ij	(147)
	≤		d 3
	c	63		,	R	>1.
					ij

71

Чтобы оценить hshii , предположим, что поверхность частицы является плоской в масштабе одного диполя, в любом случае конечная кривизна только изменит постоянные в следующих выражениях. Будем доказывать, что

hiish

≤ c64 ,

(148)

следовательно можно совсем не рассматривать третий член в формуле (146) (связанный с единичным тензором), так как он ограничен сверху постоянной. Распишем

3

′

′

st

′

′

3

′

st

′

′

(149)

M(Vi ,ri ) = ∫d

r

(G(ri ,r ) − G

(ri ,r ))p(r ) + ∫d

r G

(ri ,r )(p(r ) −p(ri )).

Vi

Vi

Функция в первом интеграле ограничена c65|r′ − ri|−2. Если ri Vi, то это же верно и для второй подынтегральной функции, следовательно

	M(Vi ,ri )		≤ c66 d .	(150)

Если ri Vi, введём вспомогательную точку r″, симметричную к ri относительно поверхности частицы, и применим тождество

′	′	′′	′′	(151)
p(r ) −p(ri ) =[p(r ) −p(r )]+[p(r ) −p(ri )]

ко второму интегралу в формуле (149). Используя разложение p в ряд Тейлора около r″ и то, что |r′ − r″| ≤ |r′ − ri| при r′ Vi, можно получить

3

′

st

′

,

M(Vi ,ri )

≤ c67d + c68

∫d

r G

(ri ,r )

(152)

Vi

где оставшийся интеграл, как легко показать,

равен

−

(∂Vi ,ri ) . Следовательно

L

осталось доказать ограниченность

(∂Vi ,ri )

[см.

формулы

(146) и (152)].

L

Потенциальная проблема может исходить только от той части ∂Vi, которая является частью поверхности частицы (так как она может быть близка к ri), а этот участок плоский в силу сделанного предположения. Вычислим интеграл в формуле (7) по

бесконечной плоскости: r′ − ri = v + r и при этом v r = 0. Тогда n′ = ±v/v и
					ˆˆ			ˆˆ
	L(беск.плоскость,ri ) = m ∫d2r				vv			= m2π vv2	,	(153)
			v(v	2	+ r	2	3 2
		R2					)	v

что ограничено. Интеграл по оставшейся поверхности куба тоже ограничен, что есть

проявление более общего утверждения, что (по определению)						(∂Vi ,ri )	зависит не от
					L
размера, а только от формы объёмного элемента. В итоге получаем
		(∂Vi ,ri )		≤ c69 ,			(154)
	L
что вместе с формулами (146), (150) и (152) доказывает неравенство (148).

72

Используя неравенства (147) и (148), получаем

d

sh

sh

Kmax

−3

h

≤ Nd(c71

−c72 ln d) ,

(155)

1

≤ ∑ ∑

hij

+ ∑

hii

≤ ∑

∑c62ns (l)l

+ c70

i j ∂V

i ∂V

j ∂V

l=1

где мы поменяли порядок суммирования в двойной сумме и провели суммирование по оболочкам с порядками l ≤ Kmax и l > Kmax, после чего сгруппировали всё в сумму по граничным диполям. При последнем переходе также использовались неравенства (113)

и (134). Объединяя неравенства (135) и (155), получаем суммарную оценку hd для

1

любого рассеивателя:

hd

≤ N[(c43 − c45 ln d )d 2

+ (c73 − c72 ln d )d ].

(156)

1

δEd

Аналогичная оценка получается и для

1

[ввиду неравенства (138)].

Наличие ошибок

формы немного

изменяет вывод ошибок в

измеряемых

характеристиках по сравнению с параграфом 2.2.2.2. Неравенства (139) и (140) заменяются на

~ ~

d

(E

0,d

)

≤ ∑c51d

5

+ ∑c74d

3

≤ c52d

2

+ c75d ,

(157)

φ (E)−φ

φd (E0,d )−φd (Ed )

i

i ∂V

≤ c53d 3

δEd

≤ (c54 −c55 ln d )d 2 + (c76 −c77 ln d )d .

(158)

1

Второй член в неравенстве (157) возникает из-за поверхностных диполей, для которых ошибка того же порядка величины, что и сами значения. В итоге вместо неравенства (142) получаем

	δφ y		≤ (c59 −c60 ln y)y2 + (c78 −c79 ln y)y .	(159)

Ошибки формы добавляются к поверхностным ошибках (линейный член в ошибке дискретизации), и, хотя в общем и те, и те уменьшаются с увеличением x, можно ожидать, что линейный член в неравенстве (159) значим до бóльших значений y чем в неравенстве (142).

Все выкладки данного параграфа можно обобщить на границы раздела внутри частицы, т.е. когда поверхность, которая не может быть точно описана поверхностью набора кубов, разделяет две области, где χ(r) меняется гладко. Обе части кубического диполя на границе раздела следует рассмотреть отдельно так же, как было сделано выше. При этом не изменится главный результат, неравенство (159), а только коэффициенты.

73

2.2.2.4. Различные формулировки МДД

В этом параграфе обсуждается, как различные варианты МДД изменяют оценки ошибок, выведенные в предыдущих параграфах.

Большинство улучшений ПП, предложенных в литературе, связано с самонаведённым членом M(Vi,ri): РИ, ДФГ, ЛАК, метод a1-члена, ДСР, ПЕЛ и ИДСР (см. параграф 2.1.3.1). Все они предлагают выражение для M(Vi,ri) порядка d 2 (за исключением РИ, который порядка d 3). Однако ни один из этих вариантов не может точно вычислить интеграл в формуле (111), поскольку поведение электрического поля внутри объёмного элемента заранее неизвестно (ПЕЛ решает эту задачу, но только для сферического диполя). Поэтому они могут уменьшить постоянную в неравенстве (112) и тем самым ошибки в измеряемых величинах, однако они не должны изменить порядок ошибок с d 2 на более высокий. Мы не рассматриваем формулировки РШБ и ИПДСР, так как они ограничены несколькими возможными формами рассеивателя.

Существует два улучшения члена взаимодействия стандартного ПП: ФСД и ИТ. Строгий анализ ошибок ФСД лежит за рамками данного изложения, но качественно ФСД не подходит для уменьшения линейного члена в неравенстве (135), который возникает из-за неполных (несимметричных) оболочек. Это так, потому что ФСД использует теорию дискретизации для улучшения суммарной точности для всей регулярной кубической решётки, а не точности одиночного вычисления Gij (интеграл по одному элементу объёма).

ИТ, которое численно вычисляет интеграл в формуле (15), имеет более заметное влияние на оценку ошибки. Рассмотрим диполь j из l-той оболочки (неполной) диполя i, тогда

∫d3r′G(ri ,r′)p(r′) − d 3Gijp j = ∫d3r′G(ri ,r′)(p(r′) −p j )

Vj

Vj

(160)

≤ c80

∫

3

′

r

′2

′

+ c81

∫

3

′

r

′2

′

≤ c82dl

−4

max

.

d

r

∂μG(ri ,r )

d

r

G(ri ,r )

μ,r′ Vj

Vj

Vj

Здесь мы использовали формулу (108) и ряд Тейлора для тензора Грина до первого порядка. Неравенство (160) показывает, что второй член в неравенстве (130) полностью исчез как и линейные члены в неравенствах (141) и (142) (поверхностные ошибки). Поэтому сходимость МДД с ИТ для кубовидных рассеивателей должна быть чисто квадратичной (пренебрегая логарифмом). Но для некубовидных рассеивателей линейный член снова появляется за счёт ошибок формы. Как ИТ, так и ФСД также изменяют самонаведённый член, но этот эффект сравним с остальными вариантами.

74

Было предложено несколько методов для уменьшения ошибок формы (см. параграфы 2.1.3.1 и 2.1.3.4), здесь мы рассмотрим только ВД, как вероятно наиболее совершенный из них [см. формулы (68)−(71)]. Определение граничного элемента объёма в ВД немного другое чем в параграфе 2.2.2.3: теперь Vi всегда кубический, но возможно с границей раздела внутри. Для удобства перепишем формулу (71) как

∫d3r′(

st (ri ,r′))χip + ∫d3r′(

st (ri ,r′))χis

(Vi ,ri ) =

(ri ,r′) −

(ri ,r′) −

Ei .

(161)

M

G

G

G

G

Ti

Vip

Vis

Для того чтобы учесть гладкое изменение электрического поля и восприимчивости, определим χis = χ(r′′) (r″ определяется в параграфе 2.2.2.3), а Ti

будем вычислять на поверхности посередине между ri и r″. Ещё обозначим pip ≡ pi и

psi = χisEsi = χis TiEi , тогда

′′

s

≤ c

min

r −r

,

p(r ) −p

(162)

i

83

r V s

i

i

где предположено, что неравенства (102) для χ(r) и E(r) верны также и в V s .

i

Начнём оценку ошибок ВД с hijsh

[сравните с неравенством (145)]:

hshij = ∫d3r′(

(ri ,r′)p(r′) −

ij(0)ppj )+ ∫d3r′(

(ri ,r′)p(r′) −

ij(0)psj ).

G

G

G

G

(163)

Vjp

Vjs

Используя ряды Тейлора для p(r′) около ri и r″ в Vi p и Vis соответственно и неравенство

(162), можно получить, что главный вклад получается от производной тензора Грина, что приводит к [сравните с неравенством (147)]

c d 4 R

−4 , R

< 2,

hijsh

≤

84

ij

ij

(164)

c d 4 ,

R

>1.

85

ij

hiish

преобразуется следующим образом [сравните с неравенством (146)]

hiish = (M(Vi ,ri ) −

(∂Vi ,ri )pip )

L

3

st

p

3

st

s

e

−

r′(G(ri ,r′) −G

(ri

r′(G(ri ,r′) −G

∫d

,r′))pi

+ ∫d

(ri ,r′))pi

− L(∂Vi ,ri )χi

Ei

Vip

)+ ∫d

Vis

)

(165)

3

′

′

′

p

3

′

′

′

s

3

′

st

′

s

p

= ∫d

r G(ri ,r )(p(r ) −pi

r G(ri

,r )(p(r )

−pi )

+ ∫d

r G

(ri ,r )(pi

−pi

V p

V s

V s

i

i

i

+ L(∂Vi ,ri )χieEi − L(∂Vi ,ri )pip .

Легко показать, что первые два интеграла ≤ c85d [аналогично формуле (149)], а третий преобразуется к L так же, как в неравенстве (152). В итоге

hshii	≤ c86d +		(∂Vi p ,ri )pip +		(∂Vis ,ri )pis −		(∂Vi ,ri )	χieEi	,	(166)
		L		L		L

75

где второй член возникает из-за того, что среднее Lp не равно произведению среднего

L на средний p. Эта ошибка зависит от геометрии границы раздела внутри Vi и в общем случае порядка единицы. Например, если плоская граница описывается как

z = zi + v, в пределе v → 0 получаем ошибку		2π(pp −ps )			[используя формулу (153)].
		i	i z

Поэтому ВД не улучшает кардинально оценку ошибки hshii , описываемую неравенством

(148), хотя она может существенно уменьшить постоянную. С другой стороны,

поскольку можно (аналитически) вычислить L(∂Vip ,ri ) и L(∂Vis ,ri ) для куба,

рассечённого плоскостью, потенциально можно улучшить ВД, чтобы уменьшить ошибку hshii до линейной по d (это является темой будущего исследования).

Действуя аналогично выводу неравенства (155), получаем

				Kmax
	d					−4
h			≤	∑	∑c84 ns (l)l		+ c87	+ c88 d ≤ c89 Nd .	(167)
		1
				j∂V	l=1

Оценка ошибки [неравенство (157)] для амплитуды рассеяния [формула (97)] улучшается, так как ВД точно вычисляет нулевой порядок значений для граничных диполей:

~ ~	d	(E	0,d	)≤ ∑c51d	5	+ ∑c90d	4	≤ c91d	2	.	(168)
φ (E)−φ

ii∂V

Впервоначальной работе [55] Пиллер не указал выражение для вычисления Cabs. Прямая подстановка эффективной восприимчивости ВД в формулу (98) не уменьшает

порядок ошибки в сравнении с точной формулой (29) (кроме частного случая χis = 0 ),

поскольку Cabs не линейная функция от электрического поля. Однако, если рассмотреть

Vi p и Vis отдельно [что эквивалентно замене Vi Im((χieEi ) Ei ) на сумму Vi p Im(χip ) Ei 2 и

Vis Im(χis ) TiEi 2 ], можно вывести такую же оценку, как и неравенство (168).

Из неравенств (167), (168) и первой части формулы (158) получаем итоговую оценку ошибок для ВД:

	δφ y		≤ (c92 −c93 ln y)y2 + c94 y ,	(169)

где постоянная в линейном члене не содержит логарифма и должна быть существенно меньше, чем в неравенстве (159), так как несколько составляющих её факторов убираются в рамках ВД. Хотя ВД потенциально может быть улучшена, полностью убрать линейный член в ошибках формы не кажется возможным. Точность вычисления члена взаимодействия по граничному диполю [формула (163)] может быть улучшена

интегрированием тензора Грина отдельно по V p	и V s , но это разрушит блочно-
i	i
76