Однопродуктова n-етапна динамічна модель

В цій моделі передбачається, що попит може змінюватися від етапу до етапу. Рівень запасу контролюється періодично. Хоча запізнення постачання допустиме, у моделі передбачається, що поповнення запасу відбувається миттєво на початку етапу. Дефіцит не допускається.

Побудова динамічної детермінованої моделі зводиться до дослідження кінцевого горизонту часу. Це пояснюється тим, що для отримання числового розв’язку відповідних задач потрібно використовувати метод динамічного програмування, який у даному випадку можна практично застосувати тільки при кінцевій кількості кроків. Однак це не є серйозною перешкодою, оскільки попит в майбутньому не суттєво впливає на розв’язки, що беруться для кінцевого горизонту часу. Крім того, не має сенсу передбачати, що продукція буде зберігатися на протязі нескінченого проміжку часу.

___

Визначимо для етапу і (і = 1, N) такі величини:

z_i – кількість замовлення продукції (розмір замовлення);

_i – потреби в продукції (попит);

х_і – початковий запас (на початок і-го етапу);

h_i – витрати на зберігання одиниці запасу, що переходить з і-го в (і + 1)-й етап;

k_i – витрати на оформлення замовлення;

C_s (z_i) – функція граничних витрат, що пов’язані із закупівлею (виробництвом) при заданому z_i.

С_i (z_i) = _iIk_i + c_i (z_i),

0, z_i = 0,

де _і =

1, z_i > 0.

Оскільки дефіцит не допускається, потрібно знайти оптимальні значення z_i, що мінімізують загальні витрати на оформлення замовлень, закупівлю та збереження по всім N етапам. Витрати на зберігання передбачаються пропорційними величині

х_{і + 1} = х_і + z_i + _і ,

що є обсягом запасу, який переходить з і-го в (і + 1)-й етап.

В результаті витрати на збереження на і-му етапі дорівнюють h_ix_{i +1}. ця умова вводиться виключно з метою спрощення, оскільки модель легко можна узагальнити на випадок довільної функції витрат H_i (x_{i + 1}), замінивши h_ix_{i +1} на H_i (x_{i + 1}). Аналогічно для оцінювання витрат на збереження можна скористатися величинами х_і або (х_і + х_{і + 2})/2.

Побудова моделі динамічного програмування спрощується, якщо представити задачу схематично, як показано на рис.8.

Рис.8.

Кожний етап відповідає одному кроку. Використовуючи зворотне рекурентне рівняння, визначимпо стан системи на і-му кроці і обсяг вихідного запасу х_і. Нехай fi (x_i) – мінімальні загальні витрати на етапах і, і + 1, ..., N. Рекурентне рівняння має вигляд:

f_N (x_N) = min {C_N (z_N)}

z_N + x_N = _N

z_N 0.

15