2.2. Математическая модель электромагнитных процессов

В подавляющем большинстве исследований, посвященных идентификации процессов индукционного нагрева, поиску алгоритмов и систем управления температурными полями, в качестве объекта исследования рассматривается температурное поле электропроводящего изделия, в котором джоулево тепло выделяется вследствие протекания в нем вихревых токов, индуцированных первичным полем индуктора. К таким объектам относятся нагревательные установки для сквозного нагрева под пластическую деформацию, установки поверхностной закалки, установки высокочастотной сварки, индукционные плавильные печи и другие установки, в которых тепло выделяется непосредственно в обрабатываемом изделии [2, 10, 17, 18, 21, 30, 33, 34, 42, 44, 46, 81, 90, 92, 101].

При описании процессов нагрева в исследуемой установке наиболее адекватной является электротепловая модель, основанная на численном решении уравнений электромагнетизма и теплопроводности. Такие модели учитывают взаимное влияние электромагнитного и температурного полей в процессе индукционного нагрева и дают исчерпывающую характеристику индукционного устройства с точки зрения потребления энергии от внешнего источника питания и выделения ее в загрузке. Связь электромагнитного поля в системе с температурным полем обусловлена зависимостью удельного сопротивления и магнитной проницаемости от температуры, что обусловливает характер распределения внутренних источников тепла.

Индукционный нагрев на промышленной и средних частотах характеризуется отсутствием свободных зарядов в системе рассматриваемых сред, поэтому из системы уравнений (2.1) – (2.4) возможно исключить уравнение (2.4). Кроме того, обоснованны следующие допущения [90, 46]:

• поле принимается квазистационарным. Под этим понимается отсутствие запаздывания электромагнитной волны в диэлектрике. Это допущение позволяет пренебречь токами смещения по сравнению с токами в проводниках;

– не учитываются потери на гистерезис при нагреве ферромагнитных тел в силу их незначительности по сравнению с потерями от вихревых токов.

Принятые допущения позволяют упростить решение рассматриваемой задачи. Граница раздела магнитных сред описывается системой соотношений:

(2.6)

Последнее выражение учитывает скачкообразное изменение вектора напряженности на границе раздела сред.

При тангенциальные составляющие напряженностина границе раздела непрерывны

(2.7)

Кроме условий сопряжения для получения однозначного решения уравнений Максвелла в форме напряженности электрического поля и напряженности магнитного поляв областис границейS необходимо задать:

– уравнения поверхностей, отделяющих друг от друга среды i и j, ;

– начальные величины ,в момент временив произвольной точке исследуемого объемас границейS;

– касательные составляющие вектора или в произвольной точке поверхности в произвольном временном интервале отдоt, или распределения полей ивне исследуемого объемаV;

– функциональные зависимости параметров ε, μ, γ от координат пространства или от напряженности соответствующего поля.

Матричная магнитная проницаемость может быть введена как функция температуры или поля.

В частности, если μ является только функцией температуры

, (2.8)

где – магнитная проницаемость вакуума;– относительная магнитная проницаемость вдоль осей соответственно.

Если является только функцией магнитного поля, то

, (2.9)

где является магнитной проницаемостью, определяемой по кривой намагничивания, представляемой в виде графиков или таблиц [40, 44, 26, 91, 88, 90].

Возможно использование матричной магнитной проницаемости как функции двух параметров: температуры среды и напряженности магнитного поля

. (2.10)

При индукционном нагреве на средних частотах влиянием электрической индукции можно пренебречь. Отсутствие в рассматриваемой системе движущихся постоянных магнитов также исключает появление дополнительных источников внутри проводящих материалов. Тогда связь между напряженностью электрического поля и плотностью токов будет иметь вид

, (2.11)

где – матрица электропроводности для материалов:

, (2.12)

–электропроводность вдоль оси х.

Решение задачи электромагнитного поля достигается использованием векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциалаV которые выражаются следующим образом [24, 37, 78]:

, (2.13)

. (2.14)

Чтобы функция была определена, нужно определить значение ее дивергенции. Для этого добавляется условие, которое называется калибровкой Кулона

(2.15)

В результате получим следующую систему уравнений

; (2.16)

(2.17)

(2.18)

Используя соотношение

(2.19)

при из (2.18) получим уравнение

(2.20)

Уравнение Пуассона (2.20) дополняется граничными условиями Дирихле и Неймана на различных участках границы:

на , (2.21)

на . (2.22)

Такое упрощение условий задачи объясняется тем, что дальнейший переход к конечно—элементной формулировке намного облегчается для линейной задачи. Реальные нелинейные задачи решаются на базе линейных моделей с помощью итерационных алгоритмов расчета. Такой путь является оптимальным.

Решение краевой задачи расчета магнитного поля в изотропной среде (2.20) – (2.22) эквивалентно минимизации энергетического функционала:

(2.23)

Сущность метода, основанного на МКЭ, заключается в исследовании глобальной функции процесса, в данном случае векторного потенциала , в дискретных частях анализируемой областиV, которая должна быть предварительно разбита на конечные смежные подобласти (конечные элементы), что позволяет свести задачу с бесконечным числом степеней свободы к задаче, содержащей конечное число параметров. При этом внутри подобластей искомая функция интерполируется степенными полиномами, сшивается на границах контакта элементов, и при условии малости геометрических размеров последних (число элементов стремится к бесконечности), оказывается решением уравнений в частных производных типа (2.20) – (2.22). В качестве интерполирующих полиномов конечных элементов треугольного вида на плоскости () использованы линейные функции формы вида:

, (2.24)

где – граница элемента.

Треугольные элементы для двумерных задач и тетраэдральные для трехмерных позволяют наиболее просто аппроксимировать сложные геометрические границы тел. В настоящее время разработаны другие виды конечных элементов, например четырехугольные с криволинейными сторонами и функциями формы второго порядка, что обеспечивает при сравнительно небольшом числе элементов гладкую аппроксимацию контуров области. Такая же ситуация имеет место и для объемных областей. Тетраэдры как более простые фигуры для построения сложных форм заменяются более экономичными призмами с криволинейными гранями. Для дальнейшего повышения точности расчетов применяются в качестве базисных функций полиномы более высоких порядков, что позволяет уменьшить число элементов.

Геометрическая модель (в двумерной постановке) исследуемой системы с сеткой конечных элементов представлена на рис.2.2.

Векторный потенциал внутри m-го элемента треугольника определяется значениями потенциала в вершинах треугольника, то есть является линейной функцией координат x и y.

(2.25)

где: коэффициенты ,,,- постоянные коэффициенты функций формы, вычисляемые в зависимости от пространственных координат узлов элементаm; - комплексные амплитуды вектора в узлах конечного элемента:

. (2.26)

Рисунок 2.2 — Геометрическая модель индукционной системы

с сеткой конечных элементов

В дискретной модели функционал (2.23) определяется суммой вкладов всех КЭ, входящих в ансамбль

, (2.27)

а условие его минимума приобретает вид

(2.28)

где –полное число всех элементов.

Дифференцирование по дает результат, отличный от нуля только в том случае, еслиi является одной из вершин текущего элемента. Следовательно, для каждого элемента можно построить свой блок элементных матриц, отражающих вклад данного КЭ в энергетический функционал (2.23).

Матрица жесткости определяется следующим выражением:

(2.29)

Матрица вихревых токов рассчитывается следующим образом

. (2.30)

Матрица внешних источников тока вычисляется согласно выражению

(2.31)

В последнем выражении плотность внешних источников тока внутри элемента принимается постоянной.

Согласно выражению (2.27), элементные матрицы (2.29) - (2.31) должны объединяться в глобальные матрицы, характеризующие поведение дискретной системы в целом.

(2.32)

В результате ансамблирования получаем систему алгебраических уравнений:

(2.33)

Решение данной задачи осуществляется итерационным методом. Краевые условия вида Дирихле учитываются путем принудительного исключения столбцов и строк глобальных матриц (2.32), относящихся к узлам дискретной системы, лежащих на удаленных границах S области V. Условия симметрии удовлетворяются при ансамблировании элементов автоматически.

Распределенные параметры магнитного поля вычисляются по выражению (2.13):

; (2.34)

(2.35)

. (2.36)

Напряженность электрического поля

. (2.37)

Мощность внутренних источников тепла, характеризующих нагрев проводящих тел индукционной системы, вычисляется для каждого элемента по закону Джоуля-Ленца:

, (2.38)

где - величина, сопряженная к.

Для учета нелинейной зависимости в ферромагнитных областях используется итерационный алгоритм многократного решения результирующей системы уравнений (2.33). В начальной стадии расчета задается значениепо всей области ферромагнитных макроэлементов, затем вычисляются распределенные параметры поля, что позволяет на следующей стадии расчета корректировать μ внутри каждого конечного элемента в зависимости от значения напряженности магнитного поля в данной области. Итерации повторяются до полной сходимости процесса. Определение магнитной проницаемости производится с помощью введения в программу расчета кривой намагничивания.

Для практического применения рассмотренного алгоритма решения электромагнитной задачи наиболее приемлем программный пакет ELCUT, который, как уже отмечалось, позволяет решать нелинейные задачи гармонического анализа (стационарные), хотя рассчитан только на двумерные модели. Поэтому необходимо сделать некоторые допущения, позволяющие использовать двумерные модели для исследования электротепловых полей. Так, при значительном превышении длины индуктора по отношению к диаметру, что, как правило, выполняется для исследуемых систем, можно не учитывать влияние краевых эффектов на торцах индуктора. Во-вторых, можно пренебречь погрешностью, вносимой высшими гармоническими составляющими тока, обусловленными наличием зубцовой зоны магнитопровода.