4.5 Оценка точности многократных прямых измерений

Пусть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: х₁ ,х₂, . ..., х_n (п — число измерений). Это означает, что: а) есть причины, приводящие к случайному отклонению каждого из измеренных значений x_i от являющегося постоянным в условиях опыта х _ист (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т. п.);

б) измеряемая величина х имеет случайный (статистический) характер, подобно тому, как случайно меняется во времени, например, транспортный поток на магистрали.

В случае а) наилучшей оценкой х_ист является среднее арифметическое найденных значений x_i:

х _ист»(5)

В случае б) смысл , очевидно, исчерпывается его определением как среднего измеренных значений x_i. Погрешность Dх, которую в этих условиях называют случайной, оценивают по формуле 6.

(6)

где находят из соотношения (5), а п ≥2.

Для оценки полной погрешности Dх необходимо знать и Dх_сл, и Dх_сист. Тогда

Dх =(7)

и результат измерений записывают в виде х = ± Dх (8)

где и Dх определяются соотношениями (5) и (7).

Из анализа формулы (7) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором . Наоборот, необходимое число измеренийп можно определить из условия x_сист, и почти всегда достаточно взять п 10. Опыт показывает, что в студенческой лаборатории число измерений физиче­ских величин обычно равно 3—4.

Замечания:

1. Бессмысленно записывать в(8)с точностью, значительно превышающей значениеDх. Например, записьх= 5,6184 ± 0,7 некорректнаПравильно: х= 5,6 ± 0,7.

2,ПогрешностьDхследует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, записьх =5,61 ± 0,7232 лишена смысла.Правильно: х= 5,6 ± 0,7.

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения x_i в процессе измерения является случайным событием. Для каждого интервала значений величины x_i существует некоторая вероятность того, что результат очередного измерения попадёт в этот интервал. Эта вероятность зависит от ширины и расположения интервала на оси x, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса* (см. рекомендуемую литературу):

(9)

где s² — постоянная величина, называемая дисперсией распределения. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины , которое при бесконечно большом количестве измерений (п →∞) совпадает с её истинным значением, и дисперсией s².

Доверительным интервалом называют интервал (x_i, — D x_i, x_i + D x_i,), в который по определению попадает истинное значение х измеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность α того, что истинное значение х измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, выражается α или в долях единицы, или в процентах.

Чем больше доверительный интервал, т. е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Δx, тем с большей надежностью искомая величина х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа п произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности Δx.

Так, при n ≥ 30, выбирая Δx равным s, мы получим значение α0,68.

* В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения встречаются одинаково часто.

2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются значительно реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины.

В случае большого числа измерений (п → ∞) величина s, входящая в закон (9), оказывается равной среднеквадратичной погрешности отдельного измерения Δx_сл:

(10)

Полученное в данной серии измерений значение величины х принимается равным . Величина x_сл характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше Dx_сл, тем точнее проведено измерение.

Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению иs.

Если при измерении абсолютная погрешность Δx > 3s, то это измерение следует отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3s обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3s берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Смысл s как меры приближения измеренного значения величины к истинному значениюх_ист определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора; следовательно, даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.

Поскольку нет смысла стремиться к очень большому числу измерений, то возникает вопрос: как изменяется надежность при изменении числа измерений? Зависимость эта сложна и не выражается в элементарных функциях.

Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал [± S_x], чтобы при определенном числе измерений п получить заданную надежность α (таблица 1).'

За стандартный принимают интервал [± S_x], где

(11)

Порядок обработки результатов измерений следующий:

— выполняют n измерений и записывают их результаты в таблицу;

— вычисляют по (5) ;

— по формуле (11) вычисляют S_x и находят по таблице коэффициент Стьюдента t (α, п) в зависимости от заданной надежности  и числа измерений п;

— результат записывают в виде

(12)

Это означает, что истинное значение измеряемой величины х_ист находится в интервале [— - t(α, n) S_x; х + t(α, n) S_x;] с надежностью α.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (в %):

(13)

Обратную ей величину y= 1/ d_x. называют точностью измерений.

Таблица 1 Коэффициенты Стьюдента

Число измерений	Надёжность
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
15	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	4,1
20	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	3,9
40	0,68	0,85	1,1	1,2	1,7	2,0	2,4	3,6
60	0,68	0,85	1,0	1,3	1,7	2,0	2,4	3,5
120	0,68	0,85	1,0	1,3	1,7	2,0	2,4	3,4
∞	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, часто решают и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определяют необходимое число измерений в серии.