4.2 Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рисунок 6).

Рисунок 6 Графическое изображение движения жидкости

Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂ (рис. 46). За время dt через сечение S проходит объем жидкости Sυdt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁υ₁, где υ₁ -скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂υ₂, где υ₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Если жидкость несжимаема, то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁ т. е.

S₁υ₁=S₂υ₂=const (2)

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (2) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

Рисунок 7 Иллюстрация уравнения неразрывности

4.3 Вязкость (внутренние трение) жидкости

Вязкостью или внутренним трением в качественном смысле называется свойство всех веществ оказывать сопротивление деформации сдвига, пропорциональное градиенту скорости. Вязкость (внутреннее трение) - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Рисунок 7 Иллюстрация, поясняющая формулу Ньютона

Коэффициент вязкости есть физическая величина, характеризующая силу внутреннего трения в жидкости. Сила трения между слоями определяется выражением (формула Ньютона):

, (3)

где - предел отношения разности скоростей слоевк расстоянию Δx между слоями в направлении, перпендикулярном скорости (градиент скорости), S - площадь слоев. Величинапоказывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости.(рисунок 1). Коэффициент пропорциональности η, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Он зависит от природы жидкости и для данной жидкости с повышением температуры уменьшается. Это можно объяснить тем, что вязкость жидкостей обусловлена межмолекулярными взаимодействиями слоев жидкости, в результате которых из слоя в слой переносится импульс. С ростом температуры межмолекулярные взаимодействия ослабляются из-за теплового расширения жидкости и увеличения межмолекулярных расстояний, а также из-за увеличения подвижности молекул жидкости; вследствие обеих причин вязкость уменьшается. Вязкость газов, наоборот, с увеличением температуры увеличивается, так как обусловлена хаотическим движением молекул. С увеличением температуры растет интенсивность хаотического движения молекул и перенос импульса из слоя в слой.

Единица вязкости — паскаль-секунда (Па • с): 1 Па • с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев (1 Па • с = 1 Н • с/м²).

Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают.

Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18 — 40 °С падает в четыре раза. Приборы, служащие для измерения вязкости, называются вискозиметрами. Вискозиметрия (лат. viscous – клейкий и греч. metre – мерю) – раздел физики, занимающийся методами измерения вязкости (внутреннего трения). Вязкость это свойство жидкостей или газов оказывать сопротивление перемещению или сдвигу одной их части относительно другой.

В некоторых случаях вместо определенной выше динамической вязкости удобнее пользоваться кинематической вязкостью - отношением динамической вязкости η к плотности ρ жидкости или газа:

ν = η/ρ (4)

Иногда вязкость растворов характеризуется относительной вязкостью -

отношением вязкости раствора к вязкости растворителя.

Возникновение сопротивления, обусловленного вязкостью жидкости, объясняется следующим образом.

Представим себе две пластинки, разделенные плоскопараллельным слоем жидкости (см. рисунок 8)

Рисунок 8 Иллюстрация объяснения возникающего сопротивления, обусловленного вязкостью жидкости

Рассмотрим, что произойдет, если начать перемещать верхнюю пластинку относительно нижней в направлении, указанном стрелкой. Мысленно разобьем жидкость на тончайшие слои. Молекулы жидкости, ближайшие к верхней пластинке, прилипают к ней, и в силу этого начинают перемещаться вместе с пластинкой с той же скоростью. Эти молекулы в свою очередь увлекают молекулы следующего слоя и т.д. Слои молекул, непосредственно прилегающих к нижней неподвижной пластине, остаются в покое, а остальные слои перемещаются, скользя друг по другу со скоростями тем большими, чем больше их расстояние от нижнего слоя. Вязкость жидкости проявляется в возникновении силы, препятствующей относительному сдвигу соприкасающихся слоев жидкости, а, следовательно, и сдвигу пластинок относительно друг друга.

Величина сопротивления, обусловленной вязкостью жидкости, зависит от разности скоростей между ее слоями и расстояния между ними.

Чем больше меняется скорость жидкости при переходе от слоя к слою, тем больше величина вязкого сопротивления.

Чтобы охарактеризовать величину изменения скорости, измерим разность скоростей (υ₁ - υ₂ = Δυ) двух слоев жидкости и расстояние Δу между этими слоями, отсчитываемое по нормали к направлению скорости. Предел отношения этих двух величин

(5)

называется градиентом скорости. Если конфигурация поверхностей такова, что скорость слоя пропорциональна нормальной координате

( υ = ky ), то dυ/dy = dυ/dy, (6)

т.е. градиент скорости равен падению скоростей на единицу длины. Этот случай имеет место между параллельными плоскостями

При ламинарном течении (т.е. без завихрений) сила внутреннего трения пропорциональна градиенту скорости:

F = ηS dυ/dy (формула Ньютона)

или τ = ηdυ/dy, (7)

где F - абсолютное значение силы внутреннего трения, S - площадь поверхности скользящих друг по другу слоев, τ = F/S - касательное напряжение, η -множитель пропорциональности, зависящей от приводы жидкости, называемый коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью, а часто и просто вязкостью. Из формулы (7) коэффициент внутреннего трения равен касательному напряжению при градиенте скорости, равном единице.