Глава 3. Методика расчета потерь в изогнутых стандартных оптических волокнах

3.1. Расчет поля основной моды стандартного волокна

На рисунке 3.1 представлен волоконный световод круглого поперечного сечения и оси декартовых и цилиндрических координат, используемые при описании полей мод.

Рис. 3.1. Волоконный световод с круглой симметрией и неограниченными размерами вдоль осей r и z.

Радиус сердцевины волокна обозначим буквой a. Вместо цилиндрической радиальной координаты r (расстояние от оптической оси волокна до рассматриваемой точки) будем использовать ее нормированное значение R=r/ a.

Рассматриваемая в данной главе методика применима к волокнам с осесимметричным профилем показателя преломления, который можно представить в виде:

, (3.1)

где n_c0 – максимальное значение показателя преломления сердцевины волокна, f(R) – функция изменения показателя преломления (функция профиля), Δ - параметр высоты профиля или относительная разность показателей преломления сердцевины и оболочки, которая для световодов с постоянным показателем преломления оболочки n_с1 определяется выражением:

. (3.2)

Пространственное распределение поля основной моды F₀(R) является решением скалярного волнового уравнения, которое для слабонаправляющих световодов круглого поперечного сечения имеет вид:

(3.3)

где – параметр моды в сердцевине,k – волновое число, V – нормированная частота,  - постоянная распространения основной моды:

. (3.4)

Уравнение (3.3) имеет точное аналитическое решение для слабонаправляющих световодов со ступенчатым профилем показателя преломления, описываемым выражениями:

(3.5)

Функция профиля для такого волокна имеет вид:

, (3.6)

где h(x) – функция Хэвисайда.

Решение уравнения (3.3) для поля основной моды F₀(R) слабонаправляющего световода со ступенчатым профилем показателя преломления с учетом нормировки (F₀ = 1 при R=1) имеет вид:

(3.7)

где J₀ – функция Бесселя первого рода; К₀ – модифицированная функция Бесселя второго рода, – параметр моды в оболочке.W можно связать с U через нормированную частоту:

. (3.8)

Рассчитать параметры моды в сердцевине U и в оболочке W можно, решив характеристическое уравнение:

(3.9)

На рис. 3.2 представлены результаты расчета зависимостей U и W от нормированной частоты.

Рис. 3.2. Параметры основной моды в сердцевине и оболочке

На рис. 3.3 представлены результаты расчета нормированного распределения поля основной моды для различных значений нормированной частоты V.

Рис. 3.3. Распределение поля основной моды в поперечном сечении волокна

Полная мощность основной моды определяется выражением:

, (3.10)

где A – амплитуда моды, N – коэффициент нормировки:

, (3.11)

где ₀ = 8.8510^-12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость свободного пространства; µ₀ = 1.25710^-6 Гн/м - магнитная восприимчивость свободного пространства.

3.2. Расчет коэффициента затухания изогнутого участка стандартного волокна

Рассмотрим один из основных механизмов потерь излучения в изогнутом участке световода. В прямом световоде с произвольным профилем показателя преломления поле моды в каждой точке поперечного сечения распространяется параллельно оси световода с постоянной фазовой скоростью, так что плоскость постоянной фазы ортогональна ей. Если световод изогнут в плоскую дугу с постоянным радиусом R_с (рис. 3.4), то поля и фазовые фронты вращаются вокруг центра кривизны изгиба с постоянной угловой скоростью.

Таким образом, фазовая скорость, параллельная оси световода, должна линейно возрастать при увеличении расстояния от центра кривизны С. Т.к. оболочка световода имеет постоянный показатель преломления, то фазовая скорость может превышать скорость света в данной среде. Поэтому должен существовать некоторый радиус R_rad в плоскости изгиба, при превышении которого поле уже не может направляться световодом и должно становиться излучающим, как это схематически изображено на рис. 3.4а.

Рис. 3.4. Изогнутый световод (а) и эквивалентное возмущение, аппроксимированное наведенным током с плотностью J (стрелки), занимающим область сердцевины световода (б).

Для расчета потерь мощности, связанных с частичным излучением поля на изгибе, можно использовать приближенную модель световода, согласно которой изогнутый световод представляется токовой антенной бесконечно малой толщины, излучающей в неограниченную среду с показателем преломления, равным показателю преломления оболочки.

В рамках приближения слабонаправляющего волновода излученная мощность не зависит от состояния поляризации волны, при условии R_с >> a. Для этого случая полная излученная из изогнутого световода мощность будет равна:

, (3.12)

где ; величинаI_c задается выражением:

. (3.13)

Доля мощности, излученная из петли длиной 2πR_c, определяется отношением полной излученной мощности к начальной мощности моды:

(3.14)

Из (3.13-3.14) следует, что часть мощности, теряемая на единице длины, или коэффициент затухания мощности γ (Нп/м):

. (3.15)

Доминирующей в этом выражении является экспоненциальная зависимость коэффициента затухания от отношения радиуса изгиба к радиусу сердцевины световода, т.к. при R_c >> a коэффициент затухания очень мал и относительно «нечувствителен» к остальным множителям выражения (3.15).

Из (3.15) можно получить выражение для коэффициента затухания мощности основной моды изогнутого слабонаправляющего световода со ступенчатым профилем показателя преломления:

. (3.16)

Полученное выражение для коэффициента затухания мощности основной моды в изогнутом световоде со ступенчатым профилем показателя преломления (3.12) не учитывает эффектов, связанных с тем, что поперечные размеры сердцевины световода конечны. Это можно учесть, умножив коэффициент затухания, рассчитанный по выражению (3.15), на масштабный множитель M:

. (3.17)

_{Для волокна со ступенчатым профилем показателя преломления (3.17) примет вид:}

. (3.18)

Отметим, что выражение (3.16) с учетом (3.18) может быть представлено в виде:

. (3.19)

Рис. 3.5. Качественное представление сдвигов поля основной моды, обусловленных одиночным изгибом (а); двумя изгибами с противоположными радиусами кривизны (б) и различными радиусами изгиба (в).

Кроме потерь на излучение, связанных с изгибом световодов, существуют переходные потери, обусловленные резким изменением радиуса кривизны изгиба, как это показано на рисунке 3.5 в сечении АА^’.

Причиной потерь здесь является рассогласование потерь, и поэтому падающее поле возбуждает не только локальные моды, но и моды излучения, которые и определяют переходные потери.

Основное влияние изгиба на поле основной моды проявляется в сдвиге распределения поля в плоскости изгиба в радиальном направлении от центра кривизны на расстояние r_d от оси световода (рис. 3.5а). В случае световодов с произвольным профилем в рамках гауссова приближения имеем:

, (3.20)

где r₀ – размер пятна моды; R_c – радиус изгиба (R_c >> a).

Если световод одномодовый, то часть мощности падающей моды, которая преобразуется в направляемую, определяется соотношением:

, (3.21)

где . (3.22)

Тогда часть излученной мощности, или переходные потери, при r_d << r₀ равны:

. (3.23)

Этот результат справедлив при падении волны на плоскость АА^’ с любой стороны.

Если световод имеет большое число случайных изгибов с произвольным радиусом кривизны и длиной дуги, что характерно для микроизгибов, то излучение на этих изгибах является некоррелированным. Поэтому полные потери от изгибов и переходных участков могут быть найдены простым суммированием. Поэтому полные потери на микроизгибах вдоль световода равны суммарной мощности, излученной на всех изгибах и переходных участках.

Если отношение радиусов изгиба и сердцевины велико, что, как правило, реализуется на практике, то для определения потерь на микроизгибах могут быть использованы выше приведенные формулы. Так, если радиус изгиба велик, то переходные потери доминируют над потерями от чистого изгиба, т.к. последние имеют экспоненциальную зависимость от радиуса кривизны изгиба (3.11).