Фильтр Чебышев
Фильтры Чебышева используются для отделения одной полосы частот от другой. Основное преимущество фильтра Чебышева это его скорость, обычно более чем на порядок выше, чем у оконных фильтров. Это вызвано тем, что они выполняются с помощью рекурсии, а не свертки. Создание этих фильтров основывается на математическом способе, называемом z-преобразованием.
Отклик фильтра Чебышева есть математическая стратегия для достижения более крутого перепада за счет ряби в частотном отклике. Аналоговые и цифровые фильтры, который используют этот подход, называются фильтры Чебышева. Эти фильтры названы по имени использованных в них полиномов Чебышева, разработанных русским математиком Пафнутием Чебышевым (1821-1894).
Рисунок (1.5) показывает частотный отклик низкочастотного фильтра Чебышева с рябью в полосе пропускания 0%, 0,5% и 20%. Чем рябь выше, тем перепад круче. Частотный отклик фильтра Чебышева – оптимальный компромисс между этими двумя параметрами. Когда рябь установлена равной 0%, фильтр называет максимально плоским или фильтром Баттервофа. Рябь в 0,5% часто является хорошим выбором для цифрового фильтра. Она соответствует типичной точности аналоговой электроники, через которую проходят сигналы.
Рисунок (1.5)
При реализации фильтра Чебышева нужно выбрать четыре параметра: (1) высокочастотный он должен быть или низкочастотный, (2) частоту отсечки, (3) процент ряби в полосе пропускания, (4) число полюсов.
С помощью математических приемов, называемых преобразованием Лапласа и z-преобразования, импульсный отклик системы раскладывается на синусоиды и затухающие экспоненты. Это осуществляется представлением характеристик системы в виде отношения одного комплексного полинома к другому комплексному полиному. Корни числителя называются нулями, корни знаменателя – полюсами. Поскольку полюса и нули могут быть комплексными числами, то обычно говорят об их «положении» на комплексной плоскости. Рекурсивные системы создаются, прежде всего, выбором расположения полюсов и нулей, и затем нахождением соответствующих рекурсивных коэффициентов (или аналоговых компонентов). Например, фильтр Баттервофа имеет полюса, лежащие на окружности в комплексной плоскости, а фильтр Чебышева – на эллипсе.
Рисунок 1.6
Частотный отклик фильтра Чебышева. Рисунки (а) и (b) показывают частотный отклик низкочастотного фильтра Чебышева с 0,5% ряби, а рисунки (с) и (d) показывают соответствующий высокочастотный фильтр.
Рисунок (1.6) показывает частотный отклик нескольких фильтров Чебышева с 0,5% ряби. Для метода, который здесь использовался, число полюсов должно быть четным. Частота отсечки для каждого фильтра измеряется по уровню амплитуды 0,707 (3 дБ). Фильтры с частотой отсечки около 0 или 0,5 имеют более крутой перепад частот, чем фильтры с частотой отсечки в середине частотного уровня. Например, двухполюсный фильтр с fC = 0,05 имеет такую же крутизну перепада, как и четырех полюсный фильтр с fC = 0,25.
Имеется два способа нахождения рекурсивных коэффициентов без использования z-преобразования. Первый способ: использование таблицы. В таблицах 1.1 и 1.2 приведены рекурсивные коэффициенты для низкочастотного и высокочастотного фильтров с 0.5 % рябью в полосе пропускания. Если нужно быстро и не очень точно спроектировать фильтр, нужно скопировать соответствующие коэффициенты в вашу программу.
Имеется две проблемы использования таблиц для создания цифровых фильтров. Первая, таблицы имеют ограниченный выбор параметров. Например, таблица 1.1 обеспечивает только 12 различных частот отсечки, максимум 6 полюсов на фильтр, и отсутствует выбор процентного содержания ряби в полосе пропускания. Без возможности произвольного выбора параметров из непрерывного ряда величин, фильтр не может быть оптимальным. Второе коэффициенты необходимо вручную перевести из таблицы в программу. Это требует времени, и отбивает у вас охоту делать попытки с альтернативными величинами.
Таблица 1.1
Низкочастотный фильтр Чебышева (с 0,5% ряби).
Таблица 1.2
Высокочастотный фильтр Чебышева (с 0,5% ряби)