Выбросы в ступенчатом отклике.
Фильтры Баттервофа и Чебышева имеют выбросы в ступенчатом отклике от 5 до 30%, эти выбросы становятся больше при увеличении числа полюсов. Рисунок (1.7а) показывает ступенчатый отклик для двух фильтров Чебышева. Рисунок (b) показывает что-то, что является уникальным свойством цифровых фильтров и не имеет двойника в аналоговой электронике: величина выброса в ступенчатом отклике зависит от небольших градусов на частоте отсечки фильтра. Чрезмерный выброс и звон в частотном отклике является результатом оптимизации фильтра Чебышева для частотной области за счет временной области.
Рисунок 1.7
Шаговый отклик фильтра Чебышева. Выбросы в шаговом отклике фильтра Чебышева составляют от 5% до 30% и зависят от числа полюсов, как показано в (а) и от частоты отсечки, как показано в (b). В (а) частота отсечки равна 0.05 и может быть отмасштабирована на другую частоту отсечки.
Устойчивость
Главное ограничение цифровых фильтров, выполненных с помощью свертки, является время вычисления. Они позволяют получить почти любой отклик, какой вы желаете. Совсем не то рекурсивные фильтры. Они выполняются с высокой скоростью, но ограничены в своих характеристиках. Например, рассмотрим 6 полюсный низкочастотный фильтр с рябью 0,5%. Рекурсивные коэффициенты для этого фильтра могут быть получены из таблицы (1.1):
a0= 1.391351E-10
a1= 8.348109E-10 b1= 5.883343E+00
a2= 2.087027E-09 b2= -1.442798E+01
a3= 2.782703E-09 b3= 1.887786E+01
a4= 2.087027E-09 b4= -1.389914E+01
a5= 8.348109E-10 b5= 5.459909E+00
a6= 1.391351E-10 b6= -8.939932E-01
Коэффициенты “b” имеют абсолютную величину около десяти. При использовании одинарной точности, шум округления для каждого числа будет около одной десяти миллионной части от величины, т.е. 10-6. Теперь посмотрите на коэффициенты “a” с величиной около 10-9. Вклад от входного сигнала (через коэффициенты “a”) будет в 1000 раз меньше, чем шум округления от вычисления выходного сигнала (через коэффициенты “b”). Шум округления ограничивает число полюсов, которое можно использовать в фильтре. Их фактическое число будет зависеть немного от ряби и от того, какой фильтр низкочастотный или высокочастотный. Их приблизительное число для одинарной точности:
|
Частота отсечки |
0,02 |
0.05 |
0.10 |
0.25 |
0,40 |
0,45 |
0,48 |
|
Максимальное число полюсов |
4 |
6 |
10 |
20 |
10 |
6 |
4 |
Таблица 1.3
Максимальное число полюсов для одинарной точности.
Характеристики фильтра будут начинать деградировать по мере приближения к этим ограничениям: ступенчатый отклик будет показывать больший выброс, худшее подавление в полосе блокировки, частотный отклик будет иметь чрезмерную рябь. Если фильтр продвигать дальше в этом направлении, то или появятся ошибки в коэффициентах, или выход будет, возможно, колебаться, пока не наступит переполнение.
Имеется два способа для расширения используемого числа полюсов. Первый, использовать двойную точность. Это требует использование двойной точности при вычислении коэффициентов (включая величину ).
Второй способ заключается в каскадном выполнении фильтра. Например, шести полюсный фильтр выполняется как последовательное соединение трех двухполюсных каскадов. Однако, фильтр более устойчив, если он выполняется в виде трех отдельных исходных каскадов. Это требует знания коэффициентов “a” и “b” для каждого каскада.