1. Задается алгоритм графических операций перехода от заданных линий каркаса к промежуточным линиям.

2. С помощью аналитических методов аппроксимации и какого-либо класса моделирующих функций рассчитывают математическую модель поверхности, содержащую заданные точки и линии каркаса. Эту модель в дальнейшем используют для получения промежуточных точек и линий. Однако нужно иметь в виду, что точность результата во многом определяется выбранным классом моделирующих функций.

Графоаналитический способ. При этом способе задания поверхности часть линий (например, образующая поверхности) может задаваться аналитически в виде уравнения

где – параметры образующей, а направляющие линии задаются графически, в виде графиков изменения параметровв зависимости от значения третьей координатыz(рис.9.4). Тогда при необходимости получения положения некоторой образующей дляопределяют сначала значения параметров, которые затем подставляются в уравнение образующей.

2. Классификация плоскостей

   1. Линейчатые поверхности

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения

1. Конус

Конус образуют вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси

2. Цилиндр

. Цилиндр образуют вращением прямой вокруг параллельной ей оси

3. Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид образуют вращением прямой вокруг скрещивающейся с ней осью

Не линейчатые поверхности

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка

2.2.1 Шар

Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра . Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки , лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

2.2.2 Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают открытый тор(рис. а), когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и закрытый тор(рис.б) если ось вращения касается окружности.

Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

 (x²+y²+z²+R²-r²)² - 4R²(x²+y²)=0

2.2.3

Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случае получают сжатый(рис.218) а во втором – вытянутый(рис.219) эллипсоиды вращения

2.2.4 Двуполостный гиперболоид

. Двуполостный гиперболоид(рис.2)образуют вращением гиперболы вокруг её действительной оси

2.2.5 Параболоид

Параболоид(рис.1)образуют вращением параболы вокруг её фокальной оси

2.2.6 Поверхность вращения общего вида

Поверхность вращения общего видаобразуют вращением произвольной кривой.

3. Поверхности с плоскостью параллелизма

2.3.1 Цилиндроид

Цилиндроид образуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости

2.3.2 Коноид

Коноид образуют перемещением прямой по кривой линии и прямой, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости

2.3.3 Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид или косую плоскость образуют перемещением прямой по двум скрещивающимся прямым, когда образующая остаётся параллельной некоторой плоскости

2.4Поверхности, задаваемые каркасом

К ним относятся поверхности, образование которых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом – семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатным плоскостям

3. Пространственные кривые линии

Если кривую линию без её деформации нельзя совместить всеми точками с

плоскостью, то её называют пространственной. К таким кривым относят винтовые линии. Винтовая линия – это траектория движения точки, равномерно перемещающейся вдоль образующей, которая равномерно вращается вокруг оси этой поверхности.

3. Винтовые поверхности

Винтовая поверхность получается при винтовом перемещении некоторой кривой Если образующая при своем движении пересекает ось , то поверхность называется закрытой, в противном случае – открытой. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми(рис.165), если этот угол равен 90°, и косыми (наклонными)(рис.166), если угол — произвольный, отличный от 0 и 90° .

1. Геликоид

- винтовая поверхность, описываемая прямой, к-рая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось движения под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При Г. наз. прямым или минимальным (см. рис.). При Г. наз. косым. Прямой геликоид.