m6var15

Вариант № 15

∞

ln n

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

.

n=1

n5 + n

ln n

n

1

1

1

∞

1

Заметим, что

<

=

<

=

. Ряд

∑

сходится, так как

3/ 2

3/ 2

n5 + n

n5 + n

n3 +1/ n

n3

n

n=1 n

ряд с общим членом V

=

1

сходится при

p > 1 и расходится при

p ≤ 1.В данном случае

n

np

p = 3/ 2 > 1. Следовательно, сходится и ряд с общим членом

ln n

по первому признаку

n5 + n

сравнения. Ответ: Ряд сходится.

∞

13 ... (2n −1)

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

.

n=1

3n (n +1)!

Применим признак д,Аламбера:

13

... (2n −1)(2n +1)

13 ... (2n −1)

= lim

13 ... (2n −1)(2n

+1)

3n (n +1)!

=

lim

:

3n+1(n + 2)!

3n (n +1)!

3n+1(n + 2)! 13

...

(2n −1)

n→∞

n→∞

=

n!= n (n −1)!

=

1

lim

2n +1

=

1

2 =

2

< 1. Предел равен отношению коэффициентов при

3 n→∞ n + 2 3

3

старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

∞

3.

Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

n

.

2

n=1 en

Имеем

a

=

n

. Функция

f (x) =

x

удовлетворяет

условиям интегрального признака

n

2

en

ex

2

Коши. Действительно, f (n) = an , n = 1, 2, ...;

f (x) монотонно убывает на [1, ∞) и, следова-

∞

x

тельно, интеграл

∫

dx

и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем

x2

1

e

∞ x

1

∞

1

∞

1

1

∫1

dx =

x2= t, dt =

2xdx

=

∫1 e−t dt = −

e−t

= −0 +

e−1

=

. Интеграл

сходится, следо-

ex2

2

2

1

2

2e

вательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

∞

n

4.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: ∑(−1)n

.

n=1

n +100

Исходный ряд сходится, так как является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд

∞

n

∞

n

∑

(−1)n

= ∑

. Он расходится по первому признаку сравнения с гармониче-

n=1

n +100

n=1 n +100

1

ским рядом. Действительно:

n

≥

1

≥

1

, а ряд с общим членом

явля-

n +100

100(n +1)

n +100

n +1

ется гармоническим рядом без первого члена. Таким образом, абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

	∞	3	n
	5. Определить область сходимости функционального ряда: ∑			(x + 3)n .
		2n (n2 +1)
	n=1

1

∞

3n

Применим

признак

д,Аламбера

к

ряду

∑n=1

(x + 3)n

:

2n (n2 +1)

3n+1

(x + 3)n+1

2n (n2 +1)

3

2

+1

n

3

3

lim

=

x + 3

lim

=

x + 3

1 =

x + 3

. Ряд сходится,

n→∞ 2n+1[(n +1)2 +1]3n

(x + 3)n

2

n→∞ [(n +1)2 +1]

2

2

если этот

предел будет меньше

единицы:

3

x + 3

< 1,

т.е.

− 2/3 < x + 3 < 2/3. Или

2

−11/ 3 < x < −7 / 3. Следовательно, интервал (−11/ 3, − 7 /3) является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При x = −11/3 получим знакочередую-

∞

n

щийся числовой ряд ∑

(−1)

, который сходится по признаку Лейбница. При x = −7 /3 по-

n=1 n2 +1

∞

1

лучим числовой ряд ∑

, который сходится по признаку сравнения со сходящимся ря-

2 +1

n=1 n

∞

дом ∑

1

(степень знаменателя больше единицы). Действительно,

1

<

1

. Ответ:

n=1 n2

n2 +1 n2

Областью сходимости ряда является множество x [−11/ 3, − 7 /3]

∞

1

6. Определить область сходимости функционального ряда: ∑

.

9n (x −

n=1 n

1)2n

Применим

признак

д,Аламбера

к

данному

ряду:

lim

n

9n (x −1)2n

=

1

lim

n

=

1

1 =

1

.

Ряд

сходится, если

9n+1(x −1)2(n+1)

9(x −1)2

−1)2

−1)2

n→∞ (n +1)

n→∞ n

+1 9(x

9(x

этот предел будет меньше единицы:

1

< 1, т.е.

x −1 > 1/3 или

x −1 < −1/3. Следова-

9(x −1)2

тельно, ряд сходится при

x (−∞, 2/3) и

x (4/3, ∞) . Исследуем ряд на концах интервала.

∞

1

При x = 2/3 и

x = 4/3получим один и тот же числовой гармонический ряд ∑

, который

n=1 n

расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество x (−∞, 2/3) (4/ 3, ∞)

∞

2

n

7. Определить область сходимости функционального ряда: ∑

sin2n (2x) .

3n − 5

n=1

2n+1 sin2(n+1)

Применим признак д,Аламбера: lim

(2x) 3n − 5

= 2sin2 (2x) . Ряд сходится,

2n sin2n (2x)

n→∞ 3(n +1) − 5

если

этот предел будет

меньше

единицы: 2sin2 (2x) < 1, т.е. −

1

< sin(2x) <

1

или

2

2

− π + nπ < 2x < π + nπ − π +

nπ

< x < π +

nπ

.

Следовательно,

ряд

сходится

при

4

4

8

2

8

2

x (− π + nπ , π + nπ ) . Исследуем ряд на концах интервала. При x = ± π + nπ получим

	8	2	8	2			8		2
				∞		1
	один и тот же числовой ряд ∑							, который расходится по признаку сравнения с рядом
						3n − 5
				n=1

2

∞		1
∑				(последний расходится, так как степень в знаменателе меньше единицы.. Ответ:
n=1		3n

Областью сходимости ряда является множество x (− π + nπ , π + nπ ) , где n = ±0,1, 2, ....

8

2

8

2

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням

(x +1). Указать область

сходимости: ln(x + 5).

Воспользуемся известным разложением функции ln(1+ t) :

t2

t3

t4

n−1

tn

ln(1+ t) = t −

+

−

+ ...+ (−1)

+ .... Этот ряд сходится при

t (−1,1] . Преобразуем

2

3

4

n!

исходную функцию: ln(x + 5) = ln[4 (x + 5)] = ln 4 + ln (x + 5) = ln 4 + ln(1+ x +1) . В записан-

4	4	4
ном выше разложении логарифмической	функции положим	t = (x +1) / 4 , получим:

x +1

(x

+1)

(x +1)

2

(x +1)

3

(x +1)

4

n−1

(x +1)n

ln(1+

) =

−

+

−

+ ...+ (−1)

+ ...

Или

4

2

2 42

3 43

4 44

n 4n

∞

(x +1)

n

ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1

. Ряд сходится при − 4 < x +1 ≤ 4 или x (−5, 3].

n=1

n 4n

∞

(x +

1)

n

Ответ: ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1

, x (−5, 3].

n 4n

n=1

9.Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex , sin x, cos x, ln(1+ x), (1+ x)m , указать область сходимости: 327 − x3 .

= 3 3 1−

x3

= 3(1−

x3

)1/3 . Воспользуемся раз-

Преобразуем данную функцию: 3 27 − x3

27

27

ложением функции (1− t)1/3 в ряд Маклорена:

(1− t)1/3

= 1−

1

t −

1 2

t2 −

1 2 5

t3 −

1 2 5 7

t4 − .... Этот ряд сходится при условии

t

≤ 1.

3

3 6

3 6 9

3 6 912

t = x3 / 27 ,

получим:

В

этот

ряд

подставим

(1−

x3

)1/3 = 1−

1

x3

−

12

x6

−

12 5

x9

−

12 5 7

x12

− ... = 1− ∑

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n .

27

3 33

3 6 36

3 6 9 39

36 912 312

n=1

34n n!

= 3(1−

x3

)1/3

= 3(1− ∑

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n ) = 3 − ∑

12 5 ... (3n − 4)

x3n .

Тогда

3 27 − x3

27

n=1

34n n!

n=1

34n−1 n!

Областью

сходимости

ряда

будет

x3

< 1

x

< 3 .

Ответ:

27

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n ,

3

27 − x3

= 3 − ∑

x

< 3. (Ошибка в ответе в знаке!)

n=1

34n−1 n!

1

sin x

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4:

∫

dx .

0

x

Воспользуемся

формулой

sin x = x −

1

x3 +

1

x5 −

1

x7 + ....

Получим

6

120

5040

sin x

1

1

1

1

sin x

= 1−

x2 +

x4 −

x6 + .... Тогда ∫

dx =

5040

x

6

120

0

x

3

1			1						1						1					1				1					1						1
= ∫[1−							2					4						6				3					5					7
						x		+			x			−			x		+ ...]dx = x −		x		+			x		−			x		+ ...		=
0			6						120						5040					6 3				120 5					5040	7					0
		1							1						1
= 1−						+					−						+ .... В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность бу-
													5040 7
6			3 120 5

дет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине мень-

ше,

чем

ε = 10−4 . В

данном

случае

u

0

= 1, u

= −0,055556, u

2

= 0,001667 . Очевидно,

что

1

u

3

< 10−4 .

Следовательно,

достаточно

взять

три

первых

слагаемых:

1

sin x

1

sin x

∫

dx ≈ 1− 0,055556 + 0,001667 ≈ 0,9461. Ответ: ∫

dx ≈ 0,9461.

0

x

0

x

11.

Вычислить

предел,

используя

разложение

функций в

ряд

Тейлора:

lim

xsin x + cos

2x −1

.

x→0

x4

cost = 1−

t2

+

t4

−

t6

+

t8

− ...,

x = 1− x2 +

x4

−

x6

+

x8

− ...

Так

как

то

cos

2

720

2

24

720

56

6

90

2520

Кроме того, sin x = x −

x3

+

x5

−

x7

+ .... Следовательно, lim

xsin x + cos

2x −1

=

x4

6

120 5040

x→0

= lim

1

[(x2

−

x4

+

x6

−

x8

+ ...) + (1− x2 +

x4

−

x6

+

x8

− ...) −1] = lim

1

(−

x6

−

x→0 x6

6

120

5040

6

90

2520

x→0 x6

360

x8

1

x2

1

xsin x + cos

2x −1

= −

1

−

+ ...) = lim(−

−

+ ...) = −

. Ответ: lim

.

x4

5040

x→0

360

5040

360

x→0

360

12. Найти сумму ряда: ∑∞ n2 +1 xn . n=2 2n n!

Обозначим сумму ряда

∞

n

2

+1

∞

[n(n −1) + n +1]

x

n

x

2

∑

xn = ∑

=

2n n!

n=2

n=2

n!

2n

22

	через		S(x) .
∞	n(n −1)		n−2			∞
∑			x	+	x	∑
			n−2
n=2	n!		2		2 n=2

			Преобразуем							ряд:
			n−1	∞				n
n			x	+ ∑	1			x	=
n!			n−1					n
		2		n=2 n!			2

d

2

∞

x

n

x

∞

x

n−1

∞

x

n

∞

n

= x2

∑

1

+

∑

1

+ ∑

1

.

Так

как

∑

x

= ex/ 2 ,

то

(n −1)!

2n−1

dx2

n=2 n!

2n

2 n=2

n=2 n!

2n

n=0

2n n!

∞

x

n

x

∞

x

n−1

∑

= ex / 2 −1−

,

∑

= ex / 2 −1.

Следовательно,

n

n−1

n=2

2

n!

2

n=2

2

(n −1)!

S(x) = x2

d 2

(ex/ 2 −1−

x

) +

x

(ex/ 2 −1)+ ex/ 2 −1−

x

=

x2

ex/ 2 +

x

(ex / 2 −1) + ex/ 2

dx2

2

2

2

4

2

x

2

x

∞

n

2

+1

x

2

x

= (

+

+1)ex / 2

− x −1. Ответ: ∑

xn

= (

+

+1)ex / 2 − x −1.

4

2

n=2

2n n!

4

2

∞

(−1)

n−1

13. Найти сумму ряда:∑

.

n=1 n(n +1)xn+1

∞

Обозначим

сумму

ряда

через

S(x).

Тогда

S(x) = ∑

n=1

∞

n−1

∞

(−1)

n−1

∞

n−1 ∞

(−1)

n−1

= ∑

(−1)

− ∑

=

1

∑

(−1)

− ∑

=

n+1

(n +1)x

n+1

n

(n +1)x

n+1

n=1

nx

n=1

x n=1

nx

n=1

−1− x =

2

(−1)n−1 = n(n +1)xn+1

4

1

x ∞

x ∞

= −

∫∑(−1)n−1 x

−n−1dx +∫∑(−1)n−1 x

−n−2dx.

Но

x

0 n=1

0 n=1

∞

1/ x

2

∞

1/ x

3

∑(−1)n−1 x−n−1 =

, ∑(−1)n−1 x−n−2

=

есть

суммы бесконечно

убывающих

гео-

n=1

1+1/ x

n=1

1+1/ x

метрических

прогрессий

при

x

> 1.

Следовательно,

1

x

1/ x2

x

1/ x3

1

x

1

x

1

1

x

1

x

1

S(x) = −

∫

dx +

∫

dx = −

∫

dx + ∫

dx = −

[∫

dx − ∫

dx]+

x

x

x(1+ x)

x

2

(1+ x)

x

1

0

1+1/ x

0

1+1/ x

0

0

0

x

0

+ x

x

1

x

1

x

1

1

1

1

1

1

1

1

+ ∫

dx − ∫

dx +

∫

dx = −

ln x +

ln(1+ x) −

− ln x + ln(1+ x) =

ln(1+

) + ln(1+

) −

=

2

1

x

x

0

x

0

x

0

+ x

x

x

x

x

x

1

1

1

∞

(−1)

n−1

1

1

1

= (1+

)ln(1+

) −

. Ответ: ∑

=

(1+

)ln(1+

) −

.

x

x

x

n=1 n(n +1)xn+1

x

x

x

14.Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора: y′ = xy3 −1, y(0) = 0

∞

y

(n)

(0)

Будем искать решение уравнения в виде y = ∑an xn , где an

=

. Будем последова-

n=0

n!

тельно

вычислять

производные

y(n) (0) :

y′(0) = −1,

y′′ = y3

+ 3xy2 y′,

y′′(0) = 0,

y′′′ = 6y2 y′ + 6xyy′2 + 3xy2 y′′, y′′′(0) = 0,

yIV = 18yy′2 + 9y2 y′′ + 6xy′3 +18xyy′y′′ + 3xy2 y′′′,

yIV (0) = 0, yV = 24y′3 + 72yy′y′′ +12y2 y′′′ + 36xy′2 y′′ + 24xyy′y′′′ + 3xy2 yIV , yV (0) = −24,

yVI

= 180y′2 y′′ + 72yy′′2 +120yy′y′′′ +15y2 yIV + 72xy′y′′2 + 60xy′2 y′′′ + 24xyy′′y′′′ +

+ 30xyy′yIV + 3xy2 yV , yVI (0) = 0,

yVII = 504y′y′′2 + 360y′2 y′′′ + 288yy′′y′′′ +180yy′yIV

+

+18y2 yV

+ 72xy′′3 + 288xy′y′′y′′′ + 90xy′2 yIV

+ 24xyy′′′2 + 54xyy′′yIV

+ 36xyy′yV + 3xy2 yVI ,

yVII (0) = 0, y(8)

= 576y′′3 + 2304y′y′′y′′′ + 630y′2 yIV + 312yy′′′2 + 522yy′′yIV

+ 252yy′yV +

+ 21y2 yIV

+ 504xy′′2 y′′′ + 522xy′y′′yIV

+126y′2 yV

+ 24xy′y′′′2 +102xyy′′′yIV

+ 90xyy′′yV

+

+ 42xyy′yVI + 3xy2 yVII ,

y(8) (0) = 0, y(9)

= 252y′2 yV +126y′2 yV

+ ..., y(9) (0) = −378 24

( ос-

тальные

слагаемые

в

y(9)

в

точке

x = 0

равны

нулю)..

Следовательно,

a

=

0, a

= −1, a

= a

= a

= 0, a

= −

24

= −

1

=

1

, a

= a

= a

= 0, a

= −

378 24

= −

1

....

0

1

2

3

4

5

5!

5

20

6

7

8

9

9!

40

Таким образом,

y = −x −

x5

−

x9

+ .... Ответ: y = −x −

x5

−

x9

+ ....

5

40

5

40

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде сте-

пенного ряда или ряда Тейлора: y′′ = exy , y(0) = 1, y′(0) = 0

∞

y

(n)

(0)

Будем искать решение уравнения в виде y = ∑an xn , где an =

. Будем последова-

n=0

n!

тельно вычислять производные y(n) (0) : y′′(0) = 1, y′′′ = exy (y + xy′) =

y′′(y + xy′),

y′′′(0) = 1, yIV =

yy′′′ + 2y′y′′ + xy′′2 + xy′y′′′,

yIV (0) = 1,

yV

= 4y′y′′′ + yyIV

+ 3y′′2 + xy′yIV

+

+ 3xy′′y′′′,

yV (0) = 4, yVI = 13y′′y′′′ + 6y′yIV + yyV

+ 4xy′′yIV

+ xy′yV

+ 3xy′′′2 ,

yVI (0) = 17,

y(7)

= 16y′′′2 + 23y′′yIV

+ 8y′yV + yyVI

+10xy′′′yIV

+ 5xy′′yV

+ xy′yVI ,

y(7) (0) = 56 . Следователь-

5

но, a

= 1,

a = 0, a

=

1

, a

=

1

, a

=

1

, a

=

4

=

1

,

a

=

17

, a

=

56

=

1

0

1

2

2

3

6

4

24

5

5!

30

6

6!

7

7!

90

зом,

y = 1+

x2

+

x3

+

x4

+

x5

+

17

x6 +

x7

+ ....

2

6

24

30

6!

90

Ответ: y =1+

x2

+

x3

+

x4

+

x5

+

17

x6 +

x7

+....

2

6

24

30

6!

90

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем y =

x

−1, x [−1,1].

y

Функция

f (x) является чётной. Поэтому в её разложении

. Таким обра-

x

	a0	∞			0 1
в ряд Фурье f (x) =		+ ∑ak coskπx + bk sin kπx	все коэффи-	-1		2
2		k=1			-1
циенты bk = 0 . Вычислим коэффициенты ak ,			k = 0,1, 2, ...:

1

ak = 2∫(x

0

k ≠ 0; a0

−1)coskπxdx = 2(

1

coskπx +

x

sin kπx)

1

2

sin kπx

1

2

−

=

[(−1)k −1],

k2π 2

kπ

kπ

k2π 2

1

1

0

0

x2

= 2∫(x −1)dx = 2(

− x)

= −1.

Следовательно,

ak = 0 ,

если k чётное и

0

2

0

a

= −

4

, если

k

нечётное. Положим k = 2n −1. Тогда

для

нечётных

k

получим

k

k2π 2

∞

n = 1, 2, 3, ...

Таким

образом,

f (x) = −

1

−

4

∑

cos(2n −1)πx

.

Ответ:

2

π 2

n=1

(2n −1)2

1

4

∞

cos(2n −1)πx

y = −

−

∑

.

2

π 2

n=1

(2n −1)2

17.

Разложить функцию в ряд Фурье на (−L, L]:

y = ea

x

, x (−π ,π ].

a0

∞

Вычисляем коэффициенты разложения

f (x) =

+ ∑ak coskx + bk sin kx данной функ-

2

k=1

ции в ряд Фурье. Так как функция чётная, то все bk = 0 ,

2

π

2

π

2

π

2

π

2

(eaπ

ak

=

∫ f (x)coskx dx =

∫eax coskx dx a0 =

∫eaxdx =

eax

=

−1) . Из таблиц

π

π

π

aπ

0

aπ

0

2

π

0

2eax

0

π

2a(eaπ (−1)k −1)

находим (при k > 0 ):

∫eax

coskx dx =

(acoskx + k sin kx)

=

.

π

π (a

2

+ k

2

)

π (a

2

+ k

2

)

0

0

Таким образом,

e

aπ

−1

2a

∞

(−1)

k+1

e

aπ

−1

e

aπ

−1

2a

∞

(−1)

k+1

e

aπ

−1

f (x) =

+

∑

coskx. Ответ: y =

+

∑

coskx .

aπ

π

k=1

a2 + k2

aπ

π

k=1

a2 + k2

18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на (−L, L]:

y= eπx , x (−2, 2].

Вкомплексной форме ряд Фурье функции f (x) периода T = 2L имеет вид:

∞

−

iπ k x

1

L

iπ k x

1

2

ikπ x

f (x) = ∑Ck e

L

, где Ck

=

∫ f (x)e

L

dx. В данном случае Ck

=

∫eπxe

2 dx =

2L

k=−∞

−L

4

−2

6

1

1

(π +

ikπ

)x

2

1

1

1

=

e

2

=

(e

(2π +ikπ )

− e

−(2π +ikπ )

) =

sh(2π + ikπ ) =

4

π + ikπ / 2

−2

4

π + ikπ / 2

(2π + ikπ )

1

(−1)k sh 2π

(−1)k

(2 − ik) sh 2π

=

[sh2π ch(ikπ )

+ sh(ikπ ) ch2π ] =

=

. Таким обра-

π (2 + ik)

π (4 + k2 )

π (2 + ik)

sh2π

∞

2 − ik

−

ikπx

sh

2π

∞

2 − ik

−

ikπx

зом,

f (x) =

∑ (−1)k

e

2 . Ответ: y =

∑

(−1)k

e

2 .

π

4 + k2

π

4 + k2

k=−∞

k=−∞

19.

Функцию y = f (x) представить интегралом Фурье в действительной форме:

y = η(x) e−2x .

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид

∞

1

∞

1

∞

f (x) = ∫[a(ω)cos(ωx) + b(ω)sin(ωx)]dω , где a(ω) =

∫

f (t)cosωt dt, b(ω) =

∫ f (t)sinωt dt .

π

π

0

−∞

−∞

Найдём функции a(ω) и b(ω):

1

∞

1

∞

e−2t

∞

2

a(ω) =

∫ f (t)sinωt dt =

∫e−2t

cosωt dt =

(−2cosωt + ω sinωt)

=

.

π

π

2

)

π (4 + ω

2

)

−∞

0

π (4 + ω

0

1

∞

1

∞

e−2t

∞

ω

b(ω) =

∫ f (t)sinωt dt =

∫e−2t

sinωt dt =

(−2sinωt − ω cosωt)

=

. Та-

π

π

2

)

π (4 + ω

2

)

−∞

0

π (4 + ω

0

1

∞

1

ким образом,

f (x) =

∫

(2cosωx + ω sinωx)dω =

π

2

0

4 + ω

=

1

∞

1

(

2

cosωx +

ω

sinωx)dω =

1

∞

cos(

ωx −ϕ

ω )

dω, tgϕω

= ω .

∫0 4 + ω 2

π

4 + ω 2

4 + ω 2

π

∫0

4 + ω 2

2

Ответ: y =

1

∞

1

(2cosωx + ω sinωx)dω =

1

∞

cos(

ωx −ϕ

ω )

dω, tgϕω = ω .

∫0 4 + ω

π

2

π

∫0

4 + ω 2

2

20.

Функцию y = f (x) представить интегралом Фурье в комплексной форме:

y = η(x) e−2x .

Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид

∞

1

∞

f (x) = ∫с(ω)e−iωxdω , где c(ω) =

∫ f (t)eiωt

dt . Вычислим c(ω) :

2π

−∞

−∞

1

∞

1

∞

1

∞

c(ω) =

∫ f

(t)eiωt dt =

∫e−2t

eiωt dt =

∫e−(2−iω)t dt =

2π

2π

2π

−∞

0

0

1

e−(2−iω)t

∞

1

1

2 + iω

1

∞

2 + iω

e−iωxdω .

= −

=

=

. Таким образом,

f (x) =

∫

2 − iω

2π

− iω

2π (4 + ω

2

)

2π

2

0

2

−∞

4 + ω

1

∞

2 + iω

e−iωxdω

Ответ: y =

∫

2π

2

−∞

4 + ω

7