m2var15

Вариант № 15

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

∫

x2

1

∫

dx3

1

подведение под

1.

dx =

=

=

ln

x3 + 5 + x6

+ C .

5 + x6

знак дифференциала

3

5 + (x3 )2

3

1

′

1

1

6x5

3

6

2

Проверка:

ln

x

+

5 + x

+ C

=

(3x

+

) =

3

3 x3 + 5 + x6

2 5 + x6

=

x2

5 + x6 + x3

=

x2

. Ответ: ∫

x2

1

dx =

ln

x3 +

5 + x6

+ C .

x3 + 5 + x6

5 + x6

5 + x6

5 + x6

3

2.

∫arcsin xdx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

arcsin x = u, du =

dx

xdx

1

d(1− x2 )

arcsin xdx =

= x arcsin x

−

=x arcsin x +

=

1− x2

∫

∫

2 ∫

(1− x2 )1/ 2

dx = dv,

v = x

1− x2

= x arcsin x + cc . Проверка:

′

x

2x

(= x arcsin x + 1− x2

+ C) = arcsin x +

−

= arcsin x.

1− x2

2 1− x2

Ответ: ∫arcsin xdx = x arcsin x + 1− x2 + C .

3.

∫

x − 7

dx =

1

∫

2x + 4 −18

dx =

1

∫

d(

x2 + 4x + 5)

dx − 9∫

dx

=

x2 + 4x + 5

2

x2 + 4x + 5

2

x2 + 4x + 5

(x + )2 +1

= x2 + 4x + 5 − 9ln

(x + ) + (x + )2 +1

+ С .

′

=

x

2

+ 4x + 5 − 9ln

(x +

) +

(x +

)

2

+1

+

Проверка:

С

1+

2x + 4

2x + 4

x + 2

x − 7

2

9

=

− 9

2 x + 4x + 5

=

−

=

.

2 x2 + 4x + 5

(x + ) + (x + )2 +1

x2 + 4x + 5

x2 + 4x + 5

x2 + 4x + 5

Ответ: ∫

x − 7

dx =

x2 + 4x + 5 − 9ln

(x +

) +

x2 + 4x + 5

+ С .

x2

+ 4x + 5

∫

2x3

+ 4x2 − 8x + 3

4.

dx. Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

2

x(x

− 2x +1)

простые дроби. ∫

2x3 + 4x2 − 8x + 3

dx = ∫

[2 +

8x2 − 4x +

3

]dx = ∫[2 +

8x2 − 4x + 3

]dx

x(x

2

− 2x +1)

x(x

2

− 2x +

1)

x(x −1)

2

8x2 − 4x + 3

=

A

+

B

+

C

=

A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx

A(x −1)2

+ Bx(x −1) + Cx =

x(x −

1)2

−

1)2

x(x −1)2

x x

−1 (x

= 8x2

− 4x + 3.

Полагаем

x = 0,

получим

A = 3.

Из

равенства

x = 1

следует

C = 7 .

Приравнивая

коэффициенты

при

x2 ,

получим

A + B = 8. Или B = 5 . Таким

образом,

∫

2x3

+ 4x2 −

8x +

3

dx = ∫[2 +

3

+

5

+

7

]dx =

2x + 3ln

x

+ 5ln

x −1

−

7

+ C

=

2

2

x(x

− 2x

+1)

x x

−1 (x −1)

x

−1

7

= 2x + ln

x3 (x −1)5

−

+ C

x

−

1

3

5

7

′

= 2 +

3

+

5

+

7

=

Проверка: 2x

+ ln

x

(x −1)

−

+ C

x

−

1

x x

−1 (x −1)2

=

2x(x2

− 2x +1) + 3(x2 − 2x +1) + 5x(x −1)

+ 7x

=

2x3

+ 4x

2 − 8x + 3

.

x(x −1)2

x(x −1)2

Ответ: ∫

2x3 +

4x2 − 8x + 3

7

dx = 2x + ln

x3 (x −1)5

−

+ C .

x(x

2

− 2x +1)

x

−

1

5.

∫

x2 − 8x + 21

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

(x − 3)(x

2

−

8x +17)

∫

x2

− 8x + 21

dx = ∫

x2

− 8x + 21

dx .

(x − 3)(x

2

− 8x +17)

(x − 3)((x −

4)

2

+1)

x2 − 8x + 21

=

A

+

Bx + C

=

A(x2

− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3)

(x − 3)((x − 4)2

+1)

x −

3

x2 −

8x +17

(x − 3)(x2

− 8x +

17)

A(x2

− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3) = x2

− 8x + 21. Полагаем x = 3, получим A = 3.

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 1. Или B = −2 . Приравнивая

коэффициенты при

x0 , получим 17A − 3C = 21. Или C = 10 . Таким образом,

∫

x2

− 8x + 21

dx = ∫

3

−

(x − 4) − 2

[

]dx =

(x − 3)(x

2

− 8x +17)

x − 3

(x − 4)

2

+1

= 3ln

x − 3

− ln((x − 4)2 +1) + 2arctg (x − 4) + C = ln

(x − 3)3

+ 2arctg(x − 4)

x2 − 8x

+17

Проверка:

(x − 3)

3

′

3

2x − 8

2

ln

− 4) + C

+

2arctg(x

=

−

+

=

x2 − 8x +17

x −

3 x2

− 8x +17 x2

− 8x +17

=

3(x2 − 8x +

17) − (x − 4)(x − 3) + 2x − 6

=

x2

− 8x + 21

.

(x2 − 8x +17)(x − 3)

(x2

− 8x +17)(x − 3)

Ответ: ∫

x2 −

8x + 21

dx = ln

(x

− 3)3

+ 2arctg(x − 4) + C .

− 3)(x

2

2

−

8x +17

(x

− 8x +17)

x

6. ∫

3 x

dx . Инетегрируем с помощью замены переменной.

3

x +

x(

x)

x = t6 , dx = 6t5dt

t2 6t5dt

+ t − t)dt

∫

x

dx =

= ∫

= 6∫

dt

= 6∫

(1

3

+ t

2

) t

6

t(t +1)

t(t +1)

x( x + 3 x)

x = t3 , 3 x = t2

(t

= 6lnt − 6ln

t +1

+ C = 6ln

6 x

+ C .

6 x +1

+ C .

=

Проверка:

6

′

−5/ 6

−5/ 6

6

+1−

6

x

1

x

1

x

x

x

1

6ln

+ C

= 6

− 6

=

=

=

6

x +1

6

6

x

6

6

x +1

6

x(

6

x +1)x

5/ 6

6

x(

6

x +1)x

5/ 6

=

1

=

3

x

=

3 x

=

1

.

x(6 x +1)

x(6 x

+1)3 x

x( x + 3 x) (1

+ 4 x)3 x

Ответ: ∫

3

x

dx = 6ln

6

x

+ C .

3

6

x +

x +1

x(

x)

7. ∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

x

4

x2

+ 4

∫

dx

=

x = 2tg t, dx =

2dt

= ∫

2dt

=

1

∫

cos3

tdt

=

2

4

2

tg

4

t

4

+ 4

x4

x2

cos

t

2

cos

t

/ cost 16

sin

t

=

1

∫

(1− sin2 t)d sin t

=

1

∫

(1− sin2

t)d sint

= −

1

+

1

+ C =

16

sin

4

t

16

sin

4

t

48sin

3

16sint

t

= −

(1+ tg2t)3

+

1+ tg2t

+ C

= −

(1+ x2 / 4)3

+

1+ x2 / 4

+ C = −

4 + x

2

(

4 + x

2

−1) + C

48tg

3t

16tg t

48x3 /8

16x / 2

16x

3x2

−

4 + x

2

4 + x2 − 3x

2

+ C =

(x2 − ) 4 + x

2

+ C .

16x

3x2

24x3

′

[2x

+

x(

x2 −

)

] x3 − 3x2 (x2 − )

4 + x2

4 + x2

2

− )

4 + x

2

(x

1

4 + x

2

Проверка:

+ C

=

=

24x

3

24

x

6

=

1

8x2 + 2x4 + x4

− 2x2 −12x2 − 3x4 + 6x2 + 24

=

1

.

24

x4 4 + x2

x4 4 + x2

Ответ: ∫

dx

=

(x2

− )

4 + x

2

+ C .

3

x

4

x2 + 4

24x

8. ∫sec4 x tg4 xdx . Интегрируем с помощью замены переменной.

4

(1+ t

2

2

∫sec4 x tg4 xdx =

tg x = t, dt =

dx

, cos2 x =

1

= ∫

t

)

dt

= ∫t4 (1+ t2 )dt =

2

x

1

+ t

2

1+ t

2

cos

=

t5

+

t7

+ C =

tg5 x

+

tg7 x

+ C .

5

7

5

7

′

tg5

x

tg

7 x

1

1

1

Проверка:

+

+ C

= (tg4 x + tg6 x)

= tg4 x(1+ tg2 x)

= tg4 x

=

2

2

4

5

7

cos

x

cos

x

cos

x

= sec4 x tg4 x . Ответ: ∫sec4 x tg4 xdx =

tg5 x

+

tg7 x

+ C .

5

7

9. ∫5 + 4sindx x . Интегрируем с помощью замены переменной.

t = tg

x

,

dx =

2dt

,

dx

2dt

2dt

∫

=

2

1+ t

2

=

∫

=∫

=

5 + 4sin x

sin x =

2t

5 +

8t

+ t

2

5 + 5t2

+ 8t)

(1

)

1

+ t2

1

+ t

2

=

2

∫

dt

=

2

∫

dt

=

2

arctg

t + 4/5

+ C =

5

t

2

+ 2

4/5 +16/ 25 −16/ 25

(t + 4/5)

2

3/5

+1 5

+ 9/ 25 3

=

2

arctg

5t + 4

+ C =

2

arctg

5tg(x / ) + 4

+ C .

3

3

3

3

2

5tg(x / ) + 4

′

=

2

1

5

=

Проверка:

arctg

+ C

) + 4)2

3

3

3 1+ (5tg(x /

/9 6cos2 (x / )

=

5

=

5

=

1

.

9cos2 (x /

) + 25sin2 (x /

) + 40sin(x / )cos(x /

) +16cos2 (x / )

25 + 20sin x

5 + 4sin x

Ответ: ∫

dx

=

2

arctg

5tg(x / ) + 4

+ C .

+ 4sin x

5

3

3

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞ e2x −1

∞

b

b

10.

dx = 2

sh xdx = 2 lim

sh xdx =2 lim ch x

= 2 lim (chb − cha) = ∞ + ∞ = ∞ .

∫

x

∫

∫

a

e

a→−∞

a→−∞

a→−∞

−∞

−∞

b→∞

a

b→∞

b→∞

∞

e

2x

−1

Интеграл расходится.

Ответ: ∫

dx = ∞ . Интеграл расходится.

e

x

−∞

1/ 2

dx

1/ 2

d ln x

1

1/ 2

1

1

1

11. ∫

= lim ∫

= lim(−

)

= lim(−

+

) =

. Интеграл

2

2

lnα

xln

x

α →0

α

ln

x

α →0

ln x

α

α →0

ln(1/

)x

ln 2

сходится.

0

α >0

α >0

α >0

1/ 2

dx

1

Ответ: ∫

=

. Интеграл сходится.

2

x

ln 2

0

xln

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y	= −x2 + 3x +1 = f		1	(x)
12.					.	Найдём точки пересечения линий:
	= x − 2 = f2 (x)
y
− x2 + 3x +1 = x − 2 x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x										2	= 3 .
								1				4
Тогда
x2				3								2
S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + 3x +1− x + ]dx =												0
x1			−1
3							3	3
= ∫[3 + 2x −x2 ]dx = [3x + x2 − x							] =					2
−1						3		−1				4	0	1	2	3
												1
= 9 + 9 − 9 + 3 −1− `1 = `32 = 10 2 . Ответ: S = 10 2 .												1
	3	3				3			3

x = 32cos3 t

13. y = sin3 t . Это астроида. Найдём точкиx = 4, (x ≥ 4)

пересечения линий:

32cos3 t = 4 cost =

1

t

= − π , t

= π . Следовательно,

1

2

2

3

3

t2

π / 3

S = ∫(x(t) − 4)dy(t) =

∫[32cos3 t − 4]3sin2 t costdt =

t1

−π / 3

π / 3

sin

3

t

π / 3

π / 3

= 96

∫cos4 t sin2 tdt −12

= 12

∫(1+ cos2t)sin2 2tdt −

3

−π / 3

−π / 3

−π / 3

π / 3

sin

3

2t

π / 3

sin 4t

π / 3

− 3

3 = 6

∫(1− cos4t)dt + 6

− 3

3

= 6[t −

]

−π / 3

3

−π / 3

4

−π / 3

3

= 4π +

3

+

3

+

3 − 3

3

3

3 − 3 3 = 4π . Ответ: S = 4π .

2

2

2

0

1

32

16

0

16

32

+

14. Вычислите длину дуги кривой (L):{ρ = 3(1− cosϕ) (кардиоида).

ϕ2

2π

2π

2π

L = ∫

ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 9(1− cosϕ)2 + 9 sin2 ϕdϕ = 3∫

dϕ = 3∫ 4sin2 (ϕ / )dϕ =

(1− cosϕ)

ϕ1

0

0

0

2π

02π = −12(−1−1) = 24 . Ответ: L = 24 .

= 6 ∫sin(ϕ / )dϕ = −12cos(ϕ / )

0

y = x2

,

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

вокруг оси OX.

y = 4

Найдём точки пересечения линий: x2 = 4 x

= − , x

2

= 2 .

1

x2	2		x	5			2
V = π ∫(y22	− y12 )dx = π ∫	(16 − x4 )dx = π (16x −			)
x1	−2	5					−2

= π (32 − 32 + 32 − 32) = 256π . Ответ: 5 5 5

V = 256π .

5

y

2 = 4(x − 4)

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

≤ x ≤

вокруг оси OX.

7

12

x2

12

12

8π

12

P = 2π ∫ y

1+ y′2 dx = 2π ∫2

x − 4 1+1/(x − 4)dx = 4π ∫ x − 3dx =

(x − 3)3/ 2

7 =

x1

7

7

3

=

8π

(27 − 8) =

152π

.

Ответ: P =

152π

.

3

3

3

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

arctg

x

1

x

1

a +

a

2

− x

2

17. ∫

a

dx = −

arccos

+

ln

+ C . По справочнику находим:

x

2

a

x

x

a

arctg

x

a2

+ x2

∫

a

dx = −

1

arctg

x

−

1

ln

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

x

2

a

2a

x

2

x

математические формулы.)

arctg

x

a2 + x2

Ответ: ∫

1

x

1

a

dx = −

arctg

−

ln

+ C .

x

2

x

a

x

2

2a

∞

∞

∞

π

π .

18. ∫sin(x2 )dx . По справочнику находим: ∫sin(x2 )dx =

. Ответ: ∫sin(x2 )dx =

−∞

−∞

2

−∞

2

19.Напряжение цепи, равное первоначально 120 в, равномерно падает со скоростью

0.01вольт в секунду. Одновременно в цепь вводится сопротивление с постоянной скоростью

0.1Ом/с. В цепи имеется постоянное сопротивление r =12 Ом. Сколько кулонов

электричества протечёт через цепь за 3 минуты.

В момент времени t = 0 сопротивление цепи равно r(0) = 12 , а напряжение равно

V(0) = 120. В момент времени t сопротивление цепи будет r(t) = 12 + 0.1t , а напряжение

V(t) = 120 − 0.01t . Тогда в момент времени t ток составит величину J(t) = V(t) = 120 − 0.01t . r(t) 10 + 0.1t

Следовательно количество электричества за 3 минуты составит величину

	180		− 0.01t		180							180
	q = ∫	120		dt =	∫[	121.2	− 0.1]dt = 121.2	1		ln(12 + 0.1t)		− 0.1t		1800 =
	0	12	+ 0.1t		0	12 + 0.1t	0.1					0

= 1212 [ln30 − ln12]−18 = 1212 ln 5 −`18 ≈ 1092 кулонов. Ответ: q ≈ 1092 кулонов. 2

20. Цилиндр с диаметром поперечного сечения d = 20 см и высотой H = 60 см заполнен паром под давлением 10 кг/см2. Пользуясь законом Бойля-Мариотта, вычислите работу, необходимую для изменения объёма пара в два раза при неизменной температуре.

По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P =						V0 P0	. Начальный объём будет
				0	0	V
равен V	0	= 60 πr2	= 60100π = 6000π	см3. Конечный объём равен V = V				0	/ 2 = 3000π . Пусть
							1

дно цилиндра расположено в точке x=0, а x – точка текущего положения поршня, которым сдавливается пар. Тогда V = πr2 x . Из этого следует, что dV = πr2dx . В положении

поршня x давление на поршень составит величину πr2 V0 P0 . Таким образом, на участке (x,

V

x+dx) необходимо совершить работу dA = πr2

V0 P0

dx = πr2

V0 P0

dV

= V P

dV

.

V

V

πr2

0 0 V

Следовательно,

V0

dV

V0

dV

V

V

6000π

A = ∫V0 P0

V = V0 P0

∫

V = V0 P0 lnV

V1 = V0 P0

ln V

= 6000π 10 ln 3000π

= 60000π ln 2 .

0

0

V

V

1

1

1

Переводя единицу длины в метры, получим

A = 600π ln 2 кГм.

Ответ: A = 600π ln 2 кГм.