Акулов, Федотов. Основы теории биотехнических систем

Nдоп = Sδ (t) (ω)	Sимп (ω), NДОП = 10,			fв	= 0,9 tи	(2.67)
S(ω)
0.8
0.6
0.4
0.2
0						ω
2π/tи		4π/tи	6π/tи		8π/tи

Рисунок 2.11 – Огибающая спектра прямоугольного стимула

Если учесть, что реальный прямоугольный стимул имеет конечную величину фронта, то, анализируя аналогично случаю ступенчатого стимула, получим для выражения (2.66) дополнитель-

ный множитель вида: (1 + ω2TФ2 )−12 .

Таким образом, учет конечной величины фронта импульсного тест-воздействия вводит еще более жесткие ограничения на выбор верхней граничной частоты идентификации системы с помощью реального прямоугольного стимула.

2.5. Методика определения передаточной функции системы

Следующим шагом в функциональной идентификации биологических звеньев БТС является определение передаточной функции исследуемого объекта по известной частотной характеристике.

Частотная характеристика объекта может быть определена в результате регистрации реакции объекта на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты или путем обработки по Фурье реакции системы на входные воздействия в виде импульсного тест стимула.

Существует ряд методов для определения передаточной функции по известной частотной характеристике. Наиболее про-

90

стым и наглядным методом является графоаналитический метод идентификации Боде.

Метод основан на представлении искомой передаточной функции в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев, имеющих известные частотные характеристики, аппроксимирующие частотную характеристику исследуемого объекта.

Передаточная функция стационарной линейной системы может быть записана в виде:

H( p) = Y( p) = bm pm + bm−1 pm−1 +…+ b1 p + b0 X ( p) an pn + an−1 pn−1 +…+ a1 p + a0

Для физически реализуемых систем m < n . В случае

H ( p) = H (0) = b0 = K0, a0

где: K0 – статический коэффициент усиления системы.

(2.68)

p = 0:

Полюсы передаточной функции являются отрицательными, так как частотная характеристика может быть измерена только у устойчивых систем. Числитель и знаменатель передаточной функции можно представить в виде произведения многочленов, имеющих вещественные, нулевые или комплексно-сопряженные корни:

	ℓ	r
H ( p) =	K0 pq ∏(Ti p +1)∏(Tg p2 + 2Tgξg p +1)
	i=1	g =1		(2.69)
	β	γ
	pα ∏(Th p +1)∏(Tk2 p2 + 2Tkξk p +1)
	h=1	k =1
где: q + ℓ + 2r = m;		α +δ + 2γ = n; Ti, h – постоянная		времени

звеньев первого порядка; Tg , k – период собственных колебаний звеньев 2-го порядка; ξg,k – декремент затухания звеньев второго

порядка.

Числитель и знаменатель выражения (2.69) состоят из трех типов сомножителей: степеней переменной p , линейных двучле-

91

нов и квадратных трехчленов, получаемых объединением сомножителей с комплексно-сопряженными корнями.

При переходе к частотной характеристике путем замены p → jω и логарифмировании, амплитудная (АЧХ) и фазовая

(ФЧХ) частотная характеристики системы приобретают вид:

H (jω)

ℓ

lg

= lg K + q lg

jω

+ ∑lg

jωTi +1

+

+ ∑γ (lg1 − ω2Tg

2 + jω2Tgξg

i =1

jω

)− ∑g

jωTh +1

−α lg

lg

− (2.70)

g =1

h=1

γ

− ∑lg1 − ω2T 2k + jω2Tkξk

k =1

ϕ(ω)= Arg[H ( jω)]= q π + ∑ℓ Arg( jωTi +1) +

2 i =1

r
+ ∑ Arg(1 − ω2Tg	2 + 2Tgξg jω) −	(2.71)

g=1

−α π − ∑β Arg( jωTh +1) − ∑γ Arg(1 − ω2Tk2 + 2Tkξk jω)

2 h=1 k =1

Таким образом, в рассматриваемой области выражения для АЧХ и ФЧХ системы можно рассматривать как алгебраическую сумму соответствующих выражений для характеристик элементарных звеньев.

Метод идентификации системы с помощью частотных диаграмм Боде основан на том, что график частотной характеристики системы, представленный в логарифмическом масштабе, аппроксимируют кусочно-линейной ломанной (т.е. суммой прямых), участки которой соответствуют графикам (асимптотам) частотных характеристик элементарных звеньев. Тогда передаточную функцию системы можно представить в виде произведения передаточных функций звеньев, графики частотных характеристик которых использованы для аппроксимации частотной характеристики системы.

92

имеем следую-

Использование диаграмм Боде для моделирования физиологических систем оказывается целесообразным, так как в большинстве случаев (например, при исследовании сенсорных систем) наблюдается логарифмическое преобразование стимулов в ответную реакцию.

В диаграммах Боде используется логарифмический масштаб по усилению и частоте:

K[дБ]= 20lgK[отн.ед]; 1[декада]= lg10[отн.ед.]

Прямые, аппроксимирующие графики АЧХ и ФЧХ элементарных звеньев, имеют определенный вид.

а) Статическое звено вида: H( p) = K . Выражение для АЧХ,

соответствующее данной передаточной функции запишется в виде:

20 lg H( jω) = K[дБ]

График АЧХ представляет собой прямую, параллельную оси частот.

Рисунок 2.12 – График АЧХ статического звена

б) Звено первого порядка имеет передаточную функцию вида:

H( p) = (1 + pT)±1

Для передаточной функции H( p) = (1 + pT )

щую частотную характеристику: H ( jω) = (1 + jωT ). Тогда:

20 lg H ( jω) = 20 lg(1 + ω2T 2 ) 12

В области нижних частот ωT << 1:

20lg(1+ω2T2 )12 →20lg1 = 0[дБ]

93

В области верхних частот ωT >> 1 :
20lg(1+ ω2T 2 )	→ 20lgωT

Рисунок 2.13 –Графики АЧХ звеньев первого порядка

График АЧХ может быть аппроксимирован следующими

асимптотами:

-в области нижних частот – осью частот,

-в области верхних частот – прямой, проходящей через точку [1, 0]; с углом наклона равным 20 дБ/дек.

Положение точки сопряжения асимптот на оси частот указывает на частоту среза и постоянную времени звена, определяемые

из условия: ωT = 1, тогда H( jω) = 3дБ .

ФЧХ звена первого порядка вида H ( jω) = (1+ jωT) может быть записана как:

φ(ω ) = arg(H ( jω ))= arctg (ωT )

График ФЧХ проходит через точку [π/4, 1] и может быть аппроксимирован асимптотами:

- в области нижних частот – осью частот;

94

-в области верхних частот – прямой, параллельной оси частот

иотстоящей от нее на π/2.

Рисунок 2.14 – ФЧХ звена первого порядка

в) Звено второго порядка вида:

H( p) = (T 2 p2 + 2Tξ p +1)±1

Амплитудная частотная характеристика звена второго порядка H( p) = (T 2 + p2 + 2Tξ p +1)−1 может быть записана в виде:

H ( jω ) = (1−ω 2T 2 + jω 2Tξ)−1

20 lg H ( jω) = 20 lg[(1−ω2T 2 )2 + (2ωTξ)2 ]−12

ФЧХ звена второго порядка может быть записана в виде:

ϕ(ω) = arctg − 2ωTξ

1−ω2T 2

Вобласти нижних частот ωT << 1 :

20 lg H( jω) → 20 lg1 = 0[дб] ϕ(ω) = 0

В области верхних частот ωT >> 1 :

20lg H( jω) → 20lg(ωT)−2 = −40lgωT ϕ(ω) = −π

95

График АЧХ может быть аппроксимирован асимптотами: -в области нижних частот – осью частот,

-в области верхних частот – прямой, проходящей через точку [1, 0]; с углом наклона равным 40 дБ/дек.

Положение на оси частот точки сопряжения асимптот указывает на частоту среза и постоянную времени звена.

ωT = 1

1

; ϕ(ω) = −

π

20 lg

H ( jω)

= 20 lg

2ξωT

2

Рисунок 2.15 – АЧХ звена второго порядка

График ФЧХ проходит через точку [-π/2, 1] и может быть аппроксимирован асимптотами:

-в области нижних частот – осью частот, -в области верхних частот – прямой, параллельной оси частот

иотстоящей от нее на величину –π.

Вобласти средних частот АЧХ и ФЧХ зависят от величины декремента затухания ξ . Аппроксимация полученных на основе

эксперимента частотных характеристик исследуемого объекта характеристиками элементарных звеньев позволяет осуществить приближенную идентификацию любой устойчивой линейной системы.

96

Рисунок 2.16 – ФЧХ звена второго порядка

Для идентификации минимально фазовых систем, передаточная функция которых не имеет нулей и полюсов в правой полуплоскости, достаточна только амплитудно-частотная характеристика.

Таким образом, если на основе экспериментов определена частотная характеристика системы и требуется найти ее передаточную функцию, то необходимо:

1.Представить графики АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе.

2.Аппроксимировать графики характеристик набором асимптот для АЧХ и ФЧХ элементарных звеньев.

3.Установить частоты среза и записать передаточную функцию системы в виде разложения Боде.

Вкачестве примера применения метода Боде для получения передаточной функции биологического звена БТС, рассмотрим моделирование процессов распространения тока в биологических тканях при чрескожной электронейростимуляции.

Методика чрескожной электронейростимуляции заключается в том, что импульсный ток, формируемый электростимулятором, через накожно расположенные электроды прикладывается к участку биологической ткани, содержащему нервные структуры, и вызывает их возбуждение, определяющее лечебный эффект.

При прохождении электрического тока через участок биологической ткани, находящийся в межэлектродном промежутке эта

97

ткань может рассматриваться как «нагрузка» выходных каскадов электростимулятора. Сопротивление этой «нагрузки» имеет комплексный характер, а его величина влияет на выбор параметров стимулирующего воздействия и построение выходных каскадов электростимуляционной аппаратуры.

Определение сопротивления биологических тканей при прохождении стимулирующего тока можно представить как задачу идентификации электрических свойств биологических тканей в классе моделей импедансов неоднородных проводников. Эти модели, связывающие напряжение и ток, протекающий по проводнику, можно представить в виде эквивалентной электрической схемы замещения, составленной из цепочки элементов с определенным характером сопротивления (в данном случае, активным и емкостным). Подобные цепочки, являющиеся физическими моделями импеданса биологических тканей, используются, в частности, в качестве эквивалентов нагрузки для испытаний и настройки выходных каскадов электростимуляционной и другой физиотерапевтической аппаратуры.

Для функциональной идентификации биологических тканей в рассматриваемом классе моделей импедансов неоднородных проводников целесообразно выбрать в качестве входной переменной ток в цепи электродов, а выходной – стимулирующее напряжение на электродах (рисунок 2.17).

Частотная характеристика биологических тканей может быть найдена путем тестирования объекта тест сигналом вида единичной функции, регистрации вызванной реакции, и ее преобразовании в частотную область с помощью цифрового преобразования Фурье. Затем, использовав метод Боде, можно перейти от частотной характеристики к передаточной функции объекта, которая в данном случае при выбранных атрибутах модели имеет смысл операторной формы импеданса биологической ткани:

Z( p) =V( p) I( p)	(2.72)
где: V ( p) – напряжение стимула в операторной форме,	I ( p) –
стимулирующий ток в операторной форме.

98

Рисунок 2.17 – Схема эксперимента по идентификации биологических тканей

В качестве тест-сигнала для идентификации системы целесообразно выбрать ток ступенчатой формы, прикладываемый к электродам, расположенным на исследуемом участке биологической ткани. Такой сигнал формируется путем включения тока постоянной амплитуды от источника тока и его можно рассматривать как модель воздействия единичной функции. Тогда напряжение, регистрируемое на электродах можно рассматривать как переходную функцию объекта:

Iст = I0 1(t)	(2.73)
Vст = g(t)

Искомая частотная характеристика импеданса биологических тканей может быть определена в соответствии с (2.57):

Z( p) = jωF {Vcm (t)}

(2.74)

Рассмотрим требования к аппаратуре, используемой для тестирования объекта и регистрации его ответной реакции. Для выполнения условия тестирования (2.73) источник тест-сигнала должен формировать ступенчатый ток с параметрами, не зависящими от величины сопротивления нагрузки. Источник сигнала должен работать в режиме генератора тока, что требует, чтобы его внутреннее сопротивление было во много раз больше сопротивления исследуемой биологической ткани.

RГ >>		Z			(2.75)
99