Акулов, Федотов. Основы теории биотехнических систем

ϕ = arctg	1 − ξ 2 ,	ωсоб = 1	1− ξ 2
	ξ	T
где: ωсоб , ξ – определяется графически по виду аппроксимируе-
мого процесса или по известной зависимости δ = f (ξ)				(рисунок
2.22).
Рисунок 2.22 – Графическая идентификация колебательной системы
второго порядка по записи переходной функции

Пример 4. Апериодические системы высокого порядка

Для графической идентификации апериодических систем высокого порядка может быть использован метод обобщенной передаточной функции. Согласно этому методу передаточная функция с n различными постоянными времени может быть аппроксимирована передаточной функцией n -ого порядка с обобщенной по-

стоянной времени TОБ :

H( p) =		K		≈	K	(2.90)
	(1+T p)(1+T p)…(1+T p)				(1+ pT )n
	1	2	n		об

Задача идентификации сводится к определению обобщенной постоянной времени и порядка передаточной функции. Для этой

110

цели используются нормированные графики и номограммы, приводимые в соответствующей литературе.

2.7. Метод пространства состояний

Моделирование биологических звеньев БТС с помощью методов функциональной идентификации часто приводит к передаточным функциям, определяющим описание поведения системы в виде дифференциальных уравнений высокого порядка.

Это обусловлено сложной динамикой процессов, происходящих в биологических системах, связанных со структурным и функциональным разнообразием компонентов системы, участвующих в формировании механизмов ее поведения. В частности, для физиологических систем организма человека характерным является одновременная работа нескольких групп биологических регуляторов, обладающих различным быстродействием и неодинаковым числом степеней свободы.

Например, регуляция артериального давления крови находится под влиянием вегетативной нервной системы и эндокринногуморальных факторов. В подобных случаях для моделирования системы удобно воспользоваться методом пространства состояний, позволяющим представить линейное дифференциальное уравнение высокого порядка, описывающее динамику системы, в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно некоторых искусственно вводимых переменных, называемых переменными состояния, с помощью которых можно охарактеризовать состояние системы.

В биологии и медицине понятие состояния формировалось как качественное определение обобщенной характеристики системы, связанное с ее показателями. Наблюдение за изменением физиологических параметров организма пациента (температурой, ЧСС, артериальным давлением, сатурацией крови кислородом и т.п.) позволяет судить об отклонении параметров от нормы и классифицировать клиническое состояние пациента по степени тяжести. В экологии понятие состояния системы связывают с какой-

111

либо интегральной характеристикой среды, например, токсичностью, мутагенностью, канцерогенностью и т.п.

В теории систем под состоянием динамической системы понимается минимальный набор данных, который необходимо задать в некоторый момент времени, чтобы в рамках математического описания системы можно было предсказать поведение системы в любой последующий момент времени.

Использование понятия состояния системы позволяет в рамках моделирования биологических систем методом пространства состояний строго определить вектор состояния, полностью описывающий поведение системы. Переменные состояния модели, имеющие формальное математическое выражение, которое получается, например, при разложении дифференциального уравнения высокого порядка на систему уравнений состояния, могут иметь вполне определенный биофизический или физиологический смысл. Такой подход позволяет наиболее полно описать моделируемую систему, а в ряде случаев, с помощью методов структурной идентификации представить механизмы, лежащие в основе поведения системы.

Выбор переменных состояния при моделировании системы зависит от функционального класса исследуемых моделей. При моделировании физиологических систем организма, являющихся биологическими звеньями терапевтических БТС, модель, описывающую связь параметров лечебного воздействия и диагностических показателей пациента, можно отнести к классу моделей объектов управления. Тогда вектор состояния модели можно сформировать из внутренних параметров физиологической системы, характеризующих биофизические механизмы процессов лечебного воздействия. Это позволяет получить адекватное описание процессов в биологическом звене с точки зрения анализа алгоритмов управления, формирования эффективных параметров воздействия, выбора структуры технических звеньев БТС и их характеристик.

Описание модели в пространстве состояний дается в форме уравнений «вход – состояние – выход»:

112

!	= AZ + BX
Z		(2.91)
	= CZ + DX
Y

где: X – вектор входных воздействий; Y – вектор выходных реакций; Z – вектор состояния; A, B, C, D – матрицы коэффициентов.

Первое уравнение системы (2.91) дифференциальное, оно определяет состояние системы, т.е. задает ее динамические свойства. Второе уравнение – алгебраическое, определяет выходную реакцию системы через ее текущее состояние. Компоненты вектора состояния – переменные состояния определяются на выходах интеграторов схемы модели, соответствующей уравнениям (2.91).

Рисунок 2.23 – Блок-схема модели, соответствующей уравнениям «вход – состояние – выход»

Для биологических систем представление переменных состояния в виде фазовых координат оказывается удобным, так как позволяет представить широкий класс моделей, описывающих соотношения темпов и уровней компонентов системы. К подобным моделям можно отнести описание процессов обмена, накопления и расходования вещества и энергии в открытых системах.

Задание уровней компонентов в рассматриваемых системах оказывается достаточным для определения темпов происходящих в них процессов, при условии, что имеется описание модели системы и условий среды, в которой она находится. Таким образом, вектор состояния системы полностью описывает поведение системы и характеризует ее состояние.

В качестве примера использования уравнений «вход – состояние – выход» для моделирования БТС, рассмотрим описание биотехнической системы инфузионного введения лекарственных пре-

113

паратов в организм человека (пример раздела 2.2). Найдем описание процесса инфузии и соответствующую схему моделирования для случая гипотензивного действия лекарственного препарата. Атрибутами системы являются следующие переменные: U – скорость инфузии, задаваемая шприцевым насосом, C – концентрация препарата в тканях адресатах, AD – систолическое артериальное давление крови.

Для изменения концентрации препарата в тканях можно запи-

сать (2.18):

C! + KЭ = UV

Гипотензивное действие препарата можно описать, используя величину коэффициента действия препарата KД :

AD = ( AD0 − KдC),

где: AD0 – исходное значение AD .

Таким образом, уравнение «вход – состояние – выход» может

быть записано в виде:
!	+U V
C = −KЭС
	− KдС
AD = AD0

Величина концентрации C может быть принята за переменную состояния. Схема моделирования системы показана на рисун-

ке 2.24.

Рисунок 2.24 – Схема модели инфузии гипотензивного препарата

Представление модели системы в виде блок-схемы, отвечающей уравнениям состояния (2.91), позволяет наглядно изобразить взаимосвязь между переменными состояния, а использование правил преобразования подобных схем – найти наиболее близкое выражение для дальнейшей структурной идентификации системы.

114

В ряде случаев разложение дифференциального уравнения системы высокого порядка на систему уравнений состояния, описывающих элементарные биологические регуляторы, позволяет с помощью структурной идентификации описать механизмы, лежащие в основе поведения исследуемой системы.

Матричная запись уравнений состояния (2.91) позволяет применять стандартный аппарат теории управления для исследования системы. Например, для оценки важнейших свойств системы, таких как управляемость и наблюдаемость, показывающие адекватность выбора переменных состояния, могут быть использованы матричные процедуры.

Система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния z0 (t0 ) в момент времени t = t0 в любое другое желаемое состояние z1 (t)за конечный интервал времени

τ = t1 − t0	путем	приложения входного	воздействия	x(t) ,
t (t0 , t1 ) .	Понятие	управляемости системы	предполагает	чув-

ствительность любой состояния системы к воздействию входного сигнала.

Понятие наблюдаемости системы определяет влияние каждого состояния системы на выходной сигнал. Система является наблюдаемой, если все ее состояния можно непосредственно или косвенно получить по выходному вектору. Если в выбранных переменных состояние система не наблюдаема, то она не может быть идентифицирована в данном пространстве состояний.

Для исследования управляемости и наблюдаемости системы, записанной в виде (2.91), может быть использован критерий Гильберта, для проверки которого уравнение состояния приводится к каноническому виду:

!		*			X
Z		= A Z		+ B
	= C Z				(2.92)
Y

115

где: Z = Z – преобразованный вектор состояния,		здесь –
матрица собственных векторов,	B = −1 B ,	C = C ,

A* = −1 A – диагонализированная матрица A .

Условием управляемости является отсутствие нулевой строки в матрице B , условием наблюдаемости – отсутствие нулевого

столбца в матрице C .

Эти условия связаны с тем, что каноническое преобразование матриц уравнения состояния (2.91) приводит к системе уравнений состояния (2.92), в которой каждая производная канонической переменной состояния зависит только от соответствующей канонической переменной и от входных сигналов.

Построение модели исследуемой системы в пространстве состояний осуществляется путем преобразования описания системы, полученного в результате функциональной идентификации в форме дифференциального уравнения высокого порядка или передаточной функции.

2.7.1. Идентификация модели в пространстве состояний на основе преобразования дифференциального уравнения системы

В данном случае задача идентификации заключается в преобразовании дифференциального уравнения системы в систему уравнений первого порядка относительно переменных состояния.

Рассмотрим решение задачи идентификации на примере преобразования модели Ф. Гродинза для дыхательной системы, описывающей процессы газообмена в организме человека. Модель связывает концентрацию CO2 в артериальной крови и тканях с концентрацией CO2 во вдыхаемом воздухе.

Хемостат Ф. Гродинза описывается двумя дифференциальными уравнениями первого и второго порядка:

yT + ayT + byT = fxB	+ cxM	(2.93)
dyT + gyT + xh = ya

116

ya , yT .

где: yT – концентрация CO2 в тканях; ya – концентрация CO2 в

артериальной крови; xв – концентрация CO2 во вдыхаемом возду-

хе; xМ – темп выделения CO2 в процессе метаболизма; xh – входной сигнал возмущения; a, b, c, d, g, f – параметры, определяе-

мые структурой дыхательной системы.

Схема моделирования, соответствующая уравнениям (2.93), приведена на рисунке 2.25. Система имеет три входа xB , xM , xh и

два выхода

Рисунок 2.25 – Схема моделирования Ф.Гродинза для системы дыхания

Наибольший интерес представляет исследование концентрации CO2 в артериальной крови. Для этой цели удобно преобразовать модель методами пространства состояний. В схеме модели присутствуют два интегратора с выходными переменными y!T и

yT , которые могут быть использованы в качестве переменных состояния:

	z = y!	,	z		= y ,	Z =	z1
				2
	1 T				T
							z2

Входные переменные системы можно обозначить как:

117

			x1
x1 = xВ ,	x2 = xМ,	x3 = xh ,
			X = x2
			x
			3

Выходные переменные системы можно обозначить аналогич-

но:

y1 = ya ,	y2 = yT ,	y1
		Y =
		y2

Уравнение состояния и выхода запишутся в виде:

z			= −az		− bz			2	+ fx + cx	2
	1			1					1		(2.94)
			= z
z
		2		1
y			= dz + gz			2	+ x
	1			1					3		(2.95)
			= z
y		2		2

Систему уравнений «вход – состояние – выход» можно записать в матричном виде:

где: A =	− a		− b	;	B =	f
		1	0			0

Z = AZ + BX

Y = CZ + DX

c 0	d g				D =	0	0	1
0 0	; C =	0 1		;		0	0	0 .

Эти матрицы непосредственно получаются из уравнений (2.94) и (2.95). Теперь можно исследовать систему методами теории управления. Проверка системы на управляемость и наблюдаемость осуществляется по критерию Гильберта. Стационарный режим находится из уравнения:

Z = −A−1BX

Y = −CA−1BX + DX = (D − CA−1B) X

Условие устойчивости системы может быть получено из выражения:

det	λ E − A	= 0	(2.96)

118

Чувствительность выхода определенная по отношению и входу может быть определена как:

S= D − CA−1B

2.7.2.Идентификация модели в пространстве состояний на основе преобразования передаточной функции системы

Передаточная функция исследуемого объекта может быть ис-

пользована для получения модели в пространстве состояний. Разложение передаточной функции системы на элементарные дроби позволяет представить модель системы в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, передаточная функция которой может быть представлена в виде отношения многочленов:

H( p) = N( p) / D( p)

(2.97)

Если предположить, что корни знаменателя различны, то для D( p) можно записать:

D( p) = ( p − a1)( p − a2 )…( p − an )

(2.98)

Тогда передаточная функция системы может быть представлена в виде:

	H ( p) = d0 +	c1	+	c2	+…+	cn	(2.99)
		p − a1		p − a2		p − an

где: d = lim H( p) .

0 p→∞

Постоянные коэффициенты ci могут быть найдены по правилам разложения многочленов на элементарные дроби:

c =	N (p)	p=ai	(2.100)
i	D′ (p)
ci = [( p − ai )N( p) / D( p)]			p = ai

119