16. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
Число a называется наибольшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента x₀ из этого промежутка верно неравенство a ≥ f(x₀). Число a называется наименьшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента x₀ из этого промежутка верно неравенство a ≤ f(x₀).
17. Дифференциал функции
Пусть
функция 
дифференцируема
в точке 
,
то есть приращение этой функции можно
представить в виде суммы двух слагаемых:
линейного относительно 
и
нелинейного членов:
где 
при 
.
Дифференциалом
функции называется
линейная относительно 
часть
приращения функции. Она обозначается
как 
или 
.
Таким образом:
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Наряду
с понятием дифференциала функции
вводится понятие дифференциала аргумента.
По определению дифференциал
аргумента есть приращение
аргумента:
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал
функции в точке 
равен
приращению ординаты касательной,
проведенной к графику функции в этой
точке, соответствующему приращению
аргумента 
.
18. Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция 
называется первообразной для
функции 
на
промежутке 
,
конечном или бесконечном, если
функция 
дифференцируема в
каждой точке этого промежутка и ее
производная удовлетворяет следующему
равенству:
Последнее равенство можно записать через дифференциалы:
или 
Неопределенный интеграл:
Совокупность
всех первообразных функции 
,
определенных на заданном промежутке,
называется неопределенным
интегралом от функции 
и
обозначается символом 
.
То
есть
Знак 
называется интегралом,
- подынтегральным
выражением, 
- подынтегральной
функцией,
а 
- переменной
интегрирования.
Операция
нахождения первообразной или
неопределенного интеграла от
функции 
называется
интегрированием
функции 
.
Интегрирование представляет собой
операцию, обратную дифференцированию.
19. Таблица простейших интегралов.
20. Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция
имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция
также имеет первообразную и справедлива формула
Так как
то её можно записать в виде
21. Метод интегрирования заменой переменной.
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема. Пусть
функция 
определена
и дифференцируема на некотором
промежутке Т и
пусть Х –
множество значений этой функции, на
котором определена функция f(x).
Тогда, если на множестве Х функция f(x)
имеет первообразную, то на
множестве Т справедлива
формула
