10.3 Розв’язування задач неусталеної фільтрації газу наближеними методами

З методичних міркувань покажемо ще застосування наближених методів, наприклад, методу послідовної зміни стаціонарних станів, для розв’язування задач неусталеної фільтрації газу. Нехай, маємо задачу плоско-радіальної неусталеної фільтрації газу до свердловини з заданим постійним дебітом Q₀. Згідно з методом послідовної зміни стаціонарних станів маємо розподіл тиску в збуренній зоні (див. розділ 8 і 9)

(10.29)

і дебіт свердловини

(10.30)

звідки

а тоді

(10.31)

Для знаходження радіусу зони збурення тиску R(t) складаємо рівняння матеріального балансу газу, тобто коли відібрана маса газу Q_в0 на момент часу t дорівнює різниці початкового масового запасу газу М₀ і поточного масового запасу газу М_t:

(10.32)

Початковий масовий запас газу за контурного тиску p_к в збуренній зоні пласта радіусом R(t)

(10.33)

і поточний масовий запас газу

(10.34)

де – густина газу відповідно за контурного тискуp_к і середнього тиску в пласті , причому газ ідеальний і густина, наприклад,;– середній тиск у пласті, який визначаємо за формулою стосовно усталеної фільтрації газу (див. розділ 8):

(10.35)

Тоді рівняння (10.32) зводимо до вигляду:

,

звідки

або з урахуванням рівняння (10.30)

,

тобто отримуємо шуканий радіус зони збурення тиску

(10.36)

чи

, (10.37)

де .

Відтак отримуємо вирази тиску в будь-якій точці пласта і в будь-який момент часу

(10.38)

і тиску на вибої свердловини в будь-який момент часу

(10.39)

Виведені формули справедливі як для безмежного пласта, коли , так і для скінченного відкритого пласта радіусом R_к на першій фазі руху, поки лійка депресії тиску не досягне границі пласта. Якщо пласт відкритий з постійним тиском p = p_к за r = R_к, то на другій фазі встановиться усталений режим з постійною депресією тиску (p_к – p_с) і з постійним дебітом Q₀, тобто встановиться жорсткий водонапірний режим.

У випадку закритого пласта тиск буде продовжувати знижуватися в усьому пласті, в тому числі і на межі пласта. Така задача розглядається нижче.

10.4 Розв’язування задач фільтрації газу з допомогою рівняння матеріального балансу

Під час відбирання газу із газового покладу можуть проявлятися газопружний (газовий) або газоводопружний (пружногазоводонапірний) режими. На газовому режимі роботи пласта приплив газу до свердловин відбувається за рахунок сил пружності газу, а на пружногазоводонапірному – у тому числі також і сил пружності води навколишньої водоносної області. Перший з них має місце в закритому газовому покладі, другий – у відкритому.

В основу теорії проектування розробки газових покладів покладено рівняння матеріального балансу. Суть його полягає в тому, що кількість газу, видобутого з покладу за деякий проміжок часу, дорівнює зменшенню кількості газу в пласті. Таке рівняння справедливе тільки стосовно газового режиму, а за умов пружногазоводонапірного режиму ще треба врахувати пружний запас водоносної області.

Масовий запас газу в закритому покладі

, (10.40)

а його зміна

, (10.41)

де V_п – об’єм пор пласта (стосовно до газового режиму );- густина газу, що відповідає середньозваженому тискуу пласті; знак “–“ вказує, що приростиіпротилежні за знаком.

Відібрана (нагромаджена) маса газу за такий же проміжок часу

, (10.42)

звідки

. (10.43)

де Q_м(t) – масовий дебіт газу, змінний в часі t.

Прирівнюючи зміни мас газу, дістаємо диференціальне рівняння виснаження газового покладу

(10.44)

або

. (10.45)

Відомо, що у випадку фільтрації газу до свердловини середній тиск , деp_к – тиск на контурі пласта. Тоді записуємо:

. (10.46)

Розглянемо розв’язки рівняння (10.46) за умов окремо і.

У разі , інтегруючи рівняння (10.46), одержуємо зміну тискуp_к на контурі пласта в часі:

, (10.47)

де p_п – початковий тиск на контурі пласта.

Оскільки дебіт газової свердловини (див. підрозд. 8.3)

, (10.48)

то звідси знаходимо вибійний тиск

, (10.49)

а з урахуванням (10.47) отримуємо величину вибійного тиску як функцію часу у випадку виснаження газового покладу за умови у вигляді:

. (10.50)

У разі підставляємо формулу дебіту (10.48) у диференціальне рівняння (10.46), розділяємо змінні та інтегруємо, тоді одержуємо зв’язок між контурним тискомp_к(t) і часом t, тобто

; (10.51)

; (10.52)

. (10.53)

Задаючись значинами контурного тиску p_к , причому , знаходимо ряд значин часуt за формулою (10.53) і ряд значин дебіту Q₀ за формулою (10.48), а отже зміну контурного тиску p_к і дебіту свердловини Q₀ у часі t.

Рівняння (10.53) можна перетворити ще й так:

;

;

, (10.54)

де ; .

Дебіт свердловини на основі формули (10.48) записуємо у вигляді:

(10.55)

а ввівши безрозмірний дебіт з урахуванням формули (10.54), знаходимо:

або

(10.56)

Із формули (10.54) видно, якщо ,, то, а із формули (10.48) маємо, що в такому разі.

Якщо вибійний тиск , то рівняння (10.52) набуває вигляду:

,

звідки маємо

;

(10.57)

або

(10.58)

Графіки зміни в часі параметрів роботи покладу за різних умов показано на рис. 10.1.