Bilety_Metrologia

32.Оценка истинного значения измеряемой величины с помощью доверительных интервалов для нормального закона распределения с известными моментами.

Доверительный интервал для МО

Предположим, что известно

;

1

Ф

;

;

Согласно Ф

для нормального распределения:

;

Ф

Ф

2Ф

1.

Половина длины

доверительного

интервала

есть

доверительная

граница случайного

отклонения

результата наблюдений, соответствующих доверительной информации:

̅

̅

̅

√

Ф

̅

√

1

2

2Ф

1

-

доверительная

граница

погрешности

результата

измерений;

√

Доверительный интервал для дисперсии

Мат. ожидание известно

Где – смещённая оценка дисперсии.

33. Оценка истинного значения измеряемой величины с помощью доверительных интервалов с помощью распределения Стьюдента.

Как итог, при нормальном распределении случайных погрешностей мы имеем тесную взаимосвязь между желаемым отклонением от истинного значения измеряемой величины, доверительной вероятностью данного отклонения и числом независимых измерений. Соответственно, задача может быть поставлена в нескольких вариантах:

1.Определить доверительный интервал, если необходимо получить заданную доверительную вероятность при фиксированном числе измерений.

2.Определить доверительную вероятность попадания среднего арифметического значения определенного числа независимых измерений в заданный доверительный интервал.

3.Определить необходимое число независимых измерений, если считать известной доверительную вероятность и задаться определенным доверительным интервалом.

При ограниченном числе измерений доверительный интервал, введенный нами для распределения Гаусса, записывается в виде

(3.68)

Результат измерений приобретает вид:

(3.69)

Если при измерениях имеется возможность проведения ограниченного числа измерений, но дисперсия результатов неизвестна, то функция распределения должна зависеть не только от желаемой доверительной вероятности и доверительного интервала, но и от числа независимых измерений.

В этом случае вместо распределения Гаусса используется несколько иное распределение, называемое распределением Стьюдента, которое имеет следующую аналитическую зависимость:

(3.70)

где k - число степеней свободы распределения, равное числу независимых измерений без единицы k = (n -1), а параметр t называется дробью Стьюдента и определяется как

(3.71)

где сохранены предыдущие обозначения, т. е. n - число независимых измерений;

- среднее арифметическое значение серии измерений; Q -истинное значение измеряемой величины и

Sx - оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

Вероятность того, что в результате измерения дробь Стьюдента примет некоторое значение в интервале(-t; +t) равна

(3.72)

Значения функции S(t, k) были вычислены и затабулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах от 0,10до 0,99 при k =1, 2,...... 30.

С помощью распределения Стьюдента может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает

(3.73)

Итог записывается в прежнем виде: Q = Х + 8 ; при Р =.....%.

34. Грубые ошибки. Промахи. Исключение промахов из выборки наблюдений.

Промахи – это грубые погрешности, не отражающие случайно наблюдаемый процесс.

Грубые погрешности – погрешности, существенно превышающие ожидаемые для данных измерений погрешности.

Промахи искажают выбор результата наблюдений, поэтому хорошо было бы исключить их из выборки. Промахи – это все равно, что систематическая погрешность, их сложно определить. Чистка выборки является условной.

Для нормального закона распространено Правило 3 :вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Все наблюдения, которые не попали в интервал M x 3 , считают промахами и их исключают из выборки. Это правило основано на условном предположении, что они туда не попадают (но могут). Промахи из выборки исключают по одному.

35. Методы определения законов распределений случайных погрешностей.

Приведенные				ниже	методы	даны в порядке от наиболее субъективных	к наиболее формальным
(математически обоснованным, точным).
1. Визуальный метод. Заключается в построении гистограммы.
1)			Сначала обычно вычисляют среднее арифметическое по выборке				(оценка математического
ожидания).
2)			Саму		выборку	наблюдений целесообразно
разбить на интервалы(L), количество которых можно
определить по формулам:
log		–	1	– формула Старджеса;
5lg			формула Брукса и Корузера;
	– формула Хайихольда и Гаеде.
Интервалы выборки целесообразно располагать относительно
математического√				ожидания (см. рисунок).
Каждому из интервалов						ставится в соответствие число

попаданий значений выборки в данный интервал . На интервале строится прямоугольник с нормированной

высотой	⁄	(нормирование необязательно, только если ширина всех интервалов одинакова).

Характер распределения оценивается субъективно.

2. Построение вариационного ряда.

Вариационными называют ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания количественного признака. В таких рядах уникальному значению выборки (вариантe) сопоставляют ее количественную характеристику (например, встречаемость).

Чтобы охарактеризовать вариационный ряд, обычно рассчитываются специальные показатели, в том числе средние величины, показатели вариабельности (дисперсии) и репрезентативности выборочных данных.

3. Применение критерия согласия (Пирсона, Колмогорова).

Проверяется гипотеза о том, что случайная величина подчиняется предполагаемому закону распределения, для чего обычно строится теоретическая статистика по данному закону, в предположении, что основные моменты реального и теоретического распределений равны, т.е. , ,Δ , .

Гипотеза принимается или отвергается на основании выбранного уровня значимости – принимаемой степени достоверности различий между выборками, на пороге которой различия можно считать несущественными.

36. Критерий согласия ХИ 2 Пирсона. Число степеней свободы и уровень значимости критерия Пирсона.

Критерий согласия	Пирсона основан на сравнении двух	гистограмм: практической и теоретической.
Практическая гистограмма строится на основе самой исследуемой		выборки.

Теоретическая гистограмма строится в предположении, что моменты ее распределения равны соответствующим

оценкам моментов практического распределения:	.
1. Построение гистограмм. Практическая и теоретическая,	гистограммы должны быть разбиты на

интервалы одинаково; рациональное количество интервалов удобно вычислить по одной из следующих формул:

log	1	,	5lg	,	√		.
Интервалы рекомендуется располагать симметрично относительно математического ожидания.
2. Сравнение гистограмм. Критерий								производит сравнение полученных гистограмм опосредовано через
сравнение практического (					и теоретического ( ) числа попаданий в соответствующие интервалы:

Практическое число попаданий , очевидно, оценивается непосредственно подсчетом попаданий значений практической выборки в соответствующий интервал.

Теоретическое число попаданий		представляет собой оценку, вычисленную через значение функции
вероятности	исследуемого закона распределения для соответствующего интервала. Важно заметить, что это

значение должно быть нормировано относительно общего числа значений в выборке :

Действительно, любой закон распределения характеризуется функцией вероятности, которая позволяет вычислить вероятность попадания в некоторый интервал. Например, в случае нормального распределения

используется функция Лапласа.

Для удобства, теоретическую выборку нормируют, нормированные значения функции Лапласа определяют по таблицам:

ФФ

3. Проверка гипотезы. В соответствии с критерием Пирсона гипотеза верна, если

Гдераспр	,	определяется из таблицы распределения , зависящей от следующих величин:
распр

Уровень значимости ( ) – 1) вероятность (условная) отвергнуть верную гипотезу, если принято решение её отвергнуть; 2) принимаемая степень достоверности различий между выборками.

Число степеней свободы ( ) – чувствительность критерия отклонения реальной гистограммы от

теоретической.		1
Проверку гипотезы следует проводить с уровнем значимости			от 10% до 0,1% и числом степеней
свободы	3 (в случае нормального распределения).

37. Этапы обработки результата измерений с многократными наблюдениями.

Нижеописанная методика обработки результатов наблюдений соответствует ГОСТ 8207-76.

1.Выборка наблюдений, построение вариационного ряда.

2.Оценка математического ожидания и среднеквадратичного отклонения.

∑ ,		∑

3.Исключение промахов. Используется правило трех сигм, если допустить, что результаты измерений принадлежат нормальному закону распределения.

4.Построение гистограммы. По гистограмме выдвигается гипотеза о законе распределения.

5. Проверка гипотезы. Наиболее часто используется критерий согласия :

распр

6.Вычисление оценки среднеквадратичного отклонения результата измерений.

√– здесь – число значений в выборке без учета промахов.

7.Вычисление доверительной границы погрешности. Если распределение можно считать нормальным,

вычислим доверительный интервал через коэффициенты Стьюдента:

, где – коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности (обычно 0,95) и числа измерений .

8. Предварительная запись результата измерений.

̅

Такая запись подлежит дальнейшей обработке с целью приведения результата к виду по ГОСТу.

38. Формы представления результатов многократных измерений.

Формы приведены согласно ГОСТ 8.011, МИ-1317-86.

1.Результат измерения может быть представлен именованным или неименованным числом.

2.Совместно с результатом измерения должны быть представлены характеристики его (результата)

погрешности (подробнее см. ниже)

3.Результаты измерений с многократными наблюдениями должны сопровождаться указанием количества наблюдений и интервала времени, за которые они получены.

4.Совместно с результатом измерения могут быть представлены и другие сведения и условия проведения измерений.

5.Младшие разряды численного значения результата измерения и характеристик его погрешностей должны быть одинаковы.

6.Характеристики погрешности должны быть выражены числом, содержащим не более двух значащих чисел.

Формы представления погрешностей измерений.
Характеристики погрешностей могут быть представлены в трех формах.
1)	Среднеквадратичным отклонением полной погрешности результата измерений (						).
2)	Нижней и верхней границей доверительного интервала (				).
3)	Отдельными	составляющими: неисключенной	систематической погрешностью (НСП) или случайной
				,Δ
погрешностью.
С	составляющие в свою очередь могут быть представлены:				а) Случайной (		), т.е. только СКО; б)
Систематической (		); в) интервалом.
4)	К точечным характеристикам нужно указать закон распределения. К интервальным характеристикам нужно
указать доверительную вероятность (т.к. интервал доверительный).
5)	При одинаковых значениях нижних и верхних границ интервала можно указать одно значение со знаком .
6)	Рекомендованное значение доверительной вероятности				0,95	(только если количество наблюдений не
меньше 40).
7)	Для промежуточных результатов (т.е. которые подлежат дальнейшей обработке) рекомендуется точечные
характеристики погрешности, а для окончательных – интервальные.

39. Значащие цифры, заслуживающие доверия. Округление результатов.

Значащие цифры числа – это все цифры, кроме нулей слева, а также нулей справа, которые заменяют собой отброшенные при округлении цифры.

Примеры. 2.87 – три значащие цифры; 0.01 – одна значащая цифра;

3.6200 – зависит от округления: если округление получено из 3.6200x, имеем 5 значащих цифр; из 3.620x, имеем 4 цифры; из 3.62xx – имеем 3 цифры.

Значащие цифры, заслуживающие доверия. Десятичное позиционное число представляется

– порядок числа.		, где 0,…,	1 , – основание системы счисления,	– позиция,
Говорят, что если абсолютная погрешность не превышает половины младшего порядка, т.е.					, то все

1 цифр этого числа заслуживают доверия.

Впротивном случае, не все цифры заслуживают доверия. Такие цифры «загромождают» результат измерения

исоздают ложное впечатление высокой точности полученного результата.

Цифры, не заслуживающие доверия, принято округлять.

Пример. Получен результат: 43.288 0.03 (неименованное число). Определим число цифр, заслуживающих доверия.

						, т.е.	, где		– старший порядок – определили из записи числа.
0.03			10				1	1
Получим							, следовательно, только 3 цифры заслуживают доверие. Округляем число, оставляем 1
цифру, не	заслуживающую доверия.
						1	3
Получили:					43.29.
Заметим,
				что при округлении границы погрешности сместились, соответственно, погрешность необходимо

пересчитать:

43.258 43.288 43.318

Интервал нужно пересчитать так, чтобы новый интервал был не меньше старого.

Окончательно получим: 43.29 0.04.

40. Метрологические характеристики измерительных приборов.

Метрологические характеристики – характеристики средства измерения, оказывающие влияние на результат измерения и его погрешности.

Нормируемые метрологические характеристики – комплекс характеристик, установленных в нормативных доках на СИ.

Нормирование – установление границ на допустимое отклонение реальных метрологических характеристик СИ от нормы.

ГОСТ 8.009-84

Все метрологические свойства (характеристики) можно разделить на две группы:

—свойства, определяющие область применения СИ;

—свойства, определяющие качество измерения.

Основными метрологическими характеристиками, определяющими свойства первой группы, являются диапазон измерений и порог чувствительности.