8. Цифровая техника

В настоящее время для построения систем обработки и преобразования информации широко применяются цифровые методы. Используемые при этом сигналы близки по форме к прямоугольным и имеют два фиксированных уровня напряжения. Уровню низкого напряжения обычно приписывается символ (состояние) «0», а уровню высокого напряжения символ «1». Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых систем служит алгебра логики (булева алгебра), которая изучает связь между переменными (сигналами), принимающими только два значения «0» и «1». Алгебра логики является алгеброй состояний, а не алгеброй чисел, и для нее характерны основные действия, отличные от принятых в обычной алгебре действий над числами.

8.1.Аксиомы, законы, тождества и теоремы алгебры логики

В алгебре логики любая переменная может иметь состояние «0» или «1». Поэтому в алгебре логики каждой двоичной переменной, например х, ставится в соответствие обратная или инверсная переменная .

Например: если х = 0, то = 1; если х = 1, то = 0.

Переменная читается как НЕ х.

В алгебре логики в случае одной переменной х действуют следующие правила (аксиомы)

1) х + 0 = х 2) х + 1 + 1 3) х + х = х 4) х + = 1

5) () = 6) х · 0 = 0 7) х · 1 = х 8) х · х = х

9) х · = 0 10) () = х

Правила 1 ÷ 4 характеризует операцию логического сложения (дизъюнкции), правила 6 ÷ 9 – операцию логического умножения (конъюнкции) и правила 5, 10 – операцию инверсии.

Знак логического сложения «+» читается ИЛИ (например, правило 1 : «х» или «0» равен «х»). Знак логического умножения читается И (например «х» и «0» равен «0»).

Правила 1-4 и 6-9 можно пояснить электрическими схемами на двух ключах. Положению « Ключ замкнут» соответствует состояние «1», а положению «Ключ разомкнут» - состояние «0». Для логического сложения (правила 1-4) ключи в схемах соединены параллельно (рисунок 8.1). Уровень высокого напряжения на выходе (F=1) будет иметь место, если хотя бы один из ключей находится в состоянии «1».

рисунок 8.1

Для логического умножения ключи в схемах соединены последовательно (рисунок 8.2). Уровень высокого напряжения на выходе F=1 будет только в том случае, если оба сомножителя равны единице (оба ключа включены). В противном случае результат умножения равен «0».

рисунок 8.2

Для алгебры логики, как и для обычной алгебры действительны следующие законы:

Переместительный закон (закон коммутативности) для логического сложения и умножения:

х + у = у + х

х · у = у · х

Сочетательный закон (закон ассоциативности) для логического сложения и умножения:

х + у + z = (х + у) + z = х + (у + z)

х · у · z = (x · y) z = x (y · z)

Распределительный закон (закон дистрибутивности и логического умножения по отношению к сложению):

х (y + z) = xy + xz

Законы инверсии для логического сложения и умножения (теоремы де Моргана)

Инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий:

Инверсия произведения переменных есть сумма их инверсий: