2.Движение материал. Точки по окружности. Вращательное движение твердого тела.

Наиболее общие случаи вращательного движения – вращение свободного тела или тела, закрепленного в одной точке,- весьма сложны и детально рассматриваются в курсах теоретической физики. Для установления основных закономерностей вращательного движения мы рассмотрим простейший случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остается неизменным.

Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью ОО, изображенное на рис.3. Проведем через эту ось две плоскости: Q и P.

Рис.3.

Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета. Подвижная же плоскость Р скреплена с телом и вращается вместе с ним. Мгновенное положение этой плоскости будет характеризоваться величиной двугранного угла . Задание угла поворота  в этом случае целиком определяет положение тела; тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет лишь одну степень свободы. Угол  считается положительным, если вращение происходит таким образом, что при наблюдении вдоль оси сверху вниз угол  отсчитывается по часовой стрелке. При вращении в обратном направлении  <0. При совершении n оборотов угол  = 2n.

Зависимость  = (t) - наз. уравнением вращательного движения тела.

При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Кинематические характеристики различных движущихся точек (S,V, W) связаны друг с другом и с кинематическими характеристиками движения всего тела в целом.

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости Р. Угол поворота всего тела  и путь S, пройденный точкой М, будем отсчитывать от плоскости Q. Если  измерять в радианах, то S и  связаны известным равенством S = r

За промежуток времени t тело повернется на  и точка М пройдет путь S = r.

Делим обе части равенства на t и перейдем к пределу

Lim S/t = r lim /t; (1)

t t

 lim/t = d/dt - угловая скорость t

1 об/мин = 2/60 (рад/с) = /30 (рад/с), Т- период обращения – время в течение которого тело поворачивается волруг неподвижной оси вращения на угол  = 2.

Из (1) следует V = r .

Угловую скорость вращения тела условились считать вектором, направление которого определяется известным правилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что вектор  всегда направлен || ОО в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения. В векторном виде

V = r,

откуда V = r sin(,r) =r, т.к. sin 90⁰ = 1.

Очевидно, что угловая скорость будет одинаковой у всех точек вращающегося тела, а линейные скорости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения r.

При неравномерном вращении  изменяется и за t получает приращение ; приращение линейной скорости произвольной точки М V будет равно

V  r  r, т.к. r =соnst.

Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу, получим

Lim Vt  r lim t = r d/dt = r,

t t

где  - угловое ускорение. = рад/с²

 = d/dt (d/dt) = d²/dt²

Угловое ускорение считается векторной величиной. Вектор углового ускорения направлен ||, если вращение ускоренное и , если движение замедленное.

Линейное ускорение W какой-либо точки вращающегося тела связано с угловыми характеристиками его движения.

Рис.

W_ = dV/dt, но V = r, тогда W_ = d/dt (r) = r d/dt = r. W_n = V²/r = ²r²/r = ²r. Полное ускорение точки W =  W_² + W_n² = r ² + ⁴. tg   W_/W_n = r²r  /².

При равномерном вращении твердого тела   ,   const и  = ₀ + t. При равноускоренном вращении   const,  = ₀ t   ₀ + ₀t + t²/2

3.СИЛЫ. МАССА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой. Сила является количественной мерой действия тел друг на друга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Изменение состояния покоя или движения какого-либо тела всегда вызывается действием на него сил, исходящих от определенных других тел. Примеры.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со стороны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние равномерного прямолинейного движения считается неизменным состоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью и W = 0. Состояние покоя можно считать частным случаем равномерного прямолинейного движения, скорость которого равна 0.

Силы, как количественная мера взаимодействия тел, характ. не только своей величиной, но и направлением действия и точкой прило- жения, т.е. сила – вектор.

В механике рассматривают 1)гравитационные силы (силы тяжести), 2)силы упругие, которые действуют как между соприкасающимися телами, так и между соседними слоями одного и того же тела. Упругие силы возникают в результате деформации тел и зависят от величины деформаций, 3) силы трения, действующие на соприкасающиеся поверхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

Если на материальную точку действуют две силы F₁ и F₂ то их действие эквивалентно действию равнодействующей силе R = F₁ + F₂

Рис.

Если к материальной точке приложены F₁, F₂, …F_n сил, то их складывают по такому же принципу.

R = F_i,

или можно построить силовой многоугольник.

рис.

Измерение сил производят путем количественного сравнения конкретных результатов их действия. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения, т.е. изменение их инерциального движения различно. Мы говорим, что различна инерция этих тел. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса.

Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать строгим и исчерпывающим, т.к. при больших скоростях масса одного и того же тела может изменяться при движении. Но будем пока пользоваться определением Ньютона.

Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства.

Величину массы определяют по различным ее проявлениям (инерции, тяготению) путем сравнения с массой какого-либо эталонного тела, произвольно принятого за единицу. Единицей массы в системе СИ является эталон 1 кг.

Изучая действие сил на движение тел, был сформулирован первый закон Ньютона (Галилей): точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять скорость неизменной (в частности равной нулю) при отсутствии действующих на них сил называется инертностью. Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а 1-ый зак. Ньютона - законом инерции.

Установленный Ньютоном второй закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил.

При действии сил движение тела перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется ускорение W. Направление его совпадает с направлением F.

W  F при m = const. (1)

При действии одной и той же силы F на разные тела W этих тел оказываются различными, причем

W  1/m (2)

при F = const. Объединяя (1) и (2) получаем, что

W  F/m, или F  mW

F = kmW, но единицу силы выбирают так, что к = 1 и тогда

F = mW = mdV/dt = d/dt (mV) = dP/dt, (3)

где Р – импульс (количество движения) материальной точки.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м/с².

Сила веса 1кГ, тогда 1Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н.

До сих пор мы рассматривали влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом Ньютона, сформулированным для случая взаимодействия 2-х мат. точек: Если материальная точка m₂ испытывает со стороны матер. точки m₁ силу равную F₁₂, то m₁ испытывает со стороны m₂ силу F₂₁, равную по величине и противоположную по направлению F₁₂.

F₂₁ = - F₁₂

Рис.

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁ и m₂ .

В случае произвольно большого множества точек взаимодействие в такой системе согласно 3-му зак. сводится к парному взаимодействию между любыми двумя точками. Т.е. например, сила, испытываемая точкой m₃ системы, складывается из сил, действующих со стороны точек m₁, m₂, m₄, m₅ и т.д.

F₃ = F₁₃ + F₂₃ +F₄₃ +F₅₃ + …

Часто употребляется такая формулмровка 3-го закона; «действие равно противодействию» – это неполная формулировка, т.к. в ней не подчеркивается важное обстоятельство: силы действия и противодействия приложены всегда к различным телам и поэтому никогда не уравновешивают друг друга.

Пример: когда человек идет по земле, то сила, с которой он отталкивает землю назад, равна по величине и направлена обратно той силе, с которой земля отталкивает человека вперед. При равенстве этих сил, однако, согласно 2-го зак. Ньютона, возникающие ускорения обратно пропорциональны массам, и землю благодаря ее очень большой по сравнению с человеком массе можно считать практически неподвижной.

4.СИЛЫ ПРИ КРИВОЛИН. ДВИЖЕНИИ.

Мы рассмотрели, что при криволинейном движении (и движении по окружности) тела вектор ускорения

W = W_ +W_n | m.

Но согласно 2-му зак. Ньютона, вектор ускорения тела W направлен параллельно действующей силе F и равен F/m. Следовательно, на тело, движущееся по криволинейному пути, действует сила, направленная под тем же углом к траектории, что и вектор ускорения этого тела.

Поскольку из равенства векторов следует и равенство их проекций на любое направление, то и действующая сила F также может быть представлена в виде суммы F_ +F_n, направленных параллельно соответствующим составляющим ускорения, т.е. по касательной и нормали к траектории тела:

F_ = mW_ = mdV/dt; F_n = mW_n = mV²/R.

Касательная составляющая силы F_ направлена по касательной и определяет изменение скорости тела только по величине. Сила F_n, определяющая изменение скорости тела по направлению, называется центростремительной силой.

Рис.

F = m(dV/dt)² + (V²/R)² ; tg = F_n/F_ = V²/(R dV/dt);  < 90⁰ – ускоренное движение,  > 90⁰ – движение замедленное,  = 90⁰ , тогда tg = tg90⁰ = , что возможно при dV/dt = 0. Значит, в этом случае величина V = const, при этом также F_ = dV/dt = 0, поэтому результирующая сила, действующая на тело, по величине окажется равной

F = F_² + F_n² = F_n = mV²/R,

т.е. будет являться центростремительной силой, изменяющей лишь направление скорости, но не ее величину. И наоборот, если при криволинейном движении тела величина его скорости не изменяется с течением времени и dV/dt =0, тогда, поскольку tg = , действующая на него сила будет направлена V.

В частности, если точечное тело равномерно движется по окружности радиуса R, то dV/dt = 0  F_ = m dV/dt = 0 и F = F_n = mV²/R не будет меняться со временем, т.к. R = const и V = const.

Если вращающееся тело удерживается на окружности вращения другим телом, называемым связью, и при этом для движения существенны лишь силы взаимодействия между ними, то центростремительная сила, направленная к центру вращения, будет приложена к самому вращающемуся телу со стороны связи. Согласно 3-му зак. Ньютона, вращающееся тело должно действовать на связь с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Эта сила, действующая на связь со стороны вращающегося тела, по величине равна mV²/R и направленая вдоль радиуса от центра вращения, называется центробежной.

ПРИМЕР:

Вращение шарика, привязанного к нити.

Движение автомобиля

Полет самолета во время «петли»

Движение поезда на повороте.

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.

Все физические тела испытывают действие сил взаимного тяготения. Основной закон, определяющий силы тяготения, был сформулирован Ньютоном и носит название закона тяготения Ньютона. Закон гласит: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними:

Рис.

F₁₂ = f( m₁m₂/R²)R₁₂/R , R = |R₁₂| (1)

R₁₂ – радиус вектор, проведенный из точки 1 в точку с m₂.

Из (1) имеем М_земли = 6.10²⁴ кг

Коэффициент f называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками одинаковой единичной массы, которые находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем, f = (6,67 -+0,01).10^-11Н.м²/кг², (Кавендыш в 1798 г.).

При определении силы взаимного тяготения между двумя телами, которые нельзя считать точками, поступают следующим образом. Разбивают все тело на такие малые частицы, которые можно принять за точки, выбирают во втором теле одну частцу и определяют равнодействующую сил притяжения со стороны всех частиц первого тела. Затем проделывают то же самое для всех остальных частиц второго тела и берут сумму; эта сумма и представляет силу действия первого тела на второе. По третьему закону Ньютона определяют силу, действующую на первое тело.

Вычисления, проделанные для шаров из однородного вещества, показывают, что результирующая сила тяготения приложена в центре каждого щара и равна fm₁m₂/R² (R – расстояние между центрами). Т.о закон тяготения в форме (1) верен как для материальных точек, так и для шаров из однородного материала.

Из закона всемирного тяготения можно определить массу Земли. Т.к. сила тяжести mg, действующая на тело массы m, находящееся на поверхности Земли, является силой гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, то

Mg = fmM_з/R², откуда М_з = gR²/f. М_з = 6.10²⁴ кг.

Далее, сила тяготения, действующая со стороны Солнца массы М₀ на Землю массы М_з, является центростремительной силой, т.к. Земля приблизительно равномерно вращается вокруг Солнца по окружности радиуса R, равного расстоянию от Земли до Солца. Тогда

М_зV²/R = fM₃M₀/R². (2)

Учитывая, что орбитальная скорость Земли V равна 2R/Т, находим массу Солнца:

M₀ = V²R/f = 4²R³/fT²,

где Т – период обращения Земли вокруг Солнца.

По этой же формуле может быть найдена и масса планеты М_п, если вокруг нее на расстоянии R_п обращается спутник m_с с периодом Т_с.

Расстояние от планеты до спутника также находится из формулы (2) или 4²R/T² = fM₀/R², откуда искомое расстояние

R =  fM₀T²/4²,

где Т – период обращения планеты вокруг Солнца.

Напомню, что весом тела называют силу, с которой это тело действует вследствие тяготения к Земле на опору (или на подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется только тогда, когда тело движется с ускорением, отличным от g , т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Вес тела зависит от высоты его положения над уровнем моря и географической широты местности.

Так, если на уровне моря сила тяготения, действующая на тело массы m со стороны Земли, равна

F₀ = fmM₃/R² (здесь R = 6370 км –радиус Земли),

то на высоте h над уровнем моря

F = fmM₃/(R + h)².

Взяв отношение этих сил, получим

F₀/F = (R + h)²/R²  1 + 2h/R. Член h²/R² – мал по ср. с другими и им пренебрегаем. Тогда

F = F₀/(1 + 2h/R) = F₀ ( 1 + 2h/R)^-1 = F₀( 1 – 2h/R),

Т.е. с возрастанием высоты тела h над уровнем моря действующая на него сила тяготения, проявляющаяся как вес тела, уменьшается.

Наличие вблизи взвешиваемых тел гор, участков земной коры с аномальной плотностью и т.п. также влияет на величину их веса. На этом основан один из методов определения плотности горных пород, разведки полезных ископаемых и т.д. (гравиметрический метод).

Поскольку расстояние от центра Земли до полюсов меньше, чем до экватора, то вес того или иного тела на полюсе будет больше, чем на экваторе. Этим отчасти обусловливается зависимость веса тел от геогр. широты местности. Но основной причиной, обусловливающей зависимость веса тел от широты местности, является суточное вращение Земли вокруг своей оси.

На тело, лежащее на поверхности Земли и вращающееся вместе с ней, будет действовать центростремительная сила F = m²Rcos, которая зависит от широты  и которая изменяет вес тела.  и R угловая скорость вращения и радиус Земли. Вес тела на широте  равен

P = mg(1 - ²R cos² )

g

При перемещении тела от полюса к экватору вес его будет монотонно уменьшаться по величине от значения mg на полюсе до значения mg(1 - ²R/g) на экваторе. Однако и это изменение веса тела с изменением широты местности невелико, т.к. величина ²R/g равна лишь 1/289.

Направление силы веса тела Р, отклоняется от направления на центр Земли на угол , величина которого зависит от широты местности . Сила Р будет направлена к центру Земли только на полюсе и на экваторе. Максимальное отклонение направления веса тела от направления на центр Земли будет на широте  = 45⁰.

Итак, сила тяготения mg = fmM/R² (отсюда g = fM/R²), действующая на тело массы m со стороны Земли и зависящая по величине только от расстояния тела до центра Земли, всегда направлена к центру Земли, не равна весу этого тела, даже если оно покоится относительно Земли.

Движение тела, происходящее под действием только его силы тяжести, наз. свободным падением. Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g = P/m. Оно одинаково для всех тел и зависит только от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для расчетов, равно 9,80665 м/с².