- •1.Случайное событие. Определение вероятности (статистическое и классическое). Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых событиях.
- •3.Распределение дискретных случайных величин, их характеристики: мат ожидание, дисперсия, сред квадрат отклонение.
- •4.Распределение непрерывных случайных величин, : мат ожидание, дисперсия, сред квадрат отклонение.
- •5.Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения Бернулли. Формулы для мат ожидания и дисперсии. Примеры.
- •8.Стандартное нормальное распределение. Стандартные интервалы. Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.
1.Случайное событие. Определение вероятности (статистическое и классическое). Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых событиях.
Если испытание может быть проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз (результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием.) исход испытаний не может быть однозначно предопределен, события называют случайными событиями. Например, случайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика. Вероятность (классическое определение) случайного события - мера возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п: Р(А)=m/n 0≤Р(A) ≤1 Классическое опред. применимо к испытаниям с конечным числом равновероятных исходов. Если проведена серия неравновероятных испытаний (n), в кот событие А произошло m раз. р(а)= m/n (относительная частота наступления данного события). Случайные события называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечисленных событий. Случайные события называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из перечисленных событий. Зависимое – событие, на вероятность которого оказывает влияние исход какого-либо др события. 1.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Если случайные события А и В являются несовместными событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения (Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий) Р(А) = Р(А) + Р(В) Пример 8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаковка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина. Р(А) = 2/10=0,2 ; Р(В) =3/10=0,3 Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот),Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5. Если случайные события Л и В являются независимыми событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.(Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий) Р(А и В) = P(A)*P(B) Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасываемых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А). Если случайные события В и А являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для зависимых событий.(Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В) Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) Пример 8.3. В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми. Пусть случайное событие А состоит в том, что первый извлеченный шар окажется белым. P(A)=2/5=0,4 Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлеченный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5. Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в результате чего найдем искомую вероятность Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.