1.Случайное событие. Определение вероятности (статистическое и классическое). Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых событиях.

Если испытание может быть проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз (результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием.) исход испытаний не может быть однозначно предопределен, события называют случайными событиями. Например, слу­чайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика. Вероятность (классическое определение) случайного события - мера возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).Вероятностью Р(А) случайного события А назы­вается отношение количества т элементарных событий, благо­приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п: Р(А)=m/n 0≤Р(A) ≤1 Классическое опред. применимо к испытаниям с конечным числом равновероятных исходов. Если проведена серия неравновероятных испытаний (n), в кот событие А произошло m раз. р(а)= m/n (относительная частота наступления данного события). Случайные события называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечис­ленных событий. Случайные события называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из пе­речисленных событий. Зависимое – событие, на вероятность которого оказывает влияние исход какого-либо др события. 1.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.

Если случайные события А и В являются несовместными собы­тиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения (Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероят­ностей этих событий) Р(А) = Р(А) + Р(В) Пример 8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаков­ка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина. Р(А) = ²/₁₀=0,2 ; Р(В) =³/₁₀=0,3 Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот),Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5. Если случайные события Л и В являются независимыми со­бытиями с известными вероятностями, то справедлива следую­щая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.(Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий) Р(А и В) = P(A)*P(B) Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, веро­ятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасывае­мых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А). Если случайные события В и А являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умноже­ния вероятностей для зависимых событий.(Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероят­ности события А на условную вероятность события В) Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) Пример 8.3. В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми. Пусть случайное событие А состоит в том, что пер­вый извлеченный шар окажется белым. P(A)=²/₅=0,4 Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлечен­ный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5. Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в резуль­тате чего найдем искомую вероятность Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.