8. Стандартное нормальное распределение. Стандартные интервалы. Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.

Пусть - выборка из нек. распределения с плотностью , зависящей от параметра , который может изменяться в интервале . Пусть - некоторая статистика и - функция распределения случайной величины , когда выборка имеет распределение с плотностью . Предположим, что есть убывающая функция от параметра . Обозначим квантиль распределения , тогда есть возрастающая функция от . Зафиксируем близкое к нулю положительное число (например, 0,05 или 0,01). Пусть . При каждом неравенства

(1)

выполняются с вероятностью , близкой к единице.

(2)

Обозначим , (2)

Интервал называется доверительным интервалом для параметра , а вероятность - доверительной вероятностью.

9.Понятие генеральной совокупности и выборки. Объём выборки, репрезентативость. Статистическое распределение (вариационный ряд). Примеры. Характеристики выборки.

Генеральная совокупность – множество каких-либо однородных элементов, которые предстоит изучить статистическими методами; множество всех значений случайной величины, а варианта – одно из значений генеральной совокупности.

Выборка – это некоторая часть элементов, выделяемая по определенному правилу из ген. совокупности.

Объём выборки – это число выделяемых элементов в генеральной совокупности. Минимальным, статистическим допустимым объёмом выборки, считается три элемента.

Выборка производится с целью описания генеральной совокупности. Если это описание является полным и корректным, то выборка является репрезентативной.Как дискретные, так и непрерывные, случайные величины могут быть получены в результате опыта – наблюдения – то есть в виде вариационнго ряда: 4,67; 5,49; 5351 и так далее. Однако такой способ задания является малоинформативным – требующим дополнительной обработки, для какого-либо даже поверхностного представления о случайной величине.

К выборочным характеристикам отнтсятся:

• среднее значение (Х_ср), как оценка мат. ожидания

• выборочное среднеквадратическое отклонение (S_x), как оценка генерального значения среднеквадратического отклонения (σ) выборочная дисперсия (S_x²)

N- число элементов выборки

10 Точечные оценки параметров генеральной совокупности.Основными параметрами генеральной совокупности явл. Мат.ожидание (генеральная средняя) М(Х) и среднее квадратическое отклонение. Это постоянные величины, которые можно оценить по выборочным данным. Точечная оценка-оценка генерального параметра, выражаемая одним числом.Точечной оценкой генеральной средней является выборочное среднее .Выборочным средним называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.Если все значения x₁, x₂,..., x_n признака выборки различны (или если данные не сгруппированы), то:

Выборочная дисперсия:

В том случае, когда статистические данные представлены в виде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего  значениями вариант считают середины интервалов. P(₁<<₂) =P ((₁; ₂)) = 

Числа ₁ и ₂-доверительными границами, интервал (₁, ₂) — доверительным интерваломЧисло -доверительной вероятностью(надежность)

11. Графические характеристики случайных величин. Гистограмма. Характеристики положения (мода, медиана, выборочная средняя).

Гистограмма-один из видов графического изображения статистического распределении каких-либо величин по количественному признаку. Г. представляет собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на прямой линии. Площадь каждого прямоугольника пропорциональна частоте нахождения данной величины в изучаемой совокупности. Пусть, например, измерение диаметров стволов 624 сосен дало следующие результаты:

Диаметр, см 14—22,22—30,30—38,38—62Число стволов57,232,212,123.На гориз.оси откладываются границы групп, на которые стволы разбиты по их диаметру, и на отрезке, соответствующем каждой группе, строится как на основании прямоугольник с площадью, пропорциональной числу стволов, попавших в данную группу

Мода случайной величины- её наиболее вероятное значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна.медианаслуч величины-Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно её определить и для прерывной величины. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам Выборочной средней- среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то