Лекции по Матанализу ч

6x

5 8x4 25x3 20x2 76x 7

dx

3x3 4x2 17x 6

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

20x

2

25x 25

4x

2

5x 5

2

2x 2 3

dx

2x 2 dx

3dx 5

dx

x3 3x

3x3 4x 2 17x 6

3x3

4x 2 17x 6

3

5

4x 2

5x 5

dx

3x

3

4x

2

17x

6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3

знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x3 – 4x2 – 17x + 6

x - 3

3x3 – 9x2

3x2 + 5x - 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

- 2x + 6

-2x + 6

0

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).

Тогда:

4x2 5x 5

A

B

C

(x 3)(x 2)(3x 1)

x 3

x 2

3x 1

A(x 2)(3x 1) B(x 3)(3x 1) C(x 3)(x 2) 4x2 5x 5

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40 A 16	A 2 / 5
35B 21	B 3 / 5
C 1	C 1

Окончательно получаем:

6x5

8x4 25x3 20x2 76x 7

dx =

2

x3

3x 3

dx

2

dx

5

dx

3x3 4x2 17x 6

3

x 2

x 3

3x 1

2

x3 3x 3ln

x 2

2 ln

x 3

5

ln

3x 1

C.

3

3

Пример.

3x4

14x2 7x 15

dx

A

dx

Bx C

dx

Dx E

dx

(x 3)(x

2

2)

2

x

(x

2

2)

2

x

2

2

3

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2 2)2 (Bx C)(x 3) (Dx E)(x 3)(x2

2) 3x4

14x2 7x 15

11

Ax 4 4Ax 2 4A Bx 2 3Bx Cx 3C Dx4 2Dx2 3Dx3 6Dx Ex3 2Ex 3Ex 2 6E

(D A)x4 (3D E)x3 (A B 2D 3E 4A)x2 (3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4A)

D A 3

3D E 0

B 2D 3E 4 A 143B C 6D 2E 7

3C 6E 4A 15

D 3 AE 9 3AB 11A 353B C 7

3C 22 A 69

D 3 A
	9 3A
E
	6 2 A 27 9 A 4 A 14
B
3B C 18 6 A 18 6 A 7
3C 54 18A 4 A 15
D 3 A		A 3
E 9 3A		B 2
11A 35 B		C 1
C 7 3B		D 0
21 9B 70	2B 69	E 0

Тогда значение заданного интеграла:

3

dx

2x 1

3

dx

2

x

dx

dx

1

dx

3ln

x 3

x 3

(x2 2)2

x 3

(x2 2)2

(x2 2)2

x 2 2

x

1

arctg

x

C.

4(x2 2)

4

2

2

12

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида R(sin x, cos x)dx .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t tg 2x . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

2tg

x

1 tg 2

x

2t

1 t 2

sin x

2

,

cos x

2

;

2 x

t 2

2 x

1 t 2

1 tg

1

1 tg

2

2

Тогда x 2arctgt;

dx

2dt

;

1 t 2

2t

2

1 t

2

2

2

2

Таким образом:

R(sin x, cos x)dx

R

,

dt

r(t)dt.

1

t

1 t

1

t

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической

подстановкой.

Пример.

													2dt
				dx																									dt								dt
												1 t 2											2											2
	4sin x 3cos x 5									2t						1 t			2								8t 3		3t	2	5	5t	2		2t	2	8t 8
								4					3								5
									1 t 2							1	t		2
				dt			dt					1				C								1				C.
		t	2	4t 4		(t	2)	2			t			2										x
																						tg				2
																								2

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.
			dx													2dt									2			dt		2	dt
	9 8 cos x sin x															8(1 t			2	)		2t				t	2	2t	17		(t 1)	2
																																	16
										(1 t 2 )		9
																		2					2
																1 t						1 t
											tg		x		1
	1			t 1				1
												2
			arctg			C			arctg								C.
		2		4				2				4

13

Интеграл вида R(sin x, cos x)dx если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

R(sin x, cos x)dx R(sin x, cos x) cos xdx cos x

	Функция	R(sin x, cos x)	может содержать cosx только в четных степенях, а
		cos x

следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

R(sin x, cos x)dx r(sin x) cos xdx r(t)dt.

Пример.

cos 7 xdx

sin x t

(1 t 2 )3

1 3t 2 3t 4 t 6

dt

dt

dt cos xdx

dt

dt

3

sin 4 x

t 4

t 4

t 4

t 2

2

x 1

sin

2

cos

x

3 dt t 2 dt

1

3

3t

1

t 3

1

3

3sin x

sin 3 x

C.

3

t

3sin

3

sin x

3t

3

x

3

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида R(sin x, cos x)dx если

функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда R(sin x, cos x)dx r(cos x) sin xdx r(t)dt.

Пример.

sin

3

x

cos x t

1 t

2

t

2

4t 4 4t 5

(t 2)

2

4t

5

dx

dt

dt

dt

2 cos x

2 t

t 2

t 2

dt

sin xdx

4t

5

tdt

dt

t 2

t

t 2

dt tdt

2dt 4

5

2t 5ln

t 2

4

dt

t

2 t

2

t

2

t 2 2

t 2

t

A

B

t

t

2

2

A Bt

2 t

t 2

dt

t 2

2t 5ln

t 2

8

4

dt

2t 5ln

t 2

8ln

t 2

4t

t 2

B 1,

A 2

2

2

t

2

1

t

2

t

2

t 2

2t 3ln

t 2

C

cos 2

x

2 cos x 3ln(cos x 2) C.

2

2

Интеграл вида R(sin x, cos x)dx

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

14

Тогда R(sin x, cos x)dx r(t)dt

Пример.

1

tgx t;

dx

cos 2 x

dx

1

sin 2

x 6 sin x cos x 16 cos 2 x

tg 2 x 6tgx 16

dx

d (tgx)

2

cos

x

5

tgx 2

dt

dt

1

tgx 3

C

1

C.

ln

ln

t 2

6t 16

(t 3)2 25

10

tgx 3

5

10

tgx 8

dt

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
cos mx cos nxdx	1	cos(m n)x cos(m n)x dx	1	sin(m n)x			sin(m n)x
					m n		m n
	2		2

sin mx cos nxdx	1	sin(m n)x sin(m n)x dx	1				cos(m n)x				cos(m n)x
								m n				m n
	2		2
sin mxsin nxdx	1	cos(m n)x cos(m n)x dx			1			sin(m n)				sin(m n)
								m n				m n
	2				2

Пример.
sin 7x sin 2xdx									1	cos 5xdx			1	cos 9xdx				1	sin 5x				1			sin 9x C.
								2			2						10					18
Пример.
sin10x cos 7x cos 4xdx sin10x[cos 7x cos 4x]dx																				1	sin10x cos11xdx								1	sin10x cos 3xdx
																	2												2
		1		sin 21xdx		1		sin xdx			1	sin13xdx			1	sin 7xdx						1			cos 21x		1	cos x			1	cos13x
		4				4					4				4							84			4						52
		1			cos 7x C.
		28

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

			dx						4dx				dctg 2x					2			2ctg 2x C
sin 2 x cos 2							sin 2											sin 2
				x							2x		dx						x
Пример.
		4		1					1				2		1							2		1			2
sin			xdx							cos 2x			dx			(1		cos 2x)					dx		(1	2 cos 2x cos		2x)dx
				2					2						4									4

	1		dx		1	cos 2xdx		1		cos 2		2xdx					x		1	sin 2x					1			1	(1 cos 4x)dx				x		sin 2x
	4				2	4						4						4							4		2					4		4
	1			dx		cos 4xdx	x				sin 2x			x		sin 4x						1	3x			sin 2x				sin 4x		C.
	8					4				4		8						32				4
																							2							8

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Интегралы вида sin x cos xdx

Если и - целые числа, то интеграл рационализируется с помощью подстановок t sin x , если - нечётно; t cos x , если - нечётно; t tgx , если - чётно.

15

Рассмотрим случай, когда и - нецелые числа. Сделаем замену t cos x , получим

sin x cos xdx 1 t 2 1t dt

Это интеграл от дифференциального бинома. Способы его вычисления будут рассмотрены далее в теме интегрирование некоторых иррациональных функций.

Некоторые нестандартные примеры

Пример. Вычислить интеграл

cos(ln x)dx

1

u

u ln x;

du

dx;

e

du;

p cos u; dq

eu cos u

cos(ln x)dx

x

eu cos udu

u

;

dx e

u

dp sin udu;

q eu ;

x e

du;

	dq e		u
p sin u;				du;			eu cos u eu sin u eu cos udu;
eu sin udu					u
		q e
dp cos udu;						;

Итого

eu cos udu eu (cos u sin u) eu cos udu

eu cos udu

eu

(cos u sin u) C

2

x cos(ln x)

1

dx

x

(cos(ln x) sin(ln x)) C

x

2

x

cos(ln x)dx

cos

ln x C;

2

4

Пример.

Вычислить интеграл earcsinx dx

earcsinxdx x sin t, dx cos tdt et cos tdt

et

sin t cos t

earcsinx

2

2

Пример.

Вычислить интеграл

xdx

1

sin x

	1 x	2		C
x

xdx

x

2dx

arctg tdt

arctg tdt

t tg

, x 2arctg t, dx

4

4

1 sin x

1 x

2

2

2

2t

1 t 2 1

1 t

t 2

1

1

arctg t

dt

arctg t

dt

tdt

4 arctg td

4

4

1 t 1 t 2

4

2

2

1 t

1 t

1 t

1 t

1 t 2

dt

arctg t

2arctg t 2

t 1

arctg t ln 1 t 2

2

4

2 ln

1 t

ln

1 t 2

1

t 2

1 t

1 t

1 t 2

tg

x

1

2

x

x

2

ln cos 2

x

tg

1

C

x

2

2

tg

1

2

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

16

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов

иррациональных функций.
					ax b
		n
Интеграл вида R x,							dx где n- натуральное число.
					cx d

С помощью подстановки n

ax b

t

функция рационализируется.

cx d

n

n

ax b

t b

t b

t n ;

x

;

dx

dt;

cx d

a ct

n

n

a ct

ax b

t n

b

t n b

Тогда

R x, n

dx

R

, t

dt

r(t)dt.

cx d

n

n

a ct

a ct

Пример.

																2dx				dx							3				2
				dx																					2t			dt	2	t		dt
										4 1		2x t;		dt								;
																		3			3				2	t				t 1
	1		2x		4	1		2x												2t				t
															4	1 2x
														4

	t		t			2
2 t		dt 2 tdt 2			dt t
			t 1
	t 1

1 2x 241 2x 2 ln 41 2x 1 C.

		1		2
2 1			dt t		2t 2 ln	t 1	C
		t 1

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

																12
3		x 1						4		x 1								x 1 t; x						1 t			12					(t	4		t		3				11							t	3	t		2
																												;											)12t dt
															dx																												12										dt
(x 1) 1 6 x 1																dx			12t11dt;															t12 (1 t 2 )													t 2 1
					t		3								t	2									t											1																		tdt
					2										2									2										2																				2
12										dt							dt		12			t				dt					1									dt 12						tdt 12											12		dt
					t 1										t 1									t 1											t				1														t		1
12					dt
								6t 2 12t 6 ln(t 2 1) 12arctgt C 66																									x 1 1212 x 1 6 ln(6																		x 1 1)
			1		t		2

12arctg12 x 1 C.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm a bxn p dx

где m , n и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если p – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t x , где - общий знаменатель m и n .

2) Если m 1 - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой n

t s a bxn , где s – знаменатель числа p .

17

3) Если	m 1		p	- целое число, то используется подстановка t s		a bxn		, где	s –
	n					xn

знаменатель числа p .

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида R x, ax2 bx c dx .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ. В наиболее простейших случаях можно выделить полный квадрат под знаком корня.

Пример.

dx

dx

x 2

2x 8

x 2 2x 1 9

dt

arcsin

t

C arcsin

x 1

3

3

32

t 2

	dx d (x 1)			d (x 1)		x 1	t
				9 (x 1)2
	C.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

u 2 m2 .

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)R(u, m2 u 2 )du;

2)R(u, m2 u 2 )du;

3)R(u, u 2 m2 )du;

Эти интегралы можно вычислять с помощью тригонометрических подстановок.

Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида R(u,

m2 u 2 )du подстановкой u msin t или

u mcos t сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

x a sin t;

a 2

a 2

x2 dx

a 2 a 2 sin 2 ta cos tdt

a 2

cos 2 tdt

(1 cos 2t)dt

dx a cos tdt

2

a 2t

a 2

a 2t

a 2

a 2

x

x

sin 2t C

sin t cos t C

arcsin

a 2

x2 C.

2

4

2

2

2

a

2

Теорема:

Интеграл вида

R(u, m2 u 2 )du

подстановкой

u mtgt

или u mctgt

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

18

atgt; dx

a

x

dt;

dx

cos2 t

a cos tdt

x4

a

cos2 ta 4tg 4ta

a2 x2

a

2

x

2

;

cos t

cos3 tdt

1

(1 sin 2 t)d sin t

1

1

C

a

4

sin

4

t

a

4

sin

4

t

3a

4

sin

3

t

a

4

sin t

x

(a

x

)

a

a

x

2

2

2

3/ 2

2

2

sin t

1

C.

a2 x2

3a4 x3

a4 x

a2 x2

R(u,

1

u

1

Теорема:

Интеграл

вида

u 2 m2 )du подстановкой

u

или

cos t

sin t

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

2

2 sin t

dx

x

; dx

dt;

2 sin t cos tdt

1

2

4

cos t

cos

t

ctg

tdt

x(x 2 4)

5 / 2

cos 2 t

2 25 tg 5t

32

x

2

4

2tgt;

1

ctg

2

1

1

ctg

2

1

ctg

2

1

3

1

1

t

1 dt

td (ctgt )

tdt

ctg

t

1 dt

32

2

t

32

96

32

2

t

sin

32

sin

1

ctg 3t

1

ctgt

t

C

ctgt

2

1

1

96

32

32

12(x 2

4)3 / 2

x 2

4

16

x 2

4

1

arccos

2

C.

32

x

Подстановки Эйлера. (1707-1783)

R(x,

1) Если а>0, то интеграл

вида

ax2 bx c )dx

рационализируется

подстановкой

ax2 bx c t xa .

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида R(x,
	ax2 bx c )dx рационализируется

подстановкой ax2 bx c tx c .

3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида R(x, ax2 bx c )dx рационализируется

подстановкой ax2 bx c t(x x1 ) .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Пример.

3x 4

3x 4

u x 3;

du dx;

3u 9 4

udu

dx

dx

du

3

7 x2 6x

16 (x 3)2

x u 3;

16 u 2

16 u 2

13

du

13arcsin

u

13arcsin

x 3

3

16 u 2

C 3

7 x2 6x

C.

16 u 2

4

4

19

Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

P(x)dx

dx

I.

;

II. P(x) ax2 bx cdx;

III.

;

ax2 bx

c

(x )n

ax2 bx c

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа. Далее делается следующее преобразование:

P(x)dx

dx

Q(x)

ax2 bx c

;

ax2 bx c

ax2 bx c

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем

умножают на ax2 bx c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,

определяют и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного

выражения.

Пример.

3x3 7x2 1

dx

dx ( Ax 2

Bx C) x2 2x 5

.

x2 2x 5

x2 2x 5

Теперь продифференцируем полученное выражение,

умножим на ax2 bx c и

сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

3x3 7x2 1

Ax 2 Bx C

(2Ax

B) x2 2x 5

(x 1)

x2 2x 5

x2 2x 5

x2 2x 5

(2Ax B)(x2 2x 5) (Ax 2 Bx C)(x 1) = 3x3 7x2 1

2Ax3 4Ax 2 10Ax Bx 2 2Bx 5B Ax3 Bx 2 Cx Ax 2 Bx C = 3x3 7x2 1

3Ax3 (5A 2B)x2 (10A 3B C)x 5B C 3x3 7x2 1

A 1

5A 2B 7

10 A 3B C 05B C 1

A 1B 1

C 13

7

3x3 7x2

1

dx

Итого

dx (x2

x 13)

x2 2x 5 7

=

x2 2x 5

(x 1)2 4

= (x2 x 13) x2

2x 5 7 ln(x 1

x2 2x 5) C.

Пример.

(4x2 6x)

dx

(4x2

6x)(x

2 3)

dx ( Ax 3 Bx 2 Cx D)

dx

x2 3

x2 3

x2 3

x2 3

4x4 6x3 12x2 18x

( Ax 3

Bx 2 Cx D)x

(3Ax 2

2Bx C) x2 3

x2 3

x2 3

x2 3

4x4 6x3 12x2 18x (3Ax 2 2Bx C)(x2 3) Ax 4 Bx3 Cx2 Dx

4x4 6x3 12x2 18x 3Ax 4 2Bx3 Cx2 9Ax 2 6Bx 3C Ax 4 Bx3 Cx2 Dx

4x4 6x3 12x2 18x 4Ax 4 3Bx3 (2C 9A)x2 (6B D)x 3C

20