Интеграл в комплексной области.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

где   - точка, произвольно выбранная на дуге    разбиения кривой,  -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,  -  шаг разбиения, - длина хорды, соединяющей концы дуги , кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2...n. На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки.

В случае замкнутой кривой l = C интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С. Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

 

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

 

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

где F(z) - первообразная для f(z).

Нули аналитической функции.

Пусть функция f (z) является аналитической в точке z₀. Точка z₀ называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е.   f (z₀) = 0. В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z₀) отсутствует свободный член:   С₀ = f(z₀) = 0. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z₀) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид: или то точка z₀ называется нулем порядка n функции f(z).

Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.

Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z₀: a). b). представление функции в виде произведения:

Порядок нуля в точке z₀ функции, полученной в результате перемножения аналитических функций f (z) = f₁(z) f₂(z) равен сумме порядков нуля (n₁ + n₂) в этой точке функций сомножителей ( n₁ - порядок нуля в точке z₀ функции f₁(z),    n₂ - порядок нуля в точке z₀ функции f₂(z) ).

Изолированные особые точки функции комплексного переменного.

Точка z₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) называется:

• устранимой особой точкой, если  существует и конечен;

• полюсом, если ;

• существенно особой точкой, если   не существует.

Для того чтобы особая точка функции f(z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z₀ - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид: (1) для z₀ - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀-полюс имеет вид: (2) если z₀ принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса. Так, точка z₀ является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k < -n.

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀ - существенно особой точки имеет вид: (3) если z₀ принадлежит области комплексных чисел.