- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •Интеграл в комплексной области.
- •Нули аналитической функции.
- •Изолированные особые точки функции комплексного переменного.
- •Ряд Тейлора функции комплексного переменного.
- •Ряд Лорана.
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Преобразования Лапласа. Решение задач Коши операционным методом.
Вычисление несобственных интегралов.
~ ~
Утверждение. Пусть R(x, y) - рациональная функция двух действительных переменных. Тогда справедливы равенства
Действительно, замена z = eix переводит отрезок в окружность |z| = 1, . При этом:
В результате имеем формулу, сопоставляющую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:
Замечание. Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена tg(1/2)= t ("универсальная" подстановка) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби.
Утверждение. Пусть функция где Pn(x) и Qm(x) - многочлены степени n и m (n = const, m = const), удовлетворяет условиям: 1. (m - n) больше или равно 2. 2. Qm(x) не равна 0 при x, принадлежащим области действительных чисел. Тогда справедливы равенства: Здесь zk, k = 1,2,..., p - все особые точки функции R(z), расположенные выше оси Ох (Im zk> 0) в случае формулы (1) и ниже оси Ох (Im zk< 0) в случае формулы (1.2).
Замечание. Если R(z) - четная функция, то можно, используя формулы (1.1) и (1.2), вычислить интеграл вида т.к. для четной функции имеет место равенство:
Утверждение. Пусть R(x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого (т.е. (m - n) больше или равно 1). Тогда справедливы формулы:
Преобразования Лапласа. Решение задач Коши операционным методом.
Операционное исчисление - один из наиболее эффективных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.
Функцией-оригиналом называется функция f (x) для которой справедливо: f (x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f (x) = 0 при x<0, существуют такие постоянные M и a, что при всех неотрицательных x.
Преобразованием Лапласа функции f (x) называется функция
Функция F (p) называется изображением функции f (x), а функция f (x) - оригиналом для F (p).
Основные свойства преобразования Лаплалса, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:
-
оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;
-
если F (p) и G (p) - изображения соответственно для f (x) и g (x), то изображением для af (x) + bg (x) является aF (p) + bG (p) - линейность преобразования Лапласа;
-
изображением для производной f (n)(x) является функция pnF(p) - pn-1f (0) - pn-2f '(0) -...- pf (n-2)(0) - f (n-1)(0) - изображение производных;
-
если F (p) изображения для f (x), то для любого a>0 изображением для f (x-a) является - теорема запаздывания.
Рассмотри задачу Коши: a1, a2, ..., an - постоянные.
Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обрзначим Y (p) и F (p) изображения для y (x) и f (x). Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: или, A (p)Y (p) + B (p) = F (p), где A (p) и B (p) - многочлены. Отсюда: и искомое решение задачи Коши y (x) является оригиналом для Y (p).
Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотри задачу Коши: A- постоянна матрица размерности n.n.
Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем. Обозначим изображения для - компонентами вектор-функций являются изображения соответствующих компонент вектор-функций . Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: , где E - единичная матрица, - обратная матрица к матрице. Тогда искомое решение задачи Коши является оригиналом для .