В помощь аспиранту / Grishchuk - Osnovi nauchnikh issledovaniy 2011

График этой функции приведен в виде сплошной линии на рис. 2.3.

Таблица 2.4 – Результаты эксперимента

i	xi	yi	xi2	yi xi
1	0	4	0	1
2	1	5	1	5
3	1	4	1	4
4	2	3	4	6
5	3	3	9	9
6	4	3	16	12
7	4	2	16	8
8	5	2	25	10
9	6	2	36	12
10	6	1	36	6
Σ	32	29	144	73

Данный пример показывает, что даже в простейшем случае (полином первого порядка) для вычисления коэффициентов приходится проделать относительно большое количество вычислений, причем объем вычислений многократно возрастает при повышении порядка полинома. Так, при m = 4 требуется вычислить 13 сумм и решить систему пяти уравнений с пятью неизвестными. Указанные расчеты при относительно высоких порядках полиномов обычно выполняют с помощью ПЭВМ.

Более детальное изложение МНК с графическим изображением поверхности отклика и аппроксимирующей поверхности для двух переменных и пример его применения для расчета неизвестных коэффициентов для линейной модели с одним фактором приведено в [24]. Там же на основе матричной алгебры показана возможность его применения для построения многофакторных моделей. Для этого рекомендуется перейти к матричной записи уравнений, необходимых для определения коэффициентов b.

41

2.4.2. МНК для линейной функции нескольких переменных

Допустим, в результате m-факторного эксперимента получено n значений отклика (табл. 2.5).

В данную таблицу введен фиктивный фактор x0 ≡ 1. В каждой строке таблицы записаны условия (значения факторов) и результаты опытов (отклики). Запись x ji означает значение j-го фактора в i-м факторе i-го опыта,

запись yi - значение отклика в i-м опыте.

Таблица 2.5 –

Результат m-факторного эксперимента

i

x

0

x

x

2

…

x

j

…

x

m

y

1

1

x

01

x

x

21

…

x

j1

…

x

m1

y

11

1

2

x02

x12

x22

…

x j 2

…

xm2

y2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

i

x0i

x1i

x2

…

x ji

…

xmi

yi

…

…

…

…

…

…

…

…

…

n

x0n

x1n

x2n

…

x jn

…

xmn

yn

Уравнение функции отклика неизвестно. Будем искать это уравнение в виде линейной функции m переменных:

~	= b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bj x j	+ ... + bm xm .	(2.21)
y

Введение фиктивного фактора x0 ≡ 1 дает возможность записать это уравнение в виде

~	= b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bj x j	+ ... + bm xm ,	(2.22)
y

Данная функция содержит m + 1 неизвестный коэффициент. Функция ϕ(×) представляет собой сумму

42

ϕ(×) = b0 x0 + b1x1 + b2 x2 + ... + bj x j + ... + bm xm ,

(2.23)

вкоторой параметрами являются коэффициенты bj.

Сучетом того, что ∂ϕ ∂b j = x j , а также принимая во внимание (2.13) и

(2.15), получим систему уравнений для определения коэффициентов

∑ ( yi − b0 x0i − b1 x1i − b2 x2i − ... − bm xmi )x ji	= 0,	(2.24)
	,
j = 1,2,..., m.

После несложных преобразований система (2.24) принимает следующий вид:

	n	n	n
b0	= ∑ x0i y ji	+ b1 ∑ x1i y ji	+ ... + bm ∑ xmi y ji = y ji
	i=1	i=1	i=1

j = 0,1,2,..., m.

n

= ∑ yi x ji , i=1

(2.25)

Данная система является системой линейных алгебраических уравнений. Отметим, что изложенный здесь метод определения коэффициентов может быть распространен и на нелинейные модели. Пусть, например, проводится двухфакторный эксперимент, и модель находится в виде полинома

второго порядка

~	2	2	,	(2.26)
y	= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x1 x2 + b4 x1	− b5 x2

Если обозначить

x	= 1,	x	= x x	2	,	x	4	= x2	,	x	= x2	,	(2.27)
0		3	1					4		5	2

то уравнение (2.26) примет вид

~	= b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 + b5 x5 .	(2.28)
y

43

Далее, путем введения фиктивных факторов x3, x4, и x5, квадратичную функцию двух переменных преобразуем в линейную функцию пяти переменных.

Рассмотрим в качестве примера обработку двухфакторного эксперимента, связанного с определением зависимости ЭДС Е генератора постоянного тока от тока возбуждения ϕв и частоты вращения ω [22].

Введем относительные величины

x1 = ϕв/ϕвн, x2 = ω/ωн, y = Е,

где ϕвн, ωн – номинальное значение тока возбуждения и частоты вращения. Зависимость y(x1, x2) приведена в табл. 2.6 и на рис. 2.4.

Таблица 2.6 –		Зависимость y(x1,x2)
i		x1	x2	Y = E
1		0,2	0,50	56
2		0,6	0,50	92
3		1,0	0,50	112
4		0,2	0,75	84
5		0,6	0,75	140
6		1,0	0,75	164
7		0,2	1,0	112
8		0,6	1,0	184
9		1,0	1,0	220

44

Е, ВB	E ,У
2 0 0
1 6 0
1 2 0
8 0		- X 2 = 0 .5 0
4 0		- X 2 = 0 .7 5
		- X 2 = 1 .0
0	0 .2 0 .4	0 .6 0 .8 1 .0	X 1
	Рисунок 2.4 – Зависимость y = E(x1,x2)
Число опытов равно 9, число факторов – двум, число неизвестных коэф-
фициентов –	трем. Система уравнений для определения коэффициентов b0,
b1 и b2 имеет вид:

		n			n		n
b0 n + b1 ∑ x1i + b2					∑ x2i = ∑ yi
		i=1			i=1		i=1
	n		n	2		n
b0	∑ x1i + b1		∑ x1i		+ b2 ∑ x1i x2i
	i=1		i=1			i=1	n
b0	n		n
	∑ x2i + b1 ∑ x1i x2i + b2 ∑ x22i
	i=1		i=1				i=1

,

n

= ∑ yi x1i ,

i=1 n

=∑ yi x2i .

i=1

Для накопления суммы, входящих в данную систему уравнений, удобно использовать таблицу результатов эксперимента, дополненную колонками,

в которые записывают следующие величины: x12i , x1i − x2i , x22i , yi x1i , yi x2i , а также строкой, в которую вносят суммы элементов столбцов (табл. 2.7).

45

Таблица 2.7 –		Результаты эксперимента
i	x1	x2	y	x12	x22	x12	yx1	yx2
1	0,2	0,50	56	0,04	0,25	0,10	11,2	28
2	0,6	0,50	92	0,36	0,25	0,30	55,2	46
3	1,0	0,50	112	1,00	0,25	0,50	112,0	56
4	0,2	0,75	84	0,04	0,5625	0,15	16,8	63
5	0,6	0,75	140	0,36	0,5625	0,45	84,0	105
6	1,0	0,75	164	1,00	0,5625	0,675	164,0	123
7	0,2	1,0	112	0,04	1,0	0,20	22,4	112
8	0,6	1,0	184	0,36	1,0	0,60	110,4	184
9	1,0	1,0	220	1,00	1,0	1,0	220,0	220
Σ	5,4	6,75	1164	4,20	5,44	4,05	795,0	937

С учетом полученных значений сумы система уравнений приобретает вид:

9,00b0		+ 5,40b1 + 6,75b2		= 1164,
		+ 4,20b + 4,05b		= 796,
5,40b
	0	1	2
		+ 4,05b + 5,44b		= 973.
6,75b
	0	1	2

Решение этой системы

b0 = −58,82 ; b1 = 101,67 ; b2 = 169,54 .

Таким образом, мы можем записать линейное уравнение функции, описывающей результаты эксперимента:

	~	= b0	+ b1 x1 + b2 x2 ;
	y
~	= −58,2 + 101,67x1 + 169,54x2 .
y

46

Сечение этой функции при x2 = 0,5; 0,75; 1,0 изображены в виде сложных линий на рис. 2.4. Результаты сопоставления измеренных и предсказываемых моделей откликов приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8 –		Результаты сопоставления откликов
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	56	92	112	84	140	164	112	184	220
~	46,28	86,95	127,62	88,67	129,38	170,01	131,05	171,72	212,39
y
~
ε = y − y	9,72	5,05	-15,62	-4,67	10,62	6,01	-19,05	12,28	7,61
ε ×100%
y	17,4	5,5	-14,0	-5,6	7,6	-3,7	-17,0	6,7	3,5

Как видно из данного примера, для вычисления коэффициентов b0, b1, и b2 требуется выполнить значительный объем вычислений (определить 8 сумм и решить систему трех управлений с тремя неизвестными). Однако линейная модель плохо аппроксимирует результаты эксперимента (относительное отклонение превышает 17%).

В [22,23] приведен один простой прием, позволяющий существенно повысить точность математической модели объекта. Суть этого приема состоит в том, что полиномом аппроксимируется не отклик, а функция, представляющая собой отношение отклика к степенным функциям факторов

m
y / ∏(x j )Pj ,	(2.29)

j=1

где Pj – показатели, значения которых подбирают с учетом характера сече-

ния поверхности отклика.

С учетом (2.6) уравнение математической модели приобретает такой вид:

m
y = [∏(x j )Pj ](b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm ) .	(2.30)

j=1

47

Введение поправочного множителя в виде произведения степенных функций факторов делает модель нелинейной, что обеспечивает повышение ее точности. В [22] приведено применение изложенного выше даннного приема к рассмотренному выше примеру. Поскольку ЭДС генератора линейно зависит от частоты вращения якоря и напоминает график функции y = x , введем поправочный множитель, и уравнение модели будем искать в виде

~	= x2	x1 (b0 + b1 x1 + b2 x2 )
y

Это означает, что полиномом мы будем аппроксимировать отношение отклика к поправочному множителю.

В табл. 2.9 приведены значения факторов x1 и x2, отклика y преобразованного отклика y ' = y / x2 x1 , а также значения x12 , x22 , x1 x2 , y 'x1 , y 'x2 , необходимые для вычисления сумм, входящих в систему уравнений для определения коэффициентов.

С учетом полученных значений сумм система уравнений прибрела вид

9,00b0 + 5,40b1 + 6,75b2 = 2129,9,

5,40b0 + 4,20b1 + 4,05b2 = 1242,6,

6,75b0 + 4,05b1 + 5,44b2 = 1596,5.

Таблица 2.9 –			Значения факторов и откликов
i	x1	x2	y	y'	x 2	x 2		x1x2	y'x1	y'x2
					1	2
1	0,2	0,50	56	250,4	0,04	0,25		0,10	50,1	1256,2
2	0,6	0,50	92	237,5	0,36	0,25		0,30	142,5	118,8
3	1,0	0,50	112	224,0	1,00	0,25		0,50	224,0	112,0

48

Продолжение табл. 2.9

4	0,2	0,75	84	250,4	0,04	0,5625	0,15	50,1	187,8
5	0,6	0,75	140	241,0	0,36	0,5625	0,45	144,6	180,8
6	1,0	0,75	164	218,7	1,00	0,5625	0,75	218,7	164,0
7	0,2	1,00	112	250,4	0,04	1,00	0,20	50,1	250,4
8	0,6	1,00	184	237,5	0,36	1,00	0,60	142,5	237,5
9	1,0	1,00	220	220,0	1,00	1,00	1,00	220,0	220,0
Σ	5,4	6,75	1164	2129,9	4,20	5,44	4,05	1242,6	1596,5

Столбцы же x0 , x4 = x12 , и x5 = x22 не ортогональны между собой. Поэтому неизвестные коэффициенты искомой математической модели

b1 , b2 , b3 = b12 определяются по формуле

		13
			∑ y j x ji
b	j	=	i=1	,
		13
			∑ x 2ji
			i=1

где yi – экспериментальное среднеарифметическое значение функции отклика в i-ом опыте.

Коэффициенты b0 , b4 = b11 , b5 = b22 определяются из решения системы уравнений, полученной из (2.22)

b0

b0

b0

13		13
∑ x02i	+ b11 ∑ x12i		+
i =1		i =1
13		13
= ∑ x12i		+ b11 ∑ x12i
i =1		i =1
13		13
= ∑ x22i		+ b11 ∑ x12i
i =1		i =1

13	13
b2 ∑ x22i	= ∑ yi ,
i =1	i =1
13		13
+ b22 ∑ x12i x22i		= ∑ yi x12i ,
i =1		i =1
	13	13
x22i + b22 ∑ x24i		= ∑ yi x22i .
	i =1	i =1

Вычислив суммы в левых частях, получим

49

		13
13b0 + 8b11 + 8b22 = ∑ yi ,
		i =1
		13
8b0	+ 12b11 + 4b22 = ∑ yi x12i ,
		i =1
	+ 4b11	13
8b0		+ 12b22 = ∑ yi x22i .
		i =1
Решение этой системы имеет вид
	13	13	13
b0 = 0,2∑ yi		− 0,1(∑ yi x12i +	∑ yi x22i ) ;
	i=1	i=1	i=1
13		13	13	13
b11 = 0,125∑ yi x12i − 0,1∑ yi + 0,01875(∑ yi x12i +				∑ yi x22i ) .
i=1		i=1	i=1	i=1

Решение этой системы

b0 = 260,58 ; b1 = −36,81 ; b2 = −2,45 .

Таким образом, мы можем записать уравнение функции, описывающей результаты эксперимента

~	= x2	x1 (b0 + b1 x1 + b2 x2 ) = x2 x1 (260,58 − 36,81x1 − 2,45x2 ) .
y

Сечения этой функции при x2 = 0,5; 0,75; 1,0 изображены в виде пунктирных линий на рис. 2.2. Результаты сопоставления измеренных и предсказываемых моделью откликов приведена в табл. 2.10 [22].

Таблица 2.10 – Результаты сопоставления моделей откликов

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	56	92	112	84	140	164	112	184	220
~	56,38	91,89	111,27	79,38	137,49	166,45	112,84	182,84	221,32
y

50