В помощь аспиранту / Grishchuk - Osnovi nauchnikh issledovaniy 2011

1

u

*i

=

∑Yis ,

¹ Yi* ;

Y

Yis

(5.2)

u - 1 s =1

1

u

σ i* =

∑(Yis -Yi*)2 ,

Yis

¹ Yi* .

(5.3)

u -1 s=1

Случайная величина t имеет u - 2 степени свободы (число независимых параллельных опытов минус две связи – определения Y *i и σ i* ).

Формально процедура проверки статистической гипотезы производится с помощью сопоставления того или иного расчетного показателя с табличным значением критерия (в данном случае t ) при заданной доверительной вероятности Р (или уровня значимости g = 1 – P). Если расчетное значение оказывается меньше табличного, то с вероятностью Р можно принять данную гипотезу. В противном случае гипотеза отвергается (вероятность правдоподобия гипотезы меньше Р).

Таким образом, при tр < t с вероятностью Р можно считать, что параллельные опыты однородны, в противном случае результат рассматривается как следствие грубого промаха.

Пусть в i-й строке плана получены следующие результаты:

2,8; 2,7; 2,9; 3,1; 3,0; 3,8.

Количество параллельных опытов равно шести (u = 6), последний ре-

зультат сомнителен. Определим Yi* и σ i* :

		=	1		(2,8+ 2,7 + 2,9 +3,1+3,0) =			1	14,5 = 2,9;
	Y*
	i		5		5
	σi* =					1	(0,01+ 0,04+ 0+ 0,04+ 0,01) = 0,158.
					4

Расчетное значение критерия Стьюдента

81

t p = 3,8 − 2,9 = 6,3 . 0,158

Табличное значение при Р = 0,95 для f = 6 - 2 = 4 равно 2,78 (таблица значений критерия Стьюдента приведена в приложении 2). Поскольку tр>t гипотеза об однородности опытов отвергается, поэтому результат последнего опыта следует отбросить а опыт повторить.

После устранения ошибочных результатов приступают к проверке однородности оценок дисперсий. В теории планирования эксперимента доказывается, что определение коэффициентов уравнения можно проводить по

средним значениям Yi , но только при условии однородности дисперсий.

Средние значения

Y

и оценки дисперсий опытов Si2

определяются для

ik

каждой строки плана по формулам

1

U

(5.4)

Yi =

× ∑ Yis ;

u

s =1

(5.5)

1

U

S i 2 =

× ∑ ( Yis

-

)2 .

Yi

u - 1

s =1

где u – число параллельных опытов (коэффициент дублирования).

Зная Si2, можно сделать оценку среднеквадратичного отклонения в i– й

строке плана
σ i = Si	2 .	(5.6)

Проверка однородности построчных оценок дисперсий производится по критериям Фишера или Кохрена. При проверке по критерию Фишера расчетное значение критерия находят по формуле

Fp	=	S 2max	,	(5.7)
		S 2min

82

где S2max, S2min – максимальное и минимальное значение оценок построчных

дисперсий.

Табличное значение критерия Фишера F определяется по таблице, приведенной в приложении 2, количество степеней свободы f1 = f2 = u - 1.

При Fp < F гипотеза об однородности дисперсий принимается. Аналогично мажет быть проведена проверка по критерию Кохрена, рас-

четное значение критерия равно

G		=	S 2max	.
	p		n		(5.8)
			∑S 2i

i=1

Табличные значения критерия Кохрена приведены в приложении 2, количество степеней свободы f1 = u - 1; f2 = n.

Однородность дисперсий означает также воспроизводимость эксперимента. Если опыты не воспроизводимы, то необходимо выявить и устранить источники нестабильности эксперимента, а также использовать более точные методы и средства измерения.

5.3. Оценка точности и статистической значимости результатов исследований

Мерой точности эксперимента является дисперсия воспроизводимости Sу2, которая при одном и том же количестве параллельных опытов во всех строках плана определяется по формуле:

		1	n
	S у2 =		∑Sі2 .	(5.9)
		n i=1

Данная величина может быть вычислена только при n > 1. Если в каждой строке плана проводится только один опыт, то величина может быть оценена косвенным путем по известным метрологическим характеристикам измерительных приборов.

83

Определив величину дисперсии воспроизводимости, можно оценить статистическую значимость эксперимента. Считается, что эксперимент содер-

жит	мало	информации	если	разность	Ymax-Ymin	мала
	n	n
(Ymax = max Yi , Ymin = min Yi ). В этом случае говорят,					что эксперимент явля-
	i=1	i=1

ется статистически незначимым. Эта гипотеза проверяется по критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия находится по формуле

t p	=	Ymax − Ymin			.
						(5.10)
			2S y
			u
Табличное значение критерия t определяется по уровню						значимости

q = 0,05 и числом степеней свобод f (см. приложение 2 табл. П2.4). При tp < t принимается гипотеза статистической значимости.

5.4. Оценка статистической значимости коэффициентов и адекватности математической модели

В случае однородности параллельных опытов и построчных дисперсий расчет коэффициентов регрессии производится по формуле

					n
					∑Yi × X ji
		b j	=		i=1			.			(5.11)
					n
					∑ X 2ji
					i=1
Определим дисперсию S(bj),			имея в виду, что факторы Xji –								величины
случайные, а Yi – независимы друг от друга
			1				n
		S (b j ) =					∑ X 2ji S (Yi ) .
					n
				(∑ X 2ji ) 2			i=1

i=1

84

Учитывая, что,

1

n

1

n

1

S 2 (

) = S 2 (

× ∑Yis ) =

×

∑ S 2 ( Yis

) =

Si 2 ,

Yi

u 2

u s =1

s =1

u

получим

n

∑ X 2ji Si

2

S 2 ( b

j

) =

i =1

.

(5.12)

n

u( ∑ X 2ji )2

i =1

Для планов ПФЭ и ДФЭ X 2ji

= 1; ∑ X 2ji

= n.

1 1

n

S

2

S 2 ( b

) =

×

∑

S

2

=

н

(5.13)

j

i

u

× n n

i =1

un

Если в каждой строке плана производится только один опыт (u = 1) а дисперсия S y2 = S определяется косвенным путем, то

S 2 ( b j	) =	S	2 .	(5.14)
		n

В общем случае при u = 1 (для любых ортогональных планов) имеем:

	S	2 (b	) =	S 2	.
				n
		j				(5.15)
				∑ X 2ji
				i =1
Истинное	значение	коэффициента bj				лежит в интервале
[b j − b j ,b j +	b j ]. Это утверждение справедливо с некоторой доверитель-
ной вероятностью Р.
Величину ∆bj находят по формуле

85

Dbj = t × S 2 (bj ) .

(5.16)

Коэффициент Стьюдента t определяют по таблице, приведенной в приложении 2 при n(u-1) степенях свободы (число степеней свободы S y2 = S ).

Коэффициент bj считается с вероятностью Р статистически незначимым при b j < Db j . При этом следует учесть, что параметр Xj не оказывает влия-

ния на результат и принять bj = 0.

Проверка адекватности уравнения регрессии производится по критерию Фишера, табличное значение которого F находится из табл. П 2.3 (см. приложение 2), а расчетное определяется по формуле

Fp	=	S	а2	,	(5.17)
		S	2
			у
где Fp – расчетное значение критерия Фишера; S у2 –					дисперсия воспроизво-

димости; S a2 – дисперсия адекватности, определяемая по формуле

2		u		n		~		2
Sa	=			× ∑( Yi -Yi			)		;	(5.18)
		n -( m +1)
				i=1
					~		–		вычисленное по модели
m + 1 – число коэффициентов в уравнении; Yi

значение отклика в i– й точке плана.

Числа степеней свободы дисперсий Sа2 и S у2 определяются соответст-

венно f1 = n-(m+1), f2 = n(u-1).

При Fp < F гипотеза об адекватности модели принимается с вероятностью Р.

Если в одной из строк плана для оценки дисперсии воспроизводимости Sу опыт повторен n раз (данную строку для определенности будем считать первой i = 1), а остальные опыты проделаны по разу, то

86

n

~

)

2

~

∑( Yi

- Yi

(5.19)

2

2

i = 2

S

a

= u ×( Y - Y )

+

.

i i

( m + 1)

5.5. Пример статистического анализа результатов многофакторного эксперимента

В качестве примера приведены результаты двухфакторного эксперимента второго порядка при дублировании опытов в каждой строке плана по пять раз, изложенные в [22] и приведенные ниже в табл. 5.2.

		Таблица 5.2 –				Результаты двухфакторного эксперимента второго порядка
							2		2		Результаты опытов								~			~
	i	X0	X1	X2	X3=X1X2		X4=X1	-φ	X5=X2	-φ						Yi			Yi	Yi − Y
											Yi1	Yi2	Yi3	Yi4	Yi5
	1	+	+	+	+		1/3		1/3		7,1	7,3	6,8	6,9	7,1	7,04			6,93	0,11
	2	+	-	+	-		1/3		1/3		4,0	4,2	4,2	3,8	4,0	4,04			4,45	-0,41
	3	+	+	-	-		1/3		1/3		2,9	2,9	3,0	3,1	3,1	3,0			3,07	-0,07
	4	+	-	-	+		1/3		1/3		6,0	5,5	6,0	5,9	6,1	5,96			5,55	0,41
	5	+	+	0	0		1/3		-2/3		5,1	4,9	5,0	5,1	4,9	5,0			5,0	0
	6	+	-	0	0		1/3		-2/3		4,8	4,8	5,2	5,2	5,1	5,02			5,0	0,02
	7	+	0	+	0		-2/3		1/3		3,1	3,1	3,0	2,9	3,0	3,02			2,69	0,33
	8	+	0	-	0		-2/3		1/3		1,0	1,0	1,0	1,1	0,9	1,0			1,31	-0,31
	9	+	0	0	0		-2/3		-2/3		1,9	1,9	2,1	1,9	2,1	1,98			2,0	-0,02

Процедура статистического анализа экспериментальных данных основывается на предположении о том, что эти данные являются случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Это позволяет в качестве математического ожидания принять среднеарифметическое значение ре-

зультатов опытов Yi . Приведем результаты обработки и статистического анализа эксперимента по методике, изложенной в данном разделе.

Средние значения результатов параллельных опытов следующие

87

						1	5						1		(7,1 + 7,3 + 6,8 + 6,9 + 7,1) =			1
					=		∑Yis ;				=								35,2 = 7,04;
			Yi							Y1
																		5
						5 s=1					5
				= 4,04;										=		1	( 6,0 + 5,5 + 6,0 + 5,9 + 6,1)			1	29,5 = 5,90;
		Y						Y	= 3,0;Y
	2						3				4				5			5

Y5 = 5,0; Y6 = 5,02; Y7 = 3,02; Y8 = 1,0; Y9 = 1,98.

В четвертой строке плана второй результат (5,5) заметно отличается от остальных. Проверим достоверность этого результата. Для этого определим оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения без учета данного результата.

		=	1	(6,0 + 6,0 + 5,9 + 6,1) =	1	24 = 6,0 ;
	Y4*
	4			4

σ 4* = 1 (0 + 0 + 0,01 + 0) = 0,0815 . 3

Расчетное значение критерия Стьюдента

t p	=			5,5 − 6,0			= 6,14.
	0,0815

По таблице значений критерия Стьюдента (см. приложение 2) находим при f = u-2 = 5-2 = 3 табличное значение t = 3,18. Поскольку tp > t, гипотеза об однородности опытов не может быть принята, поэтому второй опыт четвертой строки плана следует повторить. Пусть в результате повторного опыта получено значение 5,8.Тогда среднее значение параллельных опытов четвертой строки плана равно

		=	1	(6,0 + 5,8 + 6,0 + 5,9 + 6,1) =	1	29,8 = 5,96.
	Y4
		5		5

Результаты расчета средних значений приведены в табл. 5.2. Оценки построчных дисперсий приведены ниже:

88

		5						[(7,1 − 7,02)2 + (7,3 − 7,04)2 + (6,9 − 7,04)2 + (7,1 − 7,04)2	]= 0,038;
	Si2	=	1	∑( Yis −		)2 ; S12 =	1
					Yi
			4 s=1		4
	S22	= 0,0277; S32 = 0,01; S42 = 0,0125; S52 = 0,01; S62 = 0,0418; S72 = 0,007; S82 = 0,005;
	S92	= 0,012.

Проверку однородности построчных оценок дисперсий будем производить по критерию Кохрена. С этой целью определим наибольшее из расчет-

ных значений оценок построчных дисперсий			S2		= S2			= 0,0418
				max		6		.
	9
Сумма оценок построчных дисперсий	∑Si2 = 0,159 .
	i=1
Расчетное значение критерия Кохрена	G	p	=	Smax2		=	0,0418		= 0,263 .
				9
								0,159
				∑ Si2

i =1

По таблице значений критерия Кохрена (см. приложение 2 табл. П2.2) при f1 = u-1 = 4 и f2 = n = 9 находим табличное значение G = 0,358.

Поскольку Gp < G, гипотеза об однородности оценок дисперсий принимается. Это указывает на равную точность фиксации результатов опытов, а также на их воспроизводимость.

Определим дисперсию воспроизводимости S y2 , которая является мерой точности эксперимента

		1	n	1	9
	S y2 =		∑ Si2 =		∑ Si2 = 0,0176 .
		n i=1		9 i=1

Найденное значение дисперсии воспроизводимости дает возможность оценить статистическую значимость эксперимента. Максимальное и минимальное значения откликов равны: Y max = 7,04; Y min = 1.

Расчетное значение критерия Стьюдента для проверки гипотезы о статистической значимости равно

89

t p =

max -

min

=

7,04 -1

= 71,9.

Y

Y

2 × S y2

2 × 0,0176

5

u

По таблице значений критерия Стьюдента (см. приложение 2 табл. П2.4) при f = 2u = 10 находим табличное значение этого критерия t = 2,23.

Поскольку tp > t, гипотеза о статистической незначимости эксперимента отвергается (эксперимент статистически значим).

Определим значения и оценим статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии:

n

∑

X ij

Yi

9

b j =

i =1

;

b0 =

1

∑

= 4,006 ;

Yi

n

9 i=1

∑ X ij2

i =1

9

9

9

b1 =

1

∑

X1i

= 0,003; b2

=

1

∑

X 2i

= 0,69; b12

=

1

∑

X1i X 2i = 1,24;

Yi

Yi

Yi

6 i=1

6 i=1

4 i=1

9

9

=

1

∑

( X12i − ϕ ) = 3,009;

=

1

∑

( X 22i − ϕ ) = 0,01.

b11

Yi

b22

Yi

2 i=1

2 i=1

Дисперсии коэффициентов определяются следующим образом

n

9

∑ S i2 X 2ji

1

∑ S i2 X 2ji

S 2 ( b j ) =

i =1

=

i =1

;

n

5

9

U ∑ X 2ji

∑ X 2ji

i =1

i =1

1

9

1

9

S 2 ( b0

) =

∑ S i2 = 0 ,0035 ;

S 2

( b1

) =

∑ S i2 X 2ji = 0 ,0046 ;

45

i =1

30

i =1

			1	9
	S 2 ( b2	) =		∑ S i2 X 2ji
		30		i =	1

			1	9
	= 0 ,0033 ; S 2 ( b12	) =		∑ S i2 ( X 1i × X 2 i ) 2 = 0 ,0044 ;
		20		i =	1

			1	9		1	9
	S 2 ( b11	) =		× ∑ S i2 × ( X 12i - ϕ )2 = 0.0026 ; S 2 ( b221 ) =			× ∑ S i2 × ( X 22i - ϕ )2 = 0.0044 .
					10
		10		i =1			i =1

90