шпоры по вышке / матем 1-8

1). Неопределенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

-F(x) называется первообразный для f(x) на интервале (а;в), если для любого х из интервала (а;в), если выполняется равенство F’(x)=f(x)

-Множество всех первообразных F(x)+C для функции f(x) называется неопределенным интегралом.

-геометрический неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых F(x)+C будет соответствовать определённая кривая

Пример: y=x^2

2). Свойства неопределенного интеграла.

1-диференциал от неопределенного интеграла = подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла = подынтегральной функции;

2-неопределленый интеграл от дифференциала некоторой функции = сумме этой функции и производной постоянна;

3-постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4-неопределееный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции = алгебраической сумме интегралов от слагаемой функции

3). Интегрирование методом замены переменной (подстановкой)

Пусть требуется вычислить интеграл f(x)dx, сделаем подстановку x= (t), где (t)- функция имеющая непрерывную производную, после нахождения интеграла стоящего в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной t назад к переменной х

4). Основные понятие о многочленах и рациональных дробях

-если х1 корень многочлена Рп(х), то этот многочлен делится без остатка, на (х-х1), то есть Рп(х)=(х-х1)Рп-1(х)

-всякий многочлен степени п(п больше 0) имеет по крайней мере 1 корень действительный или комплексный.

-всякий многочлен Рп(х) может быть представлен в виде а0(х-х1)(х-х2)…(х-хп)

-если многочлен Рп(х)=а0х^n+a1x^n-1…+an тождественно = 0, то все его коэффициенты = 0

-если 2 многочлена тождественно= друг другу, то коэффициенты 1 многочлена = соответствующим коэффициентам другого многочлена

-если многочлен Рп(х) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то он имеет сопряжённый корень, то есть в разложении многочлена комплексные корни входят сопряженными парами

-любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами

5). Простейшие рациональные дроби

-рациональная дробь называется правильной если степень (m-меньше-n), если (m-больше-n)-не правильной

-всякую неправильную дробь можно путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби

-любую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители, можно представить и при том в единственном образом в виде суммы простейших дробей

6).вывод формулы интегрирования по частям

UDV=UV-!VDU

7)интегрирование некоторых иррациональных дробей

-если дробь не правильная, то представить ее в виде многочлена и правильной дроби

-разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители

-представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей

-проинтегрировать многочлен и получить сумму простейших рациональных дробей

8). Интегрирование тригонометрических функций

-интегралы R(sin x, cos x)dx сводятся к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой

* если R(-sin x, cos x)= -R(sin x, cos x) функция не четна, то cos x = t

* если R(sin x, -cos x)= -R(sin x, cos x), то sin x =t

*если R(tg x), то tg x = t

- если п- целое положительное не чётное число, то подстановка sin x =t

* если m целое положительное не чётное число, то подстановка cos x = t

*если m и n – целые не отрицательные четные числа, то используются формула понижения порядка

* если m и n – есть четное отрицательное целое число то подстановка tg x = t