2 Предел переменной величины. Бесконечно малые и бесконечено большие величины, связь между ними.

Предел переменной величины в некой точке численно равен этой точке. limx(xa) = a

Функция называется бесконечно малой в точке где xа если у0. limf(x)_(xa) = 0

Функция называется бесконечно большой в точке где xа если у0. limf(x)_(xa) = <><>

Связь между величинами:

Если у=Ф(х) – бесконечно малая, то 1/ф(х) – бесконечно больная

3 Бесконечно малые, их основные свойства.

Сумма конечного числа бесконечно малых величин величина бесконечно малая.

Произведение конечной функции и бесконечно малой величины – величина бесконечно малая.

Функция в точке а имеет конечный предел тогда и только тогда, когда f(x) = A + U(x), где U(x) – бесконечно малая величина.. Подругому это можно записать как f(x) – A  0

Сравнение бесконечно малых функций:

Если предел отношения одной б.м. к другой б.м. равен нолю, то та б.м., которая стояла в числителе белее высокого порядка. Если же этот предел равен бесконечности, то наоборот.

А если предел их отношения равен определнному числу, то значит эти б.м. одного порядка.

Если предел равен 1, то эти две б.м. эквивалентны.

Теорема 1: произведение бесконечно малых – бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Опр. Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0, а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=> (х)(х)0 при хх0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.

4 Предел функции. Основные теоремы о пределах.

Определение предела: пусть ф(х) – функция определенная на множестве Х, и а – пределньная точка этого множества. Число А называется пределом функции при х  а тогда и только тогда, когда для любого е существует окрестность точки а, что |ф(х) – а| < |е|

Подругому это записывается как f(x)  A при x  a

Теорема 1: Если каждое слагаемое алгераической суммы конечного числа функций имеет предел при х стремящимся к а, то предел этой алгебраической суммы при х стем. к а существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство: представляем функцию как сумму ее предела и бесконечно малой, складываем функции, и бесконечно малые. Получается, что сумма функций отличается от суммы пределов на бесконечно малую, значит это и есть предел.

Следствие: Функция может иметь только один предел при х стем. к а. Доказывается от противного. Получается, что разность исходных функций стремиться к разности их пределов, то есть ноль тремится к разность пределов, а т.к. предел постоянной функции равен самой функции и единствен, то отсюда получаем, что разность предело равно 0, то есть пределы однинаковы.

Теорема 2: Если каждый из сомножителей произведения конечнеого числа функций имеет предел при х  а, то предел произведения при х стем к а равен произведению пределов сомножителей.

Докозательство: Рассматривается произведение двух сомножителей, разлогаются функции на бесконечно малые и пределы. Применяются теоремы о бесконечно малых и получается, что призведение фунеций равно сумме произведения пределов и бесконечно малой, то есть чтд.

Следствие 1: Постоянный моножитель можно выностить за знак предела. Доказывается аналогично, с условием что предел постоянной единственен и равен «а».

Следствие 2: Если функция ф(х) имеет предел при х  а, то предел при х стем к а целой положитеьной степени ее равен такой же степени предела этой функции, т.е. Доказывается аналогично.

Теорема 3: Если функция ф(х) имеет редел при х  а, оиличный от нуля, то редел при х  а отратной ей по величине функции 1/ф(х) равен обратной величине предела данной функции. Доказывется на основании следствия о степенях.

Теорема 4: Если делимое ф(х) и делитель г(х) имеют пределы при х стем к а и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при х  а равен частному пределов делимого на делителя

Докозательство: Предел функции в –1 степени равен пределу в –1 степени (теорема 3), а таеже торема 2 о пределе произведения.

Теорема 5: Если функция ф(х) имеет предел при х  а и корень из ф(х) натуральной степени существует в точке а и б некоторой окрестности а, то предел корня равен корню предела. Без доказательства.

5 Первый замечательный предел.

Теорема: Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраденной в радианах, равен единице, т.е. придел отношения синуса икс на икс при х  0 рвен 1.

Доказательство: ((Х>0)) рисунок: сектор из радиусов ОА и ОВ, угол х, перпендикуляр ВД на ОА, касательная СА в точке А, С лежит на продолжении ОВ. Получаем, что площадь треуг ОАВ < пл сект ОАВ < пл теуг ОАС. Т.к. ДВ = синусХ и АС = тангенсХ, то на основании формул элементарной геометрии получаем ½синусХ < ½Х < ½тангенсХ. Из этого получаем косинусХ < синусХ / Х < 1. Пусть Х стерем к +0, тогда получаем , что косинусХ  1. В результате получается, что функция синусХ / Х заключена между двумя функциями, имеющими общий предел, значит и она сами имеет этот предел по теореме о промежуточной функции. ((Х<0)) Заменяем х на –х, где –х > 0. Тогда предел при х  –0 тоже равен 1.