Задачник / Глава 07(156-208)
.pdfMкLC mк1 mк2 3 9 6 кНм.
Эпюра Мк изображена на рисунке 7.14, г.
Для построения эпюры Мy рассмотрим систему сил в горизонтальной плоскости (рис. 7.14, д). Опорные реакции найдем из уравнений стати-
ки: |
|
|
|
|
|
|
MYA 0; F1a F2 a b F1 a b l RBX 2a b l 0; |
||||||
R |
1 |
|
20 0,2 40 0,6 20 1,4 5 кН; |
|||
|
|
|||||
BX |
|
1,6 |
|
|||
|
|
|
||||
MYB 0; F1a F2 a b F1 a b l RAX 2a b l 0; |
||||||
|
R |
AX |
20 0,2 40 1 20 1,4 5 кН. |
|||
|
|
1,6 |
||||
Проверка: X 0; |
||||||
|
RAX RBX 2F1 F2 0 ; |
5– 5 + 2∙20 – 40 = 0.
Вгоризонтальной плоскости вал имеет четыре участка. Участок АЕ: 0 z1 0,2 м;
M y1 RAX z1 5z1 ;
участок EL: 0,2 z2 |
0,6 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M y2 RAX z2 |
F1 z2 |
0,2 5z2 |
20 z2 0,2 ; |
||||||||||||||
участок BC: 0 z3 0,2 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M y3 RBX z3 5z3 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
участок LС: 0,2 z4 |
1,0 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M y4 RBX z4 |
F1 z4 |
0,2 5z4 |
20 z4 0,2 . |
||||||||||||||
По этим уравнениям строим |
|
|
эпюру изгибающих моментов Мy |
||||||||||||||
(рис. 7.14, е). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим опорные реакции в вертикальной плоскости (рис. 7.14, ж): |
|||||||||||||||||
RAY |
F3 a l b |
|
100 1,4 |
87,5 |
кН; |
||||||||||||
|
2a b |
l |
|
|
|
1,6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
RBY |
|
|
F3a |
|
|
|
100 0,2 |
12,5 |
кН. |
||||||||
2a b |
|
|
|
|
1,6 |
||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вал имеет два участка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Участок АЕ: 0 z1 |
0,2 м; |
|
|
|
M x1 RAY z1 |
87,5z1; |
|||||||||||
участок BЕ: 0 z2 |
1,4 м; |
|
|
|
|
M x2 RBY z2 |
12,5z3 . |
176
а) |
|
|
D1=30 cм |
|
D |
=45 cм |
|
|
D3=60 см |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
х |
|
|
|
|
|
|
|
F2=40кН |
|
|
|
F1 |
|
|
||
|
y |
|
F1=20кН |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
F3=50кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а |
|
|
b=40 см |
|
|
l=80 см |
|
|
а=20 см |
|
||||
б) |
|
|
|
|
F1 |
mк2 |
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Е |
|
|
L |
|
|
|
|
С |
В |
|
z |
|
|
mк1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
х |
F3 |
|
|
|
|
mк3 |
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
mк2 |
9 кНм |
|
|
|
|
|
|
|||
|
mк1 3кНм |
|
|
6 кНм |
|
|
||||||||||
в) |
A |
|
|
m |
к3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х |
|
Е |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
С |
|
|
|
z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mк (кНм) |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
д) |
|
RAX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
F2=40 кН |
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
В |
|
z |
||||
х |
|
F |
=20 кН |
|
|
F1 |
|
С |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
z |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
z4 |
R В |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
My |
(кНм) |
|
|
1,0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RAy |
|
|
|
|
11,0 |
|
|
|
|
|
|
RВy |
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
С |
В |
|
z |
||
х |
|
|
|
F3=100 кН |
|
|
|
|
|
|
||||||
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
|
17,5 |
|
12,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Mх (кНм) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.14 |
|
|
|
|
|
|
177
Эпюра Мx, построенная по этим уравнениям изгибающих моментов, изображена на рисунке 7.14, з. Из эпюр Мк, Мx, Мy следует, что опасными сечениями могут быть либо сечение Е: Мк = 3 кНм, Мх = 17,5 кНм, Му = 1 кНм, либо сечение чуть правее L: Мк = 6 кНм, Мх = 12,5 кНм, Му = 11 кНм.
2. Для подбора сечения по третьей теории прочности
pIII 2 4 2
необходимо вычислить результирующий изгибающий момент Ми:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
и |
|
|
M 2 |
M 2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
||||||
Опасной точкой в сечении является та, |
для которой и к наибольшие. |
|||||||||||||
Эти напряжения определяются по формулам: |
||||||||||||||
|
|
|
Mи |
|
|
; |
|
|
|
Mк |
|
Mк |
, |
|
max |
|
|
|
к,max |
|
|
||||||||
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
Wp 2Wx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь Wx , Wp – осевой и полярный моменты сопротивления сечения вала.
Требуемый из условия III теории прочности осевой момент сопротивления Wx определим так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M и2 |
|
4 |
M к2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pIII |
Wx2 |
4Wx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M pIII |
; |
|||||||||||
pIII |
|
|
|
Mи2 Mк2 |
|
|
|
|
|
|
M x2 M y2 Mк2 |
|||||||||||||||||||||||||
Wx |
Wx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
|||||||||
для сечения Е: M pIII |
|
12 17,52 |
32 |
17,78 кНм; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
для сечения L: M pIII |
12,52 112 |
|
62 |
17,70 кНм. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Наиболее опасным сечением оказалось Е, по нему и подбираем диа- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
метр. Находим требуемый момент сопротивления |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W |
|
|
|
|
|
M x2 M y2 M к2 |
|
17,78 |
|
0,1778 |
10 2 м3. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 103 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 17,78 10 5 |
|
|
|
||||||||||||||
Так как W |
x |
|
|
|
, то d 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12,25 10 2 м. |
|||||||||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимаем для вала диаметр сечения d 12,25 см.
178
Пример 7.1.10. Для показанного на рисунке 7.15, а поперечного сечения стального вала диаметром d = 14 см известны следующие значения изгибающих Мx , Мy и крутящего Мк моментов:
Мx = 18 кНм, Мy = 22 кНм, Мк = 20 кНм,
а) |
б) |
|
|
К1 |
|
cм |
Мк |
|
|
||
14 |
z |
|
d= |
||
Ми |
х
К2
y
в)
к2 37,1МПа
К |
к2 105,5 МПа |
|
2 |
Рис. 7.15
|
н. |
z |
|
|
|
|
о. |
|
|
|
|
х |
|
|
К2 |
|
|
max |
к2 иmax |
|
к2 |
y |
|
|
|
к1 37,1МПа
К1 к1 105,5 МПа
Требуется: 1) найти полный изгибающий момент M и , построить эпюры нормальных и касательных к напряжений; 2) выявить опасную
точку в сечении, определить в ней главные напряжения и вычислить расчетное напряжение по энергетической (четвертой) теории прочности через главные напряжения, проверить прочность.
Решение. Полный изгибающий момент
M и M x2 M y2 182 222 28,43 кНм.
Находим угол наклона плоскости, в которой расположен полный момент (рис. 7.15, а):
tg |
M y |
|
22 |
1, 222 ; |
50,7 . |
|
M x |
18 |
|||||
|
|
|
|
179
Положительный угол откладывается от положительного направления оси y в сторону положительной оси x.
Так как для кругового сечения любая центральная ось является главной, то нейтральная ось в сечении всегда перпендикулярна плоскости действия полного изгибающего момента и наибольшие нормальные напряже-
ния от изгиба max |
имеют место в наиболее удаленных от нейтральной |
оси точках K1 и K2 |
(рис. 7.17, б), на концах диаметра в плоскости дейст- |
вия полного изгибающего момента.
Касательные напряжения от кручения достигают наибольшего значения к,max во всех точках у поверхности вала. Следовательно, самыми опас-
ными точками, где наибольшими будут одновременно |
и к , являются |
|||||||||||||||||||
точки K1 |
и K2 . Именно в них и следует производить проверку прочности. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M и |
; |
|
|
|
|
|
M к |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
к,max |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
|
|
Wp |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
здесь Wx |
|
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp |
d 3 |
|
32 |
– осевой момент сопротивления; |
|
– полярный |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
момент сопротивления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
28,43 10 3 |
32 |
105,5 МПа; |
|
|
|||||||||
|
|
|
max |
|
|
0,143 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 10 3 |
16 |
37,1 МПа. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
к,max |
|
|
0,143 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженное состояние в точках K1 и K2 показано на рисунке 7.15, в.
Следует заметить, что если материал плохо сопротивляется растяжению (например чугун), то опасной точкой в данной задаче является лишь
одна – точка K2 .
Определим главные напряжения для точки K2 по формуле
max |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
к |
: |
||
min |
|
2 |
|
|
|
1 1062 532 37,12 53 64,7 117,7 МПа;
3 1062 532 37,12 53 64,7 11,7 МПа;
2 0.
180
Расчетное напряжение по четвертой теории прочности
p IV 0,5[ 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ]
0,5[(117,7 0)2 (0 ( 11,7))2 ( 11,7 117,7)2 ] 124 МПа;
p IV 124 160 МПа, значит прочность вала обеспечена.
7.1.6 Общий случай сложного сопротивления
Пример 7.1.11. Пространственная стержневая конструкция загружена, как показано на схеме (рис. 7.16, а).
Дано: F = 30 кН; q = 10 кН/м; l = 1 м; h/b = 2; 100 МПа.
Требуется: подобрать сечения на каждом из участков конструкции.
Решение. Определяем реакции в заделке. Из уравнений равновесия находим:
1)Z 0; RAZ q 0,6l 10 0,6 1 6 кН;
2)Y 0; RAY 0 ;
3)X 0; RAX F 30 кН;
M z 0; M AZ 0 ;4)
5) |
M y 0; |
M AY |
Fl q 0,6l 0,8l |
|
|
30 1 10 0,6 0,8 34,8 |
кНм; |
||
6) |
M x 0; |
M AX |
q 0,6l 0,3l |
10 0,6 0,3 1,8 кНм. |
Составляем уравнения для внутренних усилий по участкам (рис. 7.16, б).
I участок: |
0 y1 0,6l ; |
|
|
|
|
|
|
|||
N1 0 ; Qx1 0 ; |
Qz1 qy1 10 y1 ; |
|||||||||
|
M и |
|
qy12 |
5y2 |
; M и |
0 ; M |
к 0 . |
|
||
|
|
|
||||||||
|
x1 |
2 |
1 |
z1 |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II участок: |
0 x2 0,8l ; |
|
|
|
|
|
|
|||
N2 0 ; |
Qz 2 q 0,6l 10 0,6 6 |
кН; |
Qy 2 0 ; |
|||||||
M и |
q0,6lx 10 0,6x 6x |
2 |
; M и |
0; |
|
|||||
y 2 |
|
2 |
|
2 |
|
z 2 |
|
|||
M к |
q 0,6l 0,3l 10 0,6 0,3 1,8 |
кНм. |
||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
а) |
|
|
z |
|
|
q |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,8l |
|
|
b |
|
h |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
МAх |
y |
|
|
|
|
RAx |
|
МAy |
х |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
Ay |
МAz |
|
|
|
|
|
|
|
RAz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Эп. N, кН |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
4,8 |
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||
|
|
|
4,8 |
|
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Эп. Mи, кН |
|
|
|
|
|
|
- |
- |
|
|
|
|
34,8 |
|
1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.16 |
|
|
|
|
z1 |
q |
y |
1 |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z2 |
|
|
|
|
|
F |
|
|
y |
|
х1 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
у1 |
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
х2 |
|
|
|
z |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
г)
- -
6 |
6 |
|
+Эп. Q, кН
30
е)
-
1,8
Эп. Мк, кНм
182
III участок: 0 z3 l;
N3 q 0,6l 10 0,6 6 кН ; Qx3 F 30 кН ; Qy3 0; M zк3 0 ; M xи3 q 0,6l 0,3l 10 0,6 0,3 1,8 кНм;
M yи3 Fz3 q 0,6l 0,8l 30z3 4,8 .
Строим эпюры внутренних усилий в соответствии с написанными выражениями (рис. 7.16, в, г, д, е).
Эпюры следует строить в изометрии, на осях заданной системы. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил строятся на каждом участке заданной системы в двух главных плоскостях, проходящих через главные оси поперечных сечений. Эпюра изгибающих моментов строится обязательно на растянутых волокнах стержня. Знак на ней при этом можно не ставить.
Величину поперечной силы можно найти либо по заданным внешним силам, действующим на отсеченную часть системы, как это сделано в данном примере, либо путем дифференцирования эпюры изгибающих моментов.
Знак поперечной силы можно определять согласно следующему правилу: если изгибающий момент возрастает с увеличением координаты вдоль оси стержня, то поперечная сила положительна, если убывает, то отрицательна, т.е. определяется знаком производной dM / dz Q. Это пра-
вило согласуется с тем, которое принималось нами для Q ранее. Отмечаем опасные сечения на каждом участке ломаного стержня
(рис. 7.16, ж). Составляем условие прочности для каждого из опасных сечений. При этом не будем учитывать при оценке прочности поперечные силы из-за их малого влияния.
На первом участке стержень испытывает обычный плоский изгиб:
|
|
|
|
M и |
|
1,8 кНм; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
max |
|
|
M maxи |
|
; |
h 2b; |
||||||||||||
|
|
Wx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
W |
b h2 |
|
4b3 |
M и |
|
|
; |
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
max |
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3M и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1,8 106 |
|
|
|
||||
b 3 |
|
max |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 см; |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 100 103 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 2b1 6 см.
183
На втором участке стержень испытывает совместное действие плоского изгиба и кручения:
M и |
4,8 |
кНм ; |
M |
к |
1,8 кНм; |
|||||
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
M maxи |
; |
к |
M к ; |
||||
|
|
|
Wy |
|
|
|
Wp |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
для кругового поперечного сечения Wp 2Wy .
Условие прочности по III теории прочности имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
pIII |
2 4 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
||||||
|
pIII |
|
|
M 2 |
M 2 |
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
Wy |
|
и |
|
к |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r 3 |
|
|
M 2 |
M 2 |
|
||||||
W |
|
|
|
|
|
и |
|
к |
, |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
4,82 1,82 106 |
|
|
|||||
r 3 |
|
и |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
100 103 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = 2r = 8,06 cм. Примем d2 = 8,1 см.
На третьем участке стержень испытывает изгиб (пространственный изгиб и продольное сжатие):
4,03 см,
вдвух плоскостях
|
N |
max |
|
6 кН; |
|
M |
и |
|
|
|
|
|
|
34,8 кН; |
|
|
M и |
|
|
1,8 |
кН; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y, max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, max |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
M yи, max |
|
|
|
|
M xи, max |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wy |
|
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
max |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M yи, max |
|
|
|
|
|
|
M xи, max |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Wy |
|
|
|
|
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wy |
|
h |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
34,8 2 1,8 100 103 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b h2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
домножим левую и правую части равенства на b h2 |
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6h 6 34,8 2 1,8 100b h2 103 ; |
h |
2b |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
12b 230,4 100b |
4b2 |
103 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184
где размерность b3 – метры.
В первом приближении, пренебрегая влиянием продольной силы, найдем:
b 3 |
|
230,4 |
|
0,0832 |
м 8,32 см. |
|
|||||
3 |
|
4 105 |
|
||
|
|
|
Примем b3 = 8,33 см. Подставим это значение в кубическое уравнение, получаем:
4 105 0,0833 3 12 0,0833 230,4 0,2 0 .
Таким образом, на третьем участке b3 = 8,33 см; h3 = 2b3 = 16,66 см.
Пример 7.1.12. Схема пространственного стержня и приложенные к нему нагрузки показаны в изометрии на рисунке 7.17, а.
Исходные данные:
кН, а = 0,5 м, [ ] = 160 МПа, h/b = 1,5.
Требуется подобрать сечение на каждом участке стержня, при необходимости использовать IV теорию прочности. Форма сечений указана на схеме.
Решение.
а) Определение реакций.
Опорные стержни препятствуют линейным перемещениям и допускают повороты. Выбираем координатную систему, оси которой совпадают или параллельны главным центральным осям сечений каждого из участков. Пишем уравнения равновесия системы и из них находим пять составляющих реакций:
1) |
M AX 0; |
RBY 3,5a F 1,5a 0 ; |
||||||
|
|
R |
|
|
1,5F |
8,57 кН; |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
BY |
3,5 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
2) |
M BX 0; |
RAY 3,5a F 2a 0; |
||||||
|
|
R |
|
|
2F |
11,43 кН; |
||
|
|
AY |
|
|||||
|
|
|
3,5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
M Z 0; |
Fa Fa 0 ; в данной задаче это равенство удовле- |
творяется тождественно;
4) M AY 0; 1,5Fa RBX 3,5a F 3,5a 0 ; RBX 23,5F 11,43 кН;
185