Часто выделяют 4 постулата квантовой механики:

1. Постулат о волновой функции.

Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.

Динамические переменные одновременно измеряемы. -n – мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени - описывает эволюцию квантово-механических систем.

В классической механике задание 2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона.

В квантово-механической системе описывается эволюция системы через - функцию отn динамических переменных.

2. О связи физических величин и объектов математики.

Каждой физической величине ставится во взаимооднозначное соответствие оператор: .

3. Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора(т. е. решением математических задач)

- значение физической величины , которое получено в результате измерения системы, находящейся вi-том квантовом состоянии.

является одним из собственных значений оператора . Это задача Штурма – Лиувилля (задача на собственные функции и собственные значения). Задача определяет собственные значения, соответствующиеи определяет собственные функции, соответствующие собственным значениям.

Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре.

Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.

4. Определение среднего значения физической величины 

здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства.

Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций).

- квадратично интегрируемые функции, тогда

Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан.

* - комплексное сопряжение.

Это аналог длины в векторном пространстве.

Оператор в квантовой механике — это линейное отображение, которое действует на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы.

Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния.

В квантовой физике наблюдаемым величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, состояниям — классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Это делается в основном по двум причинам:

• Собственные значения самосопряжённых операторов, соответствующие конкретным значениям физических величин, являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).

• Одна и та же квантовая частица может находиться одновременно во множестве квантовых состояний, которые и характеризуются множеством собственных значений соответствующего оператора. Это может быть конечное множество (дискретный спектр значений), интервал (непрерывный спектр значений) или смешанное множество.

В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

• оператор координат (x)

• оператор импульса (p)

• оператор кинетической энергии

• оператор потенциальной энергии

• оператор Гамильтона

• оператор момент импульса

• оператор спина