Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

369

Чтобы вычислить полученный интеграл (3.10.5), следует перейти к двукратному интегрированию по новым переменным r и φ, а для этого нужно найти пределы их изменения в области D*.

Построение области D* в полярных координатах не обязательно. Если построена область D в декартовой системе координат, то пределы изменения полярного радиуса r и угла φ в новой системе отсчета легко определить по области D.

Например, пусть область D ограничена замкнутой кривой, а полюс лежит внутри кривой (Рис. 3.10.2).

В этом случае нужно найти полярное уравнение ограничивающей линии r = r(φ).

Тогда угол φ внутри области будет изменяться от 0 до 2π, а полярный радиус r – от 0 до своих значений на кривой r = r(φ), т.е.:

			2		r( )
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd d f (r cos ,r sin )rdr
D	D*		0		0
		Если область D в декартовой системе от-
		счета есть полукруг радиуса R с центром в на-
		чале координат, расположенный в верхней по-
		луплоскости (Рис. 3.10.3), то значения полярно-
		го радиуса r и угла φ внутри D заключены в
		пределах	0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π,
			следовательно:
					R
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd d f (r cos ,r sin )rdr
D	D*			0	0
		И наконец может быть еще такой случай. По-
	люс лежит за пределами области D (Рис. 3.10.4), ко-
	торая ограничена двумя линиями:
	r1	= r1(φ)	и		r2 = r2(φ), тогда
		2	r2	( )
	f (x, y)dxdy		d		f (r cos ,r sin )rdr
	D	1	r1( )
		Приведем несколько примеров.

	370
	Пример 1. Вычислить двойной интеграл	dxdy	, где область D
		x2 y2
	D

есть первая четверть круга x2 y2 R2 .

Решение. Построим область D в декартовой системе координат (Рис. 3.10.5). В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формуле (3.10.5):

		dxdy		rdrd	drd
		x2 y2		r2 cos2 r2 sin2
	D		D*		D*

Полярный угол φ в области D изменяется от 0 до2 , а полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:

dxdy

2

R

2 r 0R

R

drd

d dr 0

D

x2 y2

D*

0

0

y

2

Пример 2. Вычислить двойной интеграл arctg

dxdy,

D

x

где D есть часть кольца, определяемая неравенствами:

x2 y2 1

y

x

1

3

x2 y2 9

y2 3x

Решение. Построим область D (Рис. 3.10.6). Вычисление данного интеграла в декартовой системе координат довольно громоздко, поэтому лучше преобразовать двойной интеграл к полярным координатам:

	arctg	y	dxdy arctg	r sin	rdrd rdrd
		x		r cos
	D		D*		D*

						371
		В области D полярный радиус r изменяется от 1 до 3, а полярный угол
φ от				до		. Переходя к двукратному интегрированию по φ и r, получим:
		6			3
y		1		x
		3

Примечание. Уравнения окружностей x2 + y2 = 1 и x2 + y2 = 9 в полярной системе представляют собой координатные линии вида r = 1 и r = 3 соответственно. В этом легко убедиться, если в данные уравнения вместо перемен-

ных x и y подставить их выражения через полярные координаты:

x = r·cosφ, y = r·sinφ,

в самом деле

r2 cos2 r2 sin2 9;

r2 (cos2 sin2 ) 9; r = 3

Уравнения прямых y

1

x

и

y

3x , проходящих через начало ко-

3

ординат, в полярной системе также переходят в координатные линии

1

6

. В частности, y 3x;

y

3; .

и 2

3; tg

x

3

3

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

R2 x2

y2 dxdy,

D

где область интегрирования задана неравен-

ством D : x2 y2 Rx.

Решение.

Преобразуем

уравнение

x2 y2 Rx , выделив полный квадрат по переменной x:

	2		R 2			2		R 2			R 2			2		R 2
x		Rx			y					0 x			y
			2					2			2					2

			Следовательно, границей области D является		окружность радиуса
	R	, центр которой смещен вправо по оси Ох на величину				R	(Рис. 3.10.7).
	2				2
			В данном случае также удобно перейти к полярным координатам:
			R2 x2 y2 dxdy	R2 r2 cos2 r2 sin2 rdrd				R2 r2 rdrd
	D		D*				D*

372

Полярный угол φ будет изменяться от 2 до 2 . Чтобы определить

пределы для второй переменной r, найдем уравнение окружности в полярной системе:

x2 y2 Rx; r2 cos2 r2 sin2 Rr cos ; r Rcos

Полярный радиус r внутри области D изменяется от 0 до своих значений на линии r = Rcosφ (Рис. 3.10.7), т.е. пределы во внутреннем интеграле зависят от φ. Поэтому интегрируем сначала по r:

																															R cos
																		y2 dxdy 2
											R2 x2																		d										R2			r2 rdr
								D																							0
																											2
			R cos																																																		R cos
	2						R2							1													1						1				2 2					d R2					r2		32
		d
											r2 2 d R2 r2																2						2				3
				0																																																0
	2																																						2
															1			2					R2 cos2									3				R3
															3			R2																2							d
																		2
	В последнем выражении вынесем за знак интеграла R3 и учтем, что
1 cos2 sin2 , тогда :
																			R3																				R3
			2			2					2									2						3																	2				2			3
		R		x					y			dxdy								sin											1 d												d					sin					d
																			3																					3
	D
																						2																					2				2
чим:	Вычисляя последние интегралы по переменной φ, окончательно полу-
									2				2			2							R3					2				2											2
						R				x				y				dxdy					3					2							1 cos									d(cos )
				D
																																	2
					R			2		x		2		y	2		dxdy					R3													2					cos3					2			R3
																						3		cos									2								3								3
			D																																											2

Из приведенных примеров следует, что когда область интегрирования представляет собой круг, кольцо или часть круга и кольца с центром в начале координат, то при переходе к полярной системе, пределы у новых переменных φ и r становятся постоянными, а это значительно упрощает вычисления двойных интегралов.

373

3.10.3. Общий случай замены переменных в тройном интеграле

В общем случае замену переменных интегрирования в тройном интеграле осуществляют так же, как и в двойном.

Дан тройной интеграл:

f (x, y, z)dxdydz,

W

где dxdydz = dν – мера элемента пространственной области W в декартовой системе координат, f(x,y,z) – интегрируемая функция, заданная в точках этой области.

Пусть функции:

xx(u,

yy(u,

zz(u,

, )

, ) (3.10.6)

, )

непрерывны вместе со своими частными производными и однозначно разрешаются относительно u, υ, ω. Тогда, с помощью этих функций область W в декартовой системе координат однозначно отображается в область W* в криволинейной системе координат (Рис. 3.10.8).

При этом элементы dV и dV* в старой и новой системах будут связаны соотношением:

dV J dV * или dxdydz J dud d , (3.10.7)

Где

				x		x		x
				u
J				y		y		y
				u
				z		z		z
				u

В результате тройной интеграл преобразуется по формуле:

374

f (x, y, z)dxdydz f x(u, , ), y(u, , ), z(u, , ) J dud d , (3.10.8),

W W*

а его вычисление сводят к трехкратному интегрированию по переменным u, υ, ω. Примерами криволинейных систем в пространстве могут служить цилиндрическая и сферическая системы координат. Перейдем к их рассмотрению.

3.10.4. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Положение точки в пространстве в цилиндрической системе координат однозначно задают тремя числами φ, r, z.

Цилиндрические координаты точки получают путем добавления к ее полярным координатам аппликаты z (Рис.3.10.9). Цилиндрические и декартовые координаты точки связаны между собой соотношениями:

x r cos

y r sin (3.10.9) z z

Перейдем в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим координатам. Элемент объема dV преобразуется по формуле

dxdydz

J

drd dz

Найдем определитель Якоби:

x

x

x

r

z

cos

r sin

0

y

y

y

J

sin

r cos

0

r

r

z

0

0

1

z

z

z

r

z

следовательно:

f (x, y, z)dxdydz f (r cos ,r sin , z)rdrd dz (3.10.10)

W

W*

Далее, нужно перейти к трем линейным интегралам по переменным r,φ,z. Пределы изменения новых переменных расставляют по виду области W. Так же как и в двойном интеграле строить область W* не обязательно. Покажем это на примере.

375

Пример 4. Вычислить тройной интеграл x2 y2dxdydz, где область W

задана неравенствами:	W
x2 y2	;	0 z	x2 y2 .

Решение. Область, по которой нужно вычислить тройной интеграл, заключена внутри

цилиндра x2 y2 1, а сверху отрезана кону-

сом z x2 y2 (Рис. 3.10.10).

Цилиндрическая поверхность и конус пересекаются по линии x2 y2 1 на высоте z =

1. Перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам по формуле (3.10.10):

x2 y2dxdydz r2 cos2 r2 sin2 rdrd dz r5 cos2 sin2 drd dz

W W* W*

Найдем пределы изменения r,φ,z. Проекция W на плоскость xОy – есть круг, ограниченный окружностью x2 y2 1 уравнение которой в полярной сис-

теме является координатной линией r = 1. Следовательно, значения переменных r и φ заключены в пределах:

0 r 1; 0 2 .

Для определения границ изменения переменной z, проведем прямые, параллельные оси Oz. Эти прямые будут входить в область W на плоскости

z = 0 и выходить из нее на конической поверхности z

x2 y2 Найдем

уравнение этой поверхности в цилиндрической системе z r2 cos2 r2 sin2 ; z r.

Таким образом, переменная z в области W изменяется от 0 до своих значений на конусе z = r. Переходя к трехкратному интегрированию по переменным r, φ и z, получим:

				2			1		r			2	sin 2						2 1			r5dr z			r
	x2 y2dxdydz				cos2 sin2 d			r5dr			dz				2										0
W				0			0		0			0						1		0
		1	2 1 cos4			1	1			sin 4			2		r7
						d r6dr
		4		2			8				4				7					28
			0			0							0					0

В данном примере проекцией W на плоскость xOy был круг с центром в начале координат, поэтому при переходе к цилиндрическим координатам пределы у переменных r и φ были постоянными. Это упростило вычисление тройного интеграла.

376

3.10.5. Тройной интеграл в сферической системе координат

Положение точки в сферической системе координат определяют тремя числами:

r – расстоянием до начала координат или длиной радиус-вектора,

Θ – углом между радиус-вектором и осью

Oz,

φ – углом между осью Оx и проекцией ра- диус-вектора на плоскость xOy (Рис. 3.10а.1).

Таким образом, координатами точки в сферической системе отсчета являются:

M(r, Θ, φ)

Причем 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ Θ ≤ π.

Найдем связь между декартовыми и сферическими координатами точки

М:

x OPcos

y OPsin z r cos

Проекция радиус-вектора на плоскость xOy равна OP = rsinΘ, поэтому x r sin cos

y r sin sin (3.10а.1) z r cos

Перейдем в тройном интеграле от декартовой к сферической системе координат. Для этого вычислим Якобиан.

x

x

x

r

sin cos

r cos cos

r sin sin

J

y

y

y

sin sin

r cos sin

r sin cos

r

cos

r sin

0

z

z

z

r

Раскроем определитель по элементам третьей строчки:

J cos (r2 cos2 sin cos r2 sin2 sin cos ) r sin (r sin2 cos2r sin2 sin2 )

J r2 cos2 sin r2 sin2 sin r2 sin

Таким образом, при переходе к сферическим координатам, элемент объема следует преобразовать по формуле:

377

dxdydz r2 sin drd d (3.10а.2)

Подставляя в тройном интеграле вместо переменных x,y,z их выражения через r, Θ, φ из равенств (3.10а.1), а вместо dxdydz элемент объема в сферической системе координат (3.10а.2), получим:

f (x, y, z)dxdydz

W	(3.10а.3)
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sin drd d

W*

Переход к сферическим координатам значительно облегчает вычисление тройного интеграла, когда область интегрирования представляет собой шар с центром в начале координат или шаровой слой.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл x2dxdydz, где областью W

W

является сфера радиуса R (Рис. 3.10а.2).

Решение. Преобразуем тройной интеграл к сферическим координатам:

x2dxdydz r2 sin2 cos2 r2 sin drd d

W

W*

Значения новых переменных r,Θ,φ заключены в пределах: 0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ Θ < π.

Так как пределы у всех переменных постоянны, можно записать:

2

R

x2dxdydz cos2 d sin3 d r4dr

W

0

0

0

Вычисляя три линейных интеграла, получим:

				R	5	2
x2dxdydz								1 cos2 d (cos2 1)d(cos )
				5
W							0		2				0
	R5						sin 2				2	cos3
	10							2					3		cos
											0						0

378

x2dxdydz	R5				1			1			4R5
						1			1
	5				3			3			15
W

В заключении хотелось бы еще раз подчеркнуть, что замена переменных в кратных интегралах, а именно переход к полярным и цилиндрическим координатам, значительно упрощает вычисление двойных и тройных интегралов, когда плоская область D является частью круга или кольца, а объемная W – проектируется на одну из координатных плоскостей в часть круга или кольца с центром в начале координат.

Точно также переход к сферическим координатам упрощает вычисление тройных интегралов по пространственным областям W, которые представляют собой сферу или часть сферы с центром в начале координат. Если центр смещен, то во всех случаях пределы у внутренних интегралов становятся переменными.