Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

702

Сходимость функционального ряда в каждой точке x D называется

поточечной сходимостью.

Функциональный ряд (5.5.1) называется абсолютно сходящимся на

множестве D1 X , если в каждой точке множества сходится ряд un x .

n 1

Так как из абсолютной сходимости ряда в точке следует его сходимость, то

D1 D

Примеры. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

1. x12 x14 ... x12n ...

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q x12 . Геометрическая прогрессия сходится, если q 1, и расхо-

дится, если q 1. Поэтому данный ряд сходится для тех значений х, при ко-

торых

1

1

или

x2 1. Таким образом, наш ряд сходится для всех точек х,

x2

x

1.

при которых

Область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интер-

валов x 1

и 1 x .

x

2

x

2

x

2

x

2

2. x2

...

... ...

.

1 x2

1 x2 2

1 x2 n 1

1 x2 n 1

n 1

Решение. Члены ряда при x 0

образуют геометрическую прогрессию

со знаменателем

1

1, а при x 0 все обращаются в нуль. Сумма ряда

1

x2

2

0, если x 0,

a

x

S x

1

1 x2 , т.е. S x

.

1 q

1

x

2

, если x 0

1

1

1 x2

Следовательно, областью сходимости D данного ряда является вся чи-

словая ось R. Сумма S

x разрывна в точке x 0 .

5.5.1. Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть функциональный ряд сходится к функции f(x) в области D. Функциональный ряд (5.5.1) называется равномерно сходящимся в об-

ласти D к функции f(x), если для любого 0 существует номер n0 , не зависящий от x, что

703
	rn x				S x Sn x		n n0 ;	x D .
Отметим, что различие определений поточечной и равномерной сходи-

мостей функционального ряда состоит в том, что в первом случае номер n0
зависит от и	x D , т.е. n0 n0 , x , а во втором – только от , т.е.
n0 n0 .

Для функциональных рядов справедлива теорема (признак Вейерштрасса).

Признак Вейерштрасса: Если члены ряда (5.5.1) удовлетворяют нера-

венствам un x an n N , x D , и ряд an , an 0 сходится, то функ-

n 1

циональный ряд (5.5.1) сходится равномерно в области D.

Числовой ряд an , члены которого удовлетворяют		un x		an назы-
n 1

вается мажорантным рядом, или мажорантой для функционального ряда (5.5.1), а функциональный ряд (5.5.1) называется мажорируемым на множестве D.

Пример. Найти область равномерной сходимости ряда cos3nx .

n 1 n

			cos nx			1		1
	Решение. Так как						n N, x R ряд		сходится, то на
			3			3		3
			n			n	n 1 n

основании признака Вейерштрасса заключаем, что областью равномерной сходимости заданного ряда является вся числовая ось.

Замечание. Мажорируемость ряда (5.5.1) в области D является достаточным условием не только равномерной, но и абсолютной его сходимости в этой области.

5.5.2. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Рассмотрим эти свойства без доказательства.

Теорема 1. Если на множестве D функциональный ряд (5.5.1) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S x непрерывна на

D.

Из теоремы следует: если сумма S x функционального ряда с непре-

рывными членами разрывна в области D, то сходимость этого ряда заведомо неравномерная в этой области.

704

Следствие. В равномерно сходящемся ряде возможен почленный пе-

u

x

и

x

u

x

; x

D

реход к пределу, т.е. lim

n

lim

n

n

x x

x x

0

0

0 n 1

n 1 0

n 1

Действительно, в силу непрерывности суммыS x .

u

x lim

S x S x

u

x

x

lim

n

n

lim и

n

x x

x x

0

0

x x

0 n 1

0

n 1

n 1 0

Теорема 2. Если функциональный ряд (5.5.1) с непрерывными членами сходится к функции S x равномерно на отрезке a;b , то его можно интег-

рировать

на

любом

отрезке

x0 , x a,b ,

и справедливо

равенст-

во

x

S

t dt

x

u

t

x

u

t

dt , причем ряд

x

u

t

dt

сходится

k

dt

k

k

x

x

k 1

k 1 x

k 1 x

0

0

0

0

равномерно на отрезке a,b .

Пример. Законно ли применение к ряду

cos x

1 cos2x

1

cos3x

1

cos4x ...

22

23

2

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутке

,

4

3

Решение. Члены заданного ряда при любом значении x по абсолютной величине меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 12 14 18 ... Поэтому данный ряд согласно признаку Вейерштрасса

равномерно сходится в промежутке ; , и следовательно, к нему можно применить теорему об интегрировании рядов для любого конечного проме-

жутка a,b , в частности, для промежутка			;
		4		3	.

Теорема 3. Если ряд (5.5.1) с непрерывно дифференцируемыми на от-

резке a,b членами сходится к функции S x , а ряд un	x сходится рав-
n 1

номерно на этом отрезке, то исходный ряд (5.5.1) сходится равномерно наa,b , его сумма S x – непрерывно дифференцируемая функция и справед-

ливо равенство S x uk x .

k 1

Пример. Можно ли к ряду применить теорему о почленном дифференцировании рядов

		705
sin2 x	sin 224 x		sin 34 x	... sin n2	4 x	...
			2
1	2	3		n

Решение. Этот ряд сходится к непрерывной функции, т.к. он мажорируем. Действительно, при любом x его члены по абсолютной величине мень-

ше		членов числового						сходящегося ряда с положительными членами
1		1		1	...	1	...
1		22		32		n2

Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда

cos x 22 cos24 x ... n2 cos n4 x ...

Этот ряд расходится. Так, например, при x 0 он превращается в ряд 1 22 32 ... n2 .... Значит, ряд почленно дифференцировать нельзя.

5.5.3. Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Степенным называется ряд, членами которого являются степенные функ-

ции: иn(x) = (x–c)n

a	a	x c a	2	x c 2	... a	n	x c n ...	(5.5.2.)
0	1

где a0 , a1 , …, an – действительные числа, называемые коэффициентами степенного ряда, c const . При c 0 получаем ряд вида

a	a x a	2	x2	... a	n	xn ...,	(5.5.3)
0	1

т.е. ряд по степеням x. Будем изучать ряды вида (5.5.3), т.к. ряд (5.5.2) можно свести к виду (5.5.3), заменив x c t .

Теорема Абеля 4. Если степенной ряд (5.5.3) сходится при некотором значении x0 0, то он абсолютно сходится в интервале x0 x x0 , и схо-

дится равномерно на отрезке

q x q , где 0 q x0 .

Доказательство. Так как по условию теоремы ряд (5.5.3) сходится, в

точке x0

то lim a x n 0 ,

a

x n ограничен,

(существует такое число M 0 ,

n n

0

n 0

при котором

a x n

M ; n N ). Возьмем любое x, для которого

x

x

n 0

0

x

n

x

n

an xn

an x0n

M

.

x

x

n 0

n 0

n 0

0

0

706

x

n

Члены ряда

M

образуют геометрическую прогрессию со зна-

x

n 0

0

x

1,

менателем

поэтому этот ряд сходится. Значит, ряд (5.5.3) сходится

x

0

абсолютно.

x

q

x

x

q

1. Отсюда следует, что ряд (5.5.3) ма-

Если

, то

0

x0

x0

q

n

жорируется сходящимся числовым рядом

M

и, значит, по признаку

x

n 0

0

Вейерштрасса он сходится равномерно на отрезке

q,q .

Следствие. Если в точке x1 0 степенной ряд (5.5.3) расходится, то он

расходится во всех точках x, в которых

x

x1

.

Действительно, если бы ряд (5.5.3) сходился в точке x, то по теореме Абеля он сходился бы абсолютно в точке x1 , что противоречит условию.

Теорема 5. Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд (5.5.3) сходится хотя бы в одной точке x 0, то всегда существует число R > 0, такое, что степенной ряд сходится (абсолютно) для всех х R, R и расходится для всех х , R R, .

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (5.5.3) называется такое число R, что для всех x, | x | < R, степенной ряд сходится, а для всех x, | x | > R, расходится, а интервал (–R, R) – интервалом сходимости степенно-

го ряда (5.5.3).

Область сходимости степенного ряда представляет собой промежуток с концами в точках ± R, но не обязательно открытый (ряд может сходится и на одном или на обоих концах интервала сходимости). Этот промежуток называется промежутком сходимости.

?	сходится	?
расходится
–R		R
	Рис.5.5.1

Если ряд (5.5.3) сходится только в точке сходится для всех x R , то R .

расходится

x 0 , то R 0. Если же он

707

5.5.4. Способ нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости степенного ряда

Для ряда (5.5.3) рассмотрим знакоположительный ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

a

a x

x2

...

a xn

... x ≠ 0

a

2

(5.5.4)

0

1

n

и применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем предел от-

ношения последующего члена

a

xn 1

к предыдущему

a xn

при n :

n 1

n

a

xn 1

an 1

lim

n 1

x

lim

.

n

a xn

n

an

n

an 1

0 . Обозначим его через

1

Предположим, что существует

lim

,

R

n

an

an 1

1

un 1

x

1

x

R , то ряд сходится.

то есть

lim

. Тогда lim

, если

n

an

R

n

un

R

Но в таком случае по общему достаточному признаку сходимости знакопеременных рядов ряд (5.5.3) также сходится при x R , причем абсолютно.

Если же lim un 1 1, то ряд (5.5.4) расходится. Так как в этом случае для

n un

всех достаточно больших n члены ряда (5.5.4) возрастают, общий член an xn не стремится к нулю при n . Следовательно, не стремится к нулю и об-

щий член a xn

– ряд расходится. Если lim

un 1

x

1, т.е.

x

R , то при-

n

n

un

R

знак Даламбера не применим.

Как отмечалось ранее,

степенной ряд общего вида

(5.5.2) заменой

x c t сводится к ряду a0 a1t a2t2 ... .Если R – радиус сходимости ряда

antn , то он сходится абсолютно при t R и расходится при t R . Тогда

n 0

ряд (5.5.2) сходится абсолютно при x c R , т.е. c R x c R , и расходится при x c R .

Интервал c R, c R называется интервалом сходимости степенного

ряда (5.5.2). В точках x c R , x c R (т.е. на концах интервала сходимости) в зависимости от конкретных случаев может иметь место сходимость или расходимость.

708

Для практического нахождения радиуса сходимости степенного ряда (5.5.4) можно применять формулы:

R lim

an

и R l im

1

,

n

an 1

n n

a

n

которые следуют из признаков Даламбера и радикального признака

Коши.

Пример. Найти радиус сходимости ряда n!xn .

Решение.

n 0

Радиус

сходимости

ряда

R lim

an

lim

n!

lim

1

0 .

a

n

n n 1 !

n n 1

n 1

Ряд сходится в единственной точке x 0 .

Примеры. Найти область сходимости ряда:

1. x

x3

x5

x2n 1

...

...

3!

5!

2n 1 !

Решение. Составляем ряд из абсолютных величин. Применяем признак

x2n 3 2n 1 !

x

2 lim

1

0 .

Даламбера. Находим

lim

n

2n 3 ! x2n 1

n 2n 2 2n 3

Так как полученный предел отношения меньше 1, данный ряд сходится при всех x, его радиус сходимости R .

2.

x 2

x 2 2

...

x 2 n

...

1 2

2 22

n 2n

Решение. Применяя признак Даламбера, получаем

lim

x 2 n 1 n 2n

x 2

lim

n

x 2

.

n 1 2n 1 x 2 n

n

1

n

n 2

2

Если

x 2

1, то ряд сходится, т.е.

x 2

2 ,

2 x 2 2 , 0 x 4.

2

Ряд сходится в (0,4) с центром в точке c 2 .

Исследуем сходимость данного ряда в точках x 0

и x 4, т.е. на кон-

цах интервала сходимости. При x 4

получаем расходящийся гармониче-

ский ряд 1

`1

1 ... 1 ...

2

3

n

1 n

При x 0

знакочередующийся ряд 1 1

1 ...

..., который

2

3

n

по признаку Лейбница сходится.

709

Итак, данный ряд сходится для всех x, удовлетворяющих условию

0 x 4.

5.5.5. Свойства степенного ряда

Ограничимся изучением свойств степенного ряда (5.5.3).

Теорема 6. Если радиус сходимости степенного ряда (5.5.3) отличен от нуля, то его сумма S x непрерывна на интервале сходимости R; R .

Доказательство. Пусть x – произвольная точка интервала сходимости. Всегда существует такое число q 0, при котором x q R . По теореме

Абеля степенной ряд сходится равномерно на отрезке q,q R; R . То-

гда, согласно теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда, S x непрерывна на q,q , а следовательно, и в

точке x. В силу произвольности выбора точки x R; R получаем непрерывность функции S x на R; R .

Теорема 7. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на любом промежутке x0 , x R; R степенного ряда (5.5.3) не изме-

няют его радиуса сходимости.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая, когда существу-

ет lim

an

, обозначим через R радиус сходимости почленно продифферен-

n

an 1

1

цированного ряда

an xn '

n an xn 1 .

n 0

n 1

R

lim

n an

lim

an

R .

n

1 a

1

n

n

a

n 1

n 1

Аналогично, пусть R2 – радиус сходимости ряда, полученного почлен-

ным интегрированием ряда

x

a

a

a

a

antndt

n

xn 1

n

x0n 1

n

xn 1

n

x0n 1 .

1

n

1

n

n

1

n 0

n 0

n

n 0

1

n 0

x0

710

а

Числовой ряд

n

x0n 1

сходится абсолютно по признаку сравне-

n 0 n 1

ния в силу неравенства

an

x n 1

a x n 1

, n 0,1,2,... и сходимости ряда

n

1 0

n

0

an n 2

an

x0

an x0n

, т.к. x0 R; R . Значит,

R2 lim

lim

R .

n 1 a

a

n 0

n

n

n 1

n 1

Теорема 8. Степенной ряд (5.5.3) можно почленно интегрировать на любом отрезке x0 , x , принадлежащем интервалу сходимости.

Доказательство теоремы следует из равномерной сходимости степенного ряда (5.5.3) на отрезке x0 , x R; R и теоремы о почленном интегри-

ровании функционального ряда.

Следствие. Степенной ряд (5.5.3) можно почленно интегрировать любое число раз на x0 , x R; R .

Теорема 9. Если радиус сходимости степенного ряда (5.5.3) отличен от нуля, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале

сходимости, и для его суммы S x справедливо равенство

S x a1 2a2 x 3a3 x2 ... nan xn 1 ...

Доказательство. Пусть x – произвольная точка интервала сходимостиR; R , т.е. ряд (5.5.3) сходится. Выберем такое число q , при котором

x q R . На отрезке q,q R; R ряд nan xn 1 (смотри доказательство

n 1

теоремы 6) и на основании теоремы 3 сходится равномерно на указанном отрезке, а значит, и в точке x ряд (5.5.3) можно почленно дифференцировать, и

справедливо равенство S x nan xn 1 .
n 1
Следствие. Степенной ряд на интервале сходимости R; R ,					R 0
можно почленно дифференцировать любое число раз.
Пример. Найти сумму ряда		2n 1
	x
1 n				.
	2n 1
n 0

Решение. Рассмотрим ряд 1 n x2n 1 x2 x4 ... 1 n x2n ...,

n 0

полученный почленным дифференцированием данного ряда. Так как члены

ряда 1 n x2n образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

n 0

711

1

x2 , то его сумма S x

, если

x

1. Интегрируя ряд 1 n x2n по-

1

x

2

n 0

членно на отрезке 0, x 1;1 , получаем

x

dt

x

x

x

2n 1

arctgx

1 n t2ndt 1 n t2ndt

1 n

arctgx ,

2

2n 1

0 1

t

0 n 0

n 0

0

n 0

x

1.

x

2n 1

Следовательно, 1 n

arctgx ,

x

1

2n 1

n 0

Таким образом, функция y arctgx является суммой исходного ряда.