Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

752

РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 6.1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОНЯТИЕ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

6.1.1 Основные понятия

Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы

– все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

В практической деятельности инженеру приходится решать разнообразные реальные задачи, связанные с построением моделей изучаемого процесса, с исследованием динамики процесса по известной модели. При этом он должен решать как стационарные (не зависящие от времени), так и нестационарные задачи. Например, процесс остывания отливки в литейном производстве можно рассматривать как процесс изменения теплового состояния тела под действием внутренней теплопроводности при отсутствии источников тепла (уравнение теплопроводности, полученное с помощью аппарата теории поля). Термин «поток» в векторном анализе связан с гидромеханической задачей, в результате решения которой оценивается количество жидкости, протекающей через поверхность в определенную сторону в некоторый промежуток времени. Широкий круг задач металлургии и обогащения полезных ископаемых (процесс флотации) допускает сходные с вышеизложенными формулировки, а, следовательно, и методы решения.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция.

Определение 1. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.

6.1.2 Скалярное поле

Определение 2. Если каждой точке M пространства ставится в соответствие некоторая скалярная величина u , то таким образом задается ска-

753

лярное поле u(M ) . Если каждой точке пространства M ставится в соответствие вектор F , то говорят, что задано векторное поле F(M ) .

Согласно определению, скалярное поле – это функция точки u u(P) .

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости, магнитное поле и т. д.

Определение 3. Если функция u(M ) ( F(M ) ) не зависит от времени, то

скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.

Далее мы будем рассматривать только стационарные поля.

Если V – область трехмерного пространства, то скалярное поле u можно рассматривать как функцию трех переменных x , y , z :

u u(x, y, z) .

Если скалярная функция u зависит только от двух переменных, например x и y , то соответствующее скалярное поле называют плоским. Напри-

мер, температура вокруг бесконечного, равномерно нагретого цилиндра будет изменяться только в направлениях, перпендикулярных к цилиндру. Вдоль линий, параллельных цилиндру, температура будет одинаковой. В таких случаях говорят, что поле задано на плоскости или поле является плоскопараллельным, а функция u(P) является функцией двух переменных

u u(x, y).

Аналогично: вектор F = F(M ) , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x , y и z : F = F(x, y, z) .

Вектор F = F(M ) можно представить в виде

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,

где P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) – проекции вектора F(M ) на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора F = F(M ) равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j .

6.1.3. Характеристики скалярного поля

6.1.3.1. Поверхности и линии уровня

754

Скалярное поле имеет геометрическую, числовую и векторную характеристики.

Геометрической характеристикой скалярного поля F = F(x, y, z) явля-

ется поверхность уровня.

Определение 4. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в каждой из которых скалярная функция поля

принимает одно и то же постоянное значение, т.е. u(x, y, z) c .

(Поверхность уровня еще называют эквипотенциальной поверхностью.)

Взависимости от физического смысла поля линии уровня могут называться изотермическими, изобарическими и т. п. поверхностями. Например, для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

Вслучае плоского поля u u(x, y) равенство u(x, y) c представляет

собой уравнение линии уровня поля. Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям функции u(x, y) , называют сетью линий

уровня. Если взять довольно близкие значения с1 , с2 , с3 и т. д. и построить

для них линии уровня, то сеть этих линий очень наглядно характеризует поведение скалярного поля: где сети сгущаются, там поле изменяется очень быстро, где сеть разряжается, там поле изменяется медленно.

Пример 1. Определить вид поверхности уровня скалярного поля u x y z

и построить ее.

Решение. Поверхности уровня по определению задаются уравнением x y z c , где c – некоторая константа. Например, при c 1 получаем

плоскость x y z 1, при c 2 – плоскость x y z 2 (или 2x 2y 2z 1

– уравнение плоскости в отрезках) и т.д. (Рис. 6.1.1.)

z

y

x

755

Рис. 6.1.1. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля u x y z

Пример 2. Определить вид поверхности уровня скалярного поля и построить ее u x2 y2 z2 .

Решение. Поверхности уровня в неявном виде задаются уравнением x2 y2 z2 с,

где с – произвольная постоянная. Для положительных значений поля, т.е. при с 0, получается семейство однополостных гиперболоидов вращения:

x2

y2

z2

1.

с

с

с

Если c 0 , поверхностями уровня будут двуполостные гиперболоиды

вращения

x2

y2

z2

1.

с

с

с

И при c 0 поверхность уровня есть круговой конус с вершиной в на-

чале координат

x2 z2

y2 .

z

z

z

C>0

C<0

C=0

y

y

y

x

x

x

Рис. 6.1.2. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля u x2 y2 z2

В зависимости от знака произвольной постоянной с поверхностями уровня могут быть одно- и двуполостные гиперболоиды. Если c 0, то по-

верхность уровня есть конус x2 z2 y2 . (Рис. 6.1.2.)

Вся область V может быть заполнена поверхностями уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня.

6.1.3.2. Производная по направлению

Числовой характеристикой скалярного поля является производная по направлению.

756

Известно, что скорость изменения значений функции u(x, y, z) в точке P0 (x0 , y0 , z0 ) в направлении координатных осей равна частным производным по соответствующим переменным. Следовательно, чтобы найти скорость из-

менения поля в точке в направлении r , нужно взять производную от функции u в этой точке по данному направлению.

Определение 5. Производная скалярного поля u(M ) по направлению r , заданному вектором a axi ay j az k , вычисляется по формуле

u

u(x0 , y0 , z0 ) cos u(x0 , y0 , z0 ) cos

u(x0 , y0 , z0 ) cos , (6.1.1)

r

x

y

z

где cos

a

x

, cos

ay

, cos

a

z

– направляющие косинусы вектора

a

a

a

,

a

ax2

ay2 az2 – модуль вектора

.

a

a

В случае плоского поля u u(x, y)

имеем:

cos cos

sin , cos 0,

2

и формула (6.1.1) принимает вид

u

u(x0 , y0 ) cos u(x0 , y0 ) sin .

r

x

y

Замечание. Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных ux , uy , uz . Их можно рассматривать как

производные от функции u по направлению координатных осей Ox , Oy и Oz . Так, если направление r совпадает с положительным направлением оси Ox , то, положив в формуле (6.1.1) 0 , 2 , 2 , получим ur ux .

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точке M в заданном направлении. Если ur 0 , то функция u возрас-

тает в направлении r , если ur 0 то функция u в направлении r убывает.

Кроме того, величина ur представляет собой мгновенную скорость измене-

ния функции u в направлении r : чем больше ur , тем быстрее изменяется функция u .

757

Пример 3. Найти скорость изменения скалярного поля, заданного

функцией

u xyz ,

в точке P0 (5,1, 8) в направлении вектора P0 P , если P(9,4,4) . Решение. Найдем координаты вектора P0 P :

P0 P (4,3,12) , направляющие косинусы данного вектора будут равны:

				cos							4						4								, cos											3			, cos			12 .
						16 9 144										13																		13
																																										13
Вычислим значение частных производных в точке P0 :
						u							(xyz)												yz					P			8 ,
						x					P0		x									P0				0
						u						(xyz)													xz			P					40 ,
						y		P					y						P							0
											0											0
						u							(xyz)												xy										5 .
																																P
						z						P0	z										P0										0
Скорость изменения значений функции u xyz																																							в точке P0 (5,1, 8)						най-
дем по формуле
	u			u		u							u																					4					3				12		99
				x cos		y cos							z cos												P	8													40			5			13 .
																																		13						13			13
		P0 P
																						0

Таким образом, значения скалярной величины u xyz в точкеP0 (5,1, 8)

в направлении				99
	P0 P убывают со скоростью			13	.

Итак, чтобы найти скорость изменения скалярного поля в некоторой точке в данном направлении, нужно вычислить частные производные в этой точке и умножить их на соответствующие направляющие косинусы вектора, в направлении которого находится скорость.

6.1.3.3. Градиент скалярного поля и его свойства

Векторной характеристикой скалярного поля является вектор градиент. Рассмотрим скорость изменения поля в точке P0 в произвольном на-

правлении	r	0 . Она задается формулой
		u		u cos	u cos	u cos ,
		r		x	y	z

где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора r или проекции на координатные оси его единичного вектора:

758
		0 cos ,cos ,cos ,				0		1.
	r				r
		z		N
								r
			φ
		P
			r0

0

y

x

Рис. 6.1.3. Иллюстрация к понятию вектора градиента

Из векторной алгебры известно, что если даны два вектора своими разложениями по ортам i , j , k , т.е.

a ax ,ay ,az , b bx ,by ,bz ,

то их скалярное произведение

a b axbx ayby azbz .

Сравнивая эту формулу со скоростью изменения поля в точке P0 в на-

правлении

, легко заметить, что u является скалярным произведением

r

r

двух векторов:

u ,

u

, u

r0 cos ,cos ,cos ,

N

.

x

y

z

Пусть угол между этими векторами равен ,

тогда

u

можно записать

так:

r

u

,

cos

cos .

N

r0

N

r0

N

r

P0

в произвольном

Таким образом, скорость изменения поля в точке

направлении r равна проекции некоторого вектора N на это направление. Вектор N называют градиентом скалярного поля в точке P0 .

Определение 6. Градиентом скалярного поля в точке называют вектор, длина которого равна максимальной скорости изменения поля в этой точке. Обозначается

	gradu	u			u			u
		x	i			j			k	(6.1.2)
					y			z

Поставим вопрос: по какому направлению r производная ur самая большая? Согласно формуле

759

ur Прr (gradu) grad r u ,

этот вопрос сводится к следующему: на какое направление проекция вектора grad u самая большая? Очевидно, что любой вектор при проектиро-

вании на различные направления дает самую большую проекцию, равную его модулю, при проектировании на его собственное направление. Таким образом, вектор gradu в точке P0 указывает в сторону самого быстрого возраста-

ния поля u , причем эта наибольшая скорость в расчете на единицу длины равна |gradu |. На рис. 6.1.4 показаны векторы градиента температуры в отдельных точках теплопроводящей среды, подогреваемой изнутри, из затемненной зоны, и охлаждаемой снаружи. Градиент температуры направлен к «печке».

Полученный физический смысл градиента показывает также, что градиент инвариантно связан с рассматриваемым полем, т.е. остается неизменным (инвариантным) при замене декартовых осей. (Этого не было видно из определения градиента (6.1.2), данного в «неинвариантной» форме, «привязанной» к какой-то одной системе координат.) Более того, если задано поле u , то в каждой точке пространства можно найти направление и скорость наибыстрейшего возрастания поля u ; так, можно найти вектор grad u , не

прибегая к координатам. Итак, градиент скалярного поля образует вполне определенное векторное поле.

Рис. 6.1.4. Пример вектора градиента температуры в теплопроводящей среде

Свойства градиента

1. Проекция градиента поля u(P) в точке P на какое-либо направление

rравна скорости изменения u(P) в данном направлении.

2.Если в точке P градиент отличен от нуля, то он перпендикулярен линии или поверхности уровня, проходящей через эту точку, и направлен в сторону возрастания значений поля u(P) , так как направление градиента –

это направление наибыстрейшего возрастания значений функции u(P) .

3. Если u(P) и v(P) – скалярные поля, определенные в одной и той же

области V , то в любой точке этой области справедливы соотношения, вытекающие из правил нахождения производных:

а) grad u v gradu +grad v , б) grad cu c gradu , c=const,

					760
в) grad u v vgradu +u grad v ,
u		vgradu ugradv			,
д) grad				v2
v			F
е) grad F(u)				gradu .
			u
Пример 4. Найти градиент скалярного поля u 5x2 y xy2						3z в точке

P( 1,1,1) .

Решение. Проекции градиента на координатные оси равны значениям частных производных поля в точке P( 1,1,1) :

u

P

5x2 y xy2 3z

P

10xy y2

9 ;

x

x

P( 1,1,1)

u

P

5x2 y xy2 3z

P

5x2 2xy

7 ;

y

y

P( 1,1,1)

u

5x2 y

xy2 3z

3.

Следовательно,

z

P

z

P

grad 5x2 y xy 2

3z

9

7

3

.

P (

1,1,1)

i

j

k

Пример 5. Найти направление градиента и наибольшую скорость возрастания функции u xy yz xz в точке P( 1,1, 1) .

Решение. Найдем сначала проекции градиента на координатные оси в точке P( 1,1, 1) . Имеем:

1

z

x

1

y

1

gradu

i

j

k ,

2

2

2

x

y

z

z

x

y

gradu

2

0

2

.

P( 1,1, 1)

i

j

k

Наибольшая скорость возрастания скалярного поля равна модулю градиента в точке P :

|gradu |				4 0 4	2 2 .
Направление вектора градиента определяется его направляющими ко-
синусами:		2				2
cos			, cos 0 ,		cos			.
	2	2
					2		2

Вывод: мы ввели понятие поля и скалярного поля, рассмотрели примеры скалярных полей и его характеристики – поверхности уровня (геометрическая характеристика), производная по направлению (числовая характеристика) и вектор градиент.

761

ЛЕКЦИЯ 6.2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

6.2.1. Векторное поле

Рассмотрим частные случаи векторных полей.

Однородное векторное поле. Если в каждой точке области, где задано поле, вектор a имеет одинаковое направление и одну и ту же длину, т.е. ax , ay , az , – постоянные величины, то векторное поле называют однородным.

Примером однородного поля является поле сил тяжести в случаях небольшой высоты над землей (рис. 6.2.1).

y	m

F mg

x

Рис. 6.2.1. Схематическое изображение поля сил тяжести

Плоско-параллельное поле. В тех случаях, когда в выбранной системе координат проекции вектора не зависят от одной из переменных, например, ax ax (x, y), ay ay (x, y), az az (x, y), то поле называют плоско-

параллельным. Такое поле изображено на рис. 6.2.2.

z

y

x

Рис.6.2.2. Плоско-параллельное поле

Вдоль прямых, параллельных оси Oz , величина и направление вектора a не изменяются. При изучении такого поля можно рассматривать его разрез