Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

1. Формула включения на экспоненциальное напряжение :

, (1.24)

где – входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это – операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома);–к-й корень уравнения .

2. Формула включения на постоянное напряжение (вытекает из (1.24) при):

.

3. Формула включения на синусоидальное напряжение (формально вытекает из (1.24) прии):

.

В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 1.63, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением;;.

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (1.23). В ней . Тогда корень уравнения. Производнаяи.

В результате

.

Сведение расчета переходного процесса к расчету с нулевыми начальными условиями

Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 1.64, на котором исходная схема на рис. 1.64,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 1.64,б, где . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы, при этом в схеме на рис. 1.64,всоставляющаяобщего токаравна нулю. Таким образом, полный токравен составляющей токав цепи на рис. 1.64,г, где исходный активный двухполюсникАД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 1.64,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации и который действует навстречу ему.

Метод переменных состояния

Уравнения электромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

 независимость уравнений;

 возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные ис самими переменнымиии источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

; (1.25)

. (1.26)

Здесь и– столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени;– матрица-столбец источников внешних воздействий;– столбцовая матрица выходных (искомых) величин;– квадратная размерностьюnn(гдеn– число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби;– прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равноn, а столбцов – числу источниковm);– прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величинк, а столбцов –n);– прямоугольная размерностьюкmматрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (1.25) задаются вектором начальных значений (0).