3.1. Пример 4

Вариант 2

Механическая система под действием сил тяжести, а также вращающегося момент приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжение, сопротивление трения качению тела, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить угловую скорость тела 1, когда оно повернется на угол. При движении на шкив действует момент сил сопротивления(рисунок 9)

Исходные данные:

В задание приняты следующие обозначения:

;

радиус инерции тел относительно горизонтальных осей, проходящий через их центры

углы наклона;

На рисунке 10 показаны скорости (линейные и угловые) и все внешние силы, приложенные к механической системе. (Расчётная всхема)

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы. (1)

Для рассматриваемых неизменяемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных не растяжимыми нитями

Кинетическая энергия определяется по формуле (2), т.е

Кинетическая энергия тела 1, совершающего вращательное движение равна:

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение равна:

Кинетическая энергия груза 3, совершающего поступательное движение равна:

Где ;

Выразим через .

Тогда ;; (6)

; (7)

Подставив значения скоростей в выражения кинетических энергий, а также упростив, получим кинетическую энергию системы в конечный момент времени

(8)

Работы внешних сил, приложенных к телу 1, на заданном угле поворота

,

Работы внешних сил, приложенных к телу 2

;

Работы внешних сил, приложенных к телу 3

Приняв за независимые перемещения, выразим через него остальные перемещения. Так как в равенствах (6),(7) выражающих связи между скоростями, все коэффициенты являются постоянными величинами, то перемещения будут находиться в такой же зависимости, как и соответствующие скорости:

Подставим эти выражения в (1)

(9)

=-129,9+330-20-36,8=143,3Н

Приравнивая (9) и (8), получаем выражения для угловой скорости (1):

(*)

4. Исследование поступательного, вращательного и плоского движений твердого тела с помощью дифференциальных уравнений.

Сохраняя все исходные данные и схему из этапа 3, определить ускорения всех тел (линейные или угловые в зависимости от вида движения), силы натяжения нитей, величину силы сцепления (для катящегося тела).

;

;

Тело 3 совершает поступательное движение, тело 2 совершает плоское движение, а тело 1 совершает вращательное движение.

Мысленно отбросим связи, налагаемые на каждое из тел системы (внешние и внутренние), запишем дифференциальные уравнения тел.

Рассмотри тело 3.(его силовая схема представлена на рисунке ниже)

Спроектируем на оси x и y декартовой системе координат:

Тогда

(10)

На тело 1 действует сила ,составляющие реакции подшипников,, натяжения нитейии момент сил сопротивления, а также вращательный момент.

Рассмотри тело 1.(его силовая схема представлена на рисунке ниже).

Дифференциальное уравнение вращения тела 1 вокруг неподвижной оси:

Подставляем значения момента инерции и моментов сил, имеем

+(11)

На тело 2 действуют сила , нормальная реакция поверхности,сила сцепления, натяжение нити. (его силовая схема представлена на рисунке ниже).

Ось координат x выбрана вдоль прямолинейного движения центра масс и в направлении ее движения.

Составим дифференциальные уравнения

Для тела 2 дифференциальные уравнения после проектировки на оси x,y. Имеют вид:

Итак, движения тел системы описывается четырьмя дифференциальными уравнениями (12),(13),(11),(10). Эти уравнения содержат семь неизвестных величин: ускорения а также натяжения нитии, и сила сцепления. Число уравнений станет равным числу неизвестных величин, если составить уравнения связей, выражающих нерасторжимость нитей, соединяющих тела системы и отсутствие проскальзывания при качении 2.

Так как нить, соединяющая тела 1 и 3 нерастяжима, то .

Дифференцируя это уравнение получим:

(14)

Из условий нерастяжимой нити, соединяющей тела 1 и 2

Продифференцируем:

Также продифференцируем уравнение скорости центра масс тела 2 . Получим:

(15)

Полученные ранее уравнения (16),(15),(14),(13),(12),(11),(10) в совокупности образуют систему из семи линейных уравнений:

Получим систему алгебраических уравнений относительно искомых величин. Воспользуемся выражением для скорости, полученным в предыдущем этапе (*). Взяв производную по времени, получим выражения получим угловое ускорение 1-ого тела.

Тогда:

Теперь найдем силы: