3. Выполнение задания №3 «Получение периодической последовательности прямоугольных импульсов суммированием гармоник. Построение амплитудного спектра»

Для начала нужно дать определения понятиям спектр сигнала и ширина спектра.

Спектр- это совокупность гармоник со строгим углом, фазой и частотой равной одной единице в сумме, которая и даёт сам сигнал.

Ширина — спектра это область частот, в пределах которой заключена основная часть энергии сигнала.

Выражение для гармоники разложения периодической последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье:

,

где T-период последовательности импульсов; N- отношение периода к длительности импульса; n- номер гармоники.

Построим на оси времени графики первых трёх гармоник и их суммы (Рисунок 3.1):

Рис. 3.1 – график трёх гармоник и их суммы

Берём гармоники только с нечётным номером, так как у чётных амплитуда равна нулю.

Теперь построим блок-схему для программы суммирования числа гармоник (Рисунок 3.2):

Рисунок 3.2 – блок-схема для программы суммирования числа гармоник

Далее напишем программу (Рисунок 3.3):

Рисунок 3.3- программа для суммирования числа гармоник

где k- количество гармоник.

Построим графики последовательностей, полученных при суммировании 5,10,100 гармоник.

При к=5 получим график (Рисунок 3.4):

Рисунок 3.4 – график суммы 5 гармоник

При k=10 получим график (Рисунок 3.5):

Рисунок 3.5 – график суммы 10 гармоник

При k=100 получим график (рисунок 3.6):

Рисунок 3.6 – график суммы при суммировании 100 гармоник

По графикам, изображённым выше можно понять, что последовательность из прямоугольных импульсов можно получить при помощи суммирования синусоид со всё более высокими частотами и всё более малыми амплитудами. И степень” прямоугольности” будет зависеть от количества суммируемых синусоид.

Построим амплитудный спектр последовательности в виде вертикальных, установленных в точках равных частоте гармоники (n/T), длина которых равна амплитуде соответствующей гармоники(Рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 – амплитудный спектр

Построим графики спектров при постоянной длительности импульсов (Ƭ=0.1 ) и разной скважности N=2,4,10.

При N=2 график примет вид (Рисунок 3.8):

Рисунок 3.8 – график амплитудного спектра при N=2

При N=4 график примет вид (Рисунок 3.9):

Рисунок 3.9 - график амплитудного спектра при N=4

При N=10 график примет вид (Рисунок 3.10):

Рисунок 3.10 - график амплитудного спектра при N=10

Из графиков, представленных выше, можно сделать вывод: 1) При увеличении скважности уменьшаются амплитуды гармоник, спектральные линии становятся гуще. 2) Так как энергия сигнала оставаясь неизменной, перераспределяется между возросшим числом гармоник, то доля каждой гармоники в общем сигнале падает. 3) Количество гармоник в лепестке равно скважности.

Теперь построим графики спектров при одинаковой скважности (N=10) и разной длительности импульсов Ƭ = 0.1, 0.2, 1 секунд.

При Ƭ= 0.1 секунды получим график (Рисунок 3.11):

Рисунок 3.11 - график амплитудного спектра при Ƭ= 0.1 сек.

При Ƭ= 0.2 секунды получим график (Рисунок 3.12):

Рисунок 3.12 - график амплитудного спектра при Ƭ= 0.2 сек.

При Ƭ=1 секунде получим график (Рисунок 3.13):

Рисунок 3.13 - график амплитудного спектра при Ƭ= 1 сек.

По этим трём графикам (рисунки 3.11, 3.12, 3.13) можно заметить, что ширина лепестка обратна пропорциональна длительности импульса.

Вывод: при переходе от периодического сигнала к непериодическому мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становится исчезающее малой, т.к. на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала.