ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью св. Вес колеса // равен Р. Радиусы колес равны г.

Ответ: Главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и равен — — ; главный момент сил инерции равен нулю.

о

К задаче 41.4.	К задаче 41 5.
41.5. Конец А однородного тонкого	стержня АВ длиной 21 и

весом О перемещается по горизонтальной направляющей с помощью упора Е с постоянной скоростью V, причем стержень все время опирается на угол D.

Определить главный вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести С стержня

перпендикулярно		к	плоскости	движения,	в	зависимости	от угла ср.
Ответ: Vx'	=	3	— rrs /sin4	срcos ср; Vy	=	— т л ' О — 3	cos3cp) sinJcp;
md	=		у — Р тпsin3 <P COS Ф.

41.6. По данным условиям -предыдущей задачи определить динамическое давление ND стержня на угол D.

Ответ: No = -5- тп- О sin4 юcos <p.

	о П	g
41.7 (878).	Паровоз движется по прямолинейному участку пути
со скоростью	v = 72	км/час.

			К задаче 41.7.
	Определить добавочное давление на рельс от силы инерции
спарника		ABC в	наинизшем erov положении, которое возникло бы
в	предположении		отсутствия противовесов. Спарник	весит	200 к Г,
и	массу	его считать равномерно распределенной по		длине.	Длина

11 И. В, Мещерский

321

кривошипа

г = 0,3

м,

радиус

колес

R — 1

м;

колеса

катятся

без

скольжения.

Ответ:

2,45

т.

41.8

(879). Паровоз движется равноускоренно по прямолинейному

горизентальному

участку

пути,

достигая

через

20 сек

после

начала

движения

скорости 72

км1час.

Определить положение свободной по-

верхности

воды в

тендере.

Ответ: Плоскость, наклоненная к го-

ризонту

под

углом

К

задаче 41.9.

41.9. Для экспериментального опреде-

ления замедления троллейбуса приме-

няется жидкостный акселерометр, состоя-

щий

из

изогнутой

трубки,

наполненной

маслом

и

расположенной

в вертикальной

плоскости.

Определить

величину

замедления

троллейбуса

при

торможении,

если

при этом

уровень

жидкости

в

конце

трубки,

расположенном

в направлении движения,

повышается до величины h2, а в проти-

воположном

конце

понижается

до

hv

Положение

акселерометра

указано

на

чертеже:

а 1 = а 2

=

450,

Л1 = 25

мм, fta

= 75

мм.

Ответ: w = g ^

^

/

= 0 , 5

g.

-

s

41.10 (881). С каким ускорением должна дви-

гаться

по

горизонтальной

плоскости

призма,

боко-

вая

грань

которой

образует

угол а

с

горизонтом,

чтобы

груз,

лежащий

на

боковой

грани,

не

переме-

щался

относительно

призмы?

Ответ: w — gtga.

41.11 (883). Для исследования влияния быстро

чередующихся

растягивающих

и

сжимающих

сил

на

металлический брусок

(испытание

на

усталость)

ис-

пытуемый

брусок А

прикрепляют

за

верхний

конец

к ползуну В кривошипного механизма

ВСО,

а к

нижнему концу подвешивают груз весом Q.

Найти

силу,

растягивающую

брусок,

S том слу-

чае,

когда

кривошип

ОС

вращается

вокруг

оси О

с постоянной угловой

скоростью ш.

У к а з а н и е .

Выражение

1/

1 — (-у] sin2f

следует

разложить

в

ряд

и отбросить все члены ряда, содержащие отношение —г- в степени выше второй.

Ответ: Q -J-~ го>2 (cos not + — cos 2con.

322

41.12. Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В поворотного крана при поднимании груза Е весом З г е ускорением -jg. Вес крана равен 2 г и приложен в его центре тяжести С.

Вес тележки D равен				0,5 г. Кран и тележка
неподвижны. Размеры указаны на чертеже.
Ответ: Хд = — Хв				— 5,3 т; УА — 6,5 т.
41.13. Определить				опорные реакции под-
пятника А и подшипника В поворотного
крана, рассмотренного в предыдущей задаче,
при перемещении		влево			с ускорением 0,5 ^			Sit
тележки для случая отсутствия груза Е. Центр
тяжести тележки		находится на уровне опо-
ры В.
Ответ:	^	=	1,3 т;		Хв	= —1,55 г;		к задаче 41.12.
41.14 (885). На паром, привязанный к берегу двумя параллельными
канатами,	въезжает		грузовик			весом	7 г со	скоростью 12 км/час;
тормоза останавливают				грузовик на протяжении 3 м.
Предполагая,		что		сила трения колес о настил парома постоянна,
определить	натяжение				канатов.		Массой	и ускорением парома

пренебречь.
Ответ: Т = 0,66 т.
41.15	(886). Автомобиль				весом Р	движется			прямо-
линейно с ускорением				w.
Определить		вертикальное давление					передних		и зад-
них колес автомобиля, если его центр							тяжести		С на-
ходится	на высоте		h от поверхности			грунта.		Расстоя-
ния передней и задней				осей автомобиля от вертикали,
проходящей через центр тяжести, соответственно равны
а и Ь. Массами колес				пренебречь.
Как	должен	двигаться			автомобиль,		чтобы	давления
передних	и задних		колес оказались равными?
			,,				а — Ъ
торможении автомобиля с замедлением							w^=g—гуг-.
41.16	(887).	С	каким		ускорением		w опускается			К задаче 41 16.
груз весом Р, поднимая груз весом Q							с помощью по-
лиспаста, изображенного на чертеже?						Каково		условие		равномерного
движения груза Р?			Массами блоков			и троса		пренебречь.

Указание . Ускорение груза Q в четыре раза меньше ускорения груза Р.

	4P — Q P		1
Ответ: х»= А	ё ш г ^ ;	^ =	т .

41.17 (888). Гладкий клин весом Р и с утлом 2а при вершине раздвигает две пластины веса P i каждая, лежавшие в покое на гладком горизонтальном столе.

11«

323

Написать уравнения движения клина и пластин и определить давление клина на каждую из пластин.

Ответ: Уравнение движения клина:

wt2	w=g		Pctga,
! = -„-, где
уравнение движения пластин:
= - y - ,	где •wl =
давление
	'	g cos a'
41.18 (889). Груз А весом	Р 1 ;	опускаясь вниз, приводит в движе-
ние посредством невесомой и нерастяжимой нити, переброшенной
через неподвижный блок С, груз		В весом Р3.

тШШШ

К задаче 41.1?.

К задаче 41.18.

Определить давление

стола D

на пол,

если вес

стола

равен

Р3.

Ответ: М^

^

41.19 (890). Груз А

весом Ръ

опускаясь вниз по наклонной пло-

скости Д образующей

угол а с горизонтом, приводит

в движение

посредством

невесомой

и

нергстяжимой

нити, переброшенной

через

неподвижный

блок С, груз

В

весом

Рг.

Определить

горизонтальную

состав-

ляющую давления наклонной плоскости D

на выступ пола

Е.

Ответ: i V = P , — 1 ^ п а~"-

cos a.

К задаче 41.19

41.20 (892).

На пароходе

для успо-

коения качки были установлены три ста-

билизатора, основной частью каждого из

которых

является маховик

весом

ПО т. Во время

работы

стабили-

заторов маховики делают 910 об/мин.

Вычислить величину дополнительного бокового давления на направ-

ляющие

подшипники

вала

маховика,

вызываемого

смещением

на

1,08 мм

центра тяжести

маховика относительно оси вращения вслед-

ствие неоднородности

металла и неточности обработки

маховика.

324

Ответ:			Давление			N = 1 0 9 , 7 т и направлено по				прямой, прохо-
дящей через ось вращения и центр тяжести.
41.21 (893). Однородный стержень весом									Р и длиной /вращается
с постоянной угловой						скоростью со вокруг			неподвижной вертикаль-
ной	оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец.
Определить				растягивающую				силу в поперечном сечении стержня,
отстоящем от оси вращения на расстоянии а.
_			„	Р (Р	-	в2 ) <»s
Ответ:			г==—J —<2			,	— .
41.22 (894). Однородная прямоугольная пластинка весом Р равно-
мерно вращается вокруг вертикальной оси									с угловой скоростью ш.
Определить				силу,	разрывающую пластину				в направлении, перпен-
дикулярном			к	оси	вращения, в			сечении, проходящем		через ось	вра-
щения.
„			Ра®*
Ответ: -т—.
41.23 (895). Однородный круг-
лый		диск	радиуса		R	и	весом	Р
вращается			с	постоянной			угловой
скоростью (в вокруг своего верти-
кального диаметра.
Определить				силу,		разрывающую
диск		по диаметру.
,.			2PR«,%					К задаче 4122.		К задаче 41 23.
Ответ:			—ц .
41.24 (899).				Тонкий прямолинейный однородный						стержень	дли-
ной	I и весом			Р вращается с постоянной угловой скоростью ш около

неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с осью ОА и вершиной в точке О.

Вычислить	угол отклонения	стержня от вертикального направле-
ния, а также	величину N давления стержня на шарнир О.
	3 с т	1 Р	л 1 /	7р **
т	" •>» »	9. а	V	I 4/(0*

К задаче 41.25.

К задаче 41.25.

41.25 (900). В центробежном тахометре два тонких однородны-? прямолинейных стержня длиной а и b жестко соединены под прямыч

325

углом, вершина которого О шарнирно соединена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью ш.

Найти зашсимость между ш и углом отклонения <р, образованным направлением стержня длиной а и вертикалью.

Ответ: ^ З р - f e ^ l .

41.26 (901).

(£

—a3) sm

2(f

Тонкий

однородный

прямолинейный

стержень

АВ

шарнирно соединен с вертикальным валом

в точке

О. Вал

вращается

с постоянное угловой

скоростью (о (см. чертеж на

стр.

325).

Определмп. угол

отклонения

<р стержня от вертикали, если ОА—а

и ОВ — Ь.

Ответ: ( O S ?т = |24 8

° *

§ 12. Давление вращающегося твердого тела

на ось вращения

42.1 (1099).

Центр

тяжести

махового

колеса,

весом

3000

кГ,

находится

на расстоянии

1 мм

от горизонтальной оси вала; расстоя-

ния подшипников от колеса равны между собой.

Найти давления на подшипники, когда вал делает 1200 обjмин.

Маховик имеет плоскость симметрии, перпендикулярную

к оси

вра-

щения.

Ответ: Давление на каждый из подшипников

есть равнодейст-

вующая двух сил, из которых

одна равна 1500 кГ и направлена по

вертикали,

а другая

равна 2400 кГ

и направлена

параллельно

пря-

мой, соединяющей геометрический центр колеса, находящийся на оси вала, с центром тяжести колеса.

							К задаче 42.3.
с	42.2. Однородный			круглый диск		массы	М равномерно вращается
	угловой	скоростью		ш вокруг	неподвижной			оеи, расположенной
в	плоскости	диска	и	отстоящей	от	его	центра тяжести С		на рас-
стоянии ОС = а.
	Определць динамические давления оси на							подпятник А	и под-
шипник В,		гели ОБ —О А. Оси			хну	неизменно связаны с диском.
	Ответ: хА = Хв		= 0;		YA=YB=-^.

326

42.3.

К вертикальной

оси

АВ,

вращающейся

равноускоренно

с угловым

ускорением

е, прикреплены

два

груза С и D

посредством

двух перпендикулярных к оси АВ

и притом

взаимно

перпендикуляр-

ных

стержней

OC =

QD~r.

Определить динамические давления оси АВ

на

подпятник А

и

подшипник В.

Грузы С и

D считать точечными массами весом

Р

каж-

дый. Массами

стержней

пренебречь.

В

началь-

ный момент системы находилась

в покое. Оси

х

и у

неизменно связаны

со

стержнями.

Ответ: ХА=Хв

= ~

re (е*2 +

1);

42.4

(1101).

Стержень

АВ

длиной

21,

на

концах

которого

находятся

грузы

равного ве-

са Р, вращается равномерно с угловой ско-

ростью со вокруг вертикальной оси Oz, прохо-

дящей

через

середину

О длины

стержня. Рас-

стояние

точки О

от

подшипника

С

равно

а,

от подпятника D равно Ъ. Угол между стерж-

нем АВ

и осью

Oz

сохраняет

постоянную

ве-

личину

а.

К задаче 42.4.

Пренебрегая

весом

стержня

и

размерами

грузов, определить проекции давлений на

подшипник С и подпят-

ник

D

в тот

момент, когда

стержень

находится в плоскости

Oyz.

№co2sin2a

у

суп

Ответ: Хс

= XD

=--0;

Ус

== -

YD

=

g ( a + b )

;

ZD

= — 2P.

42.5

(1102).

На

концы

оси

АВ

надеты два одинаковых криво-

шипа АС

и BD

длиной / и весом

Q

каждый, заклиненные под углом

180°

относительно

друг

друга.

Ось

АВ

длиной

1а и весом Р вращается с постоянной угловой

скоростью со в подшипниках Е и F, расположенных

симметрично на расстоянии 2Ъ друг от друга.

Определить

давления

NE

и

Np

на

подшип-

ники в тот момент, когда

кривошип АС

направ-

лен

вертикально

вверх.

Массу

каждого

криво-

шипа

можно

считать равномерно

распределенной

вдоль

его

оси.

Ответ:

Давление

NE

= -g- P + Q — -grr" Q>

при 7V £ > 0 направлено по

вертикали

вниз, при

NB <

0 — вверх.

Давление

N f

= y

Q

направлено по

вертикали вниз.

42.6 (1103). К горизонтальному валу АВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью со, прикреплены два равных, перпендикулярных к нему стержня длиной /, лежащих во взаимно перпендику-

327

лярных плоскостях (см. чертеж). На кониах стержней расположены шары D и Е массой т каждый.

Определить динамическое давление вала на опоры А и В. Шары считать материальными точками; массами стержней пренебречь.

Ответ: = Л'п =

42.7 (1104). К вертикальному валу АВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ш, жестко прикреплены два стержня. Стержень ОЕ образует с валом угол <р, стержень OD перпендикулярен к плоскости, содержащей вал АВ и стержень ОЕ. Даны размеры: О£ =

— OD = l, АВ — 2а. К концам стержней прикреплены два шара Е и D массой т каждый.

задаче 42 7.

Определить

динамические давления

вала

на

опоры

А и В Шары

D и Е считать

точечными

массами; массами

стержней пренебречь.

Ответ:

ХА = ХВ

=

rn/ui1

,,

m/<o2

(a — I cos sp) sin <fш

1

Та

'

У

mid»2

(a-\-1

cos <p) sin cp

Уд—

Та

.

42.8.

Использовав

условие

задачи

34.1,

определить

динамические

давления

коленчатого

вала

на

подшипники К

и

L. Вал

вращается

равномерно

с угловой

скоростью

ш. При решении

можно

воспользо-

ваться ответами к задачам 34.1

и

34 24.

Ответ: Хк = — X/ — -^- т

ъь

-т\

42.9.

Однородный

стержень

KL,

прикрепленный

в центре под

углом а к вертикальной оси АВ, вращается равноускоренно вокруг

этой оси с угловым ускорением				е.
Определить		динамические давления			оси	АВ	на подпятник А и
подшипник В, если: Р—			вес стержня, 2/—его длина, OA =						OB=h/2\
OK = OL =	l. В начальный момент система					находилась		в покое.
Ответ:	XB	= -XA	= ^-htsm	2a;	YB	= -	YA =	g ^	Л' sin 2а.

42.10(1105). Прямой однородный круглый цилиндр весом Р, длиной 21 и радиуса г вращается с постоянной угловой скоростьюи>

вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр тяжести О цилиндра; угол между осью цилиндра ОС и осью Oz сохраняет при этом постоянную величину а. Расстоя-

ние HiHi между подпятником и подшипником равно к

		шшм
К задаче 42.9.		К задаче 42 10.
Определить боковые	давления: Л^ на подпятник и Л^ напод-
шипник.
Ответ: Давления Ni и N% имеют		одинаковую величину
р	(о2 sin 2а / 1 ^	1
	2gfi [~3	~~Т

ипротивоположны по направлению.

42.11(1106). Вычислить давления в подшипниках А и В при вращении вокруг оси АВ однородного тонкого круглого диска CD паровой турбины, предполагая, что ось АВ проходит через центр О

диска, но вследствие		неправильного	рассверливания		втулки	состав-
ляет	с перпендикуляром к плоскости диска угол ЛО£' =				а = 0,02 рад.
Дано: вес диска 3,27 кГ, радиус его 20 см, угловая					скорость	соот-
ветствует 30 000 об)мин, расстояние			ЛО =	50 см, 0 5 = 30 см; ось
АВ	считать абсолютно	твердой и принять		sin2а = 2а.

К задаче 42.11.

К задаче 42.12.

Ответ: Давления от веса диска: 1,23 кГ на подшипник А и 2,04 кГ на подшипник J9;давления на подшипники, вызываемые вращением диска, имеют одинаковую величину 822 кГ и противоположные направления.

329

4S.12 (1108).	Однородная прямоугольная пластинка весом Р равно-
мерно вращается	вокруг		своей диагонали АВ с угловой скоростью ш
(см. чертеж на	стр. 329). Определить				динамические давления пла-
стинки на опоры А и В, если длины					сторон равны а и Ъ.
Ответ: Хд = 0;		YA —
у	п- '	v	РаЫ*{а*	-

В' В

42.13(1109). С какой угловой скоростью должна вращаться вокруг

катета	АВ = а однородная			пластинка,	имеющая форму равнобедрен-
			ного	прямоугольного треугольника ABD, чтобы
			боковое давление на нижнюю			опору В равня-
			лось нулю? Расстояние между опорами счи-
			тать равным длине катета АВ.
I	/	-	Ответ: о ) = 2 1 /		—.
|	/а		42.14. Вращающаяся часть			подъемного кра-
Ш '			на состоит из стрелы CD длиной I и весом О,
К задаче 42,13.			противовеса Е и груза К весом Р каждый.(См.
			чертеж к задаче		34.34.) При включении по-

стоянного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой ско-

ростью, соответствующей	п = 1 , 5 об)мин,		останавливается	через 2 сек.
Рассматривая стрелу	как	однородную	тонкую балку,	а противо-
вес с грузом как точечные		массы, определить динамические реакции

опор А и В крана в конце его торможения. Расстояние между опо-

рами крана АВ — Ъ м, Р = 5т, G=8T,		а = 45°, 1 = 30 м, / = 1 0 м,
центр тяжести всей системы находится		на оси вращения; отклоне-
нием груза от плоскости крана	пренебречь. Оси х, у связаны с кра-
ном. Стрела CD находится в плоскости yz.
У к а з а н и е . Воспользоваться	ответом к задаче 34.34 (положив Q = P).
Ответ: YA = — YB = 0; Хв	= —XA	=• 6,2 т. ,

§43. Смешанные задачи

43.1(1111). Однородная тяжелая балка АВ длиной 21 и весом Q

при закрепленных		концах	находится	в горизонтальном					положении.
			В	некоторый				момент	конец А
(^гш^т^гШШШШгШШгу^к			освобождается,					и балка начинает
/?Ч"		Off	^ падать, вращаясь					вокруг	горизон-
•ч	<?/	«-J	тальной		оси,		проходящей			через
		\х	конец		В; в		момент, когда			балка
	к задаче 43.1.		становится				вертикальной,			осво-
			бождается			и конец В.
Определить в последующем движении балки						траекторию ее центра
тяжести и угловую скорость »,
Ответ:	1) Парабола у*=31х—З/8;			2) ш =

330