ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdf28.10 (742). Два метеорита |
М\ и 7И9 |
описывают один и тот же |
эллипс, в фокусе которого 5 |
находится |
Солнце. Расстояние между |
ними настолько мало, что дугу |
М\Ма, эллипса можем считать за отре- |
|
зок прямой. Известно, что расстояние MiM% равнялось а, когда сере- |
дина его находилась в перигелии Р. Предполагая, что метеориты
движутся |
с равными секториаль- |
||
ными скоростями, определить рас- |
|||
стояние МуМъ когда середина его |
|||
будет проходить через афелий А, |
|||
если известно, что |
SP = R\ |
и |
|
Ответ: М\М% = ~ а. |
к задаче 28 ю. |
||
28.11 (743). Мальчик весом |
40 кГ стоит на полозьях спортивных |
||
саней, вес |
которых |
с грузом равен 40 кГ, и делает каждую секунду |
|
толчок с |
импульсом |
2 кГсек. |
Найти скорость, приобретаемую санями |
за 15 |
сек, если |
коэффициент трения |
/ = 0 , 0 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: г)= |
2,2 |
м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28.12 (744). Точка совершает |
равномерное |
движение |
по |
окруж- |
||||||||||||
ности |
со |
скоростью |
v = 20 см/сек, |
|
делая |
полный |
оборот |
за |
время |
|||||||
7" = 4 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
импульс |
сил S, |
действующих |
на точку, |
за время |
одного |
||||||||||
полупериода, |
если |
масСа |
точки |
т = |
5 |
г. |
Определить |
среднее зна- |
||||||||
чение силы F. |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 6 " = 200 дин сек; F=W0 |
|
дин |
и направлена |
по конечной |
||||||||||||
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.13 |
(745). Два |
математических |
маятника, подвешенных |
на нитях |
||||||||||||
длиной |
4 |
и /а |
(h^> |
h)> совершают |
колебания одинаковой амплитуды. |
|||||||||||
Оба маятника |
одновременно начали |
двигаться |
в одном |
направлении |
из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины 1Х и 4 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток вре-
мени |
Т. |
|
|
|
|
Ответ: |
Л/ ~ = |
~, где k, п — целые числа |
и дробь — несокра- |
||
тима; |
Г = |
А7"2 = йГ1. |
|
||
28.14 |
(746). Шарик весом р, привязанный к нерастяжимой нити, |
||||
скользит |
по |
гладкой |
горизонтальной плоскости; |
другой конец нити |
втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити Т, если
известно, что |
в начальный момент нить |
расположена по прямой, рас- |
стояние между шариком и отверстием |
равно R, а проекция началь- |
|
ной скорости |
шарика на перпендикуляр |
к направлению нити равна %. |
Ответ: В полярных |
координатах (если |
принять отверстие за на- |
|
чало координат |
и угол |
ср0 равным нулю): |
|
Т |
^ — а ' |
У Д — at' |
"giR—ut)" ' |
221
28.15 (747). Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли Я = 637-108 см, средняя плотность ее 5,5, большая полуось земной орбиты а равна 149. 10п см, время обращения Земли вокруг Солнца 7 = 365,25 суток. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 г, на расстоянии 1 см считаем рав-
ной -—, где т — масса Земли; из законов Кеплера следует, что
|
|
|
|
„ |
|
г |
|
|
4тМ3 |
m |
|
|
|
|
сила притяжения Земли Солнцем равна |
- = ~ • -j, |
где |
г—расстояние |
|||||||||||
Земли |
от |
Солнца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: М = 1 9 7 . 1 0 3 1 |
г. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
28.16 |
(748). Точка |
массы от, подверженная действию центральной |
|||||||||||
силы F, |
описывает |
лемнискату |
г2 = a cos 2ср, где а—величина |
постоян- |
||||||||||
ная, |
г — расстояние |
точки |
от |
силового центра; в |
начальный момент |
|||||||||
г = |
го, скорость точки |
равна |
v0 и составляет угол а с прямой, соеди- |
|||||||||||
няющей точку с силовым центром. Определить величину |
силы F, |
|||||||||||||
зная, что |
она зависит только от расстояния г. |
|
|
|
||||||||||
|
По формуле Бияе F — |
г \'wra ' "^ |
/> г д е |
с — удвоенная |
секторная |
|||||||||
скорость точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: Сила притяжения |
F=-^- |
rji>o sin8 a. |
|
|
|
||||||||
|
28.17 (749). Точка М, масса которой |
т, движется |
около непо- |
|||||||||||
движного центра О под влиянием силы |
F, |
исходящей из этого центра |
||||||||||||
и зависящей |
только |
от |
расстояния МО —г. |
|
Зная, |
что скорость точки |
||||||||
ii = |
ajr, |
где |
а — величина |
постоянная, найти величину силы F |
и траек- |
|||||||||
торию |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
Сила притяжения |
F— —$-•> |
|
траектория — логарифмиче- |
|||||||||
ская спираль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.18 (750). Определить движение точки, масса которой 1 г, под влиянием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной
кубу |
расстояния |
точки |
от |
центра |
силы, при |
следующих |
данных: |
|||||||
на расстоянии, равном |
1 см, |
сила равна |
1 дине; в начальный момент |
|||||||||||
расстояние |
точки |
от |
центра |
го = 2 |
см, |
скорость |
ио =О,5 см/сек и |
|||||||
составляет |
угол |
45° с направлением |
прямой, проведенной из центра |
|||||||||||
к точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: г = |
2еи; |
г2 |
= 4 4-^|/ Г 2. |
|
|
|
|
|
||||||
28.19 (753). Частица М с массой 1 г притягивается к неподвиж- |
||||||||||||||
ному центру О силой, обратно пропорциональной |
пятой степени рас- |
|||||||||||||
стояния; эта |
сила |
равна |
8 дин при расстоянии, равном 1 см. В началь- |
|||||||||||
ный |
момент |
частица |
находится |
на расстоянии |
ОМ0 = 2 см |
и имеет |
||||||||
скорость, перпендикулярную к ОМ0 |
и равную г>0=0,5 см/сек. Опре- |
|||||||||||||
делить траекторию частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: Окружность радиуса 1 см. |
|
|
|
|
||||||||||
28.20 (754). |
Точка |
массы 20 |
г, |
движущаяся |
под влиянием силы |
|||||||||
притяжения |
|
к неподвижному |
центру |
по |
закону |
тяготения |
Ньютона, |
222
описывает полный эллипс с полуосями 10 см |
и 8 см |
в течение |
50 сек. Определить наибольшую и наименьшую |
величину |
силы при- |
тяжения F при этом движении. |
|
|
Ответ: F m a x = 1 9 , 7 дин; F m i n = l,2 дин. |
|
|
§29. Работа и мощность
29.1(755). Однородный массив ABCD, размеры которого указаны на чертеже, весит Р = 4000 кГ. Определить работу, которую не-
обходимо |
затратить на опрокидывание |
его вращением вокруг |
|
ребра D. |
|
|
|
Ответ: |
4000 кГж = 39,24 кдж. |
дГ* |
ffflf' |
29.2(756). Определить наименьшую работу, которую нужно затратить для того, чтобы поднять на 5 м груз в 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30°; коэффициент трения 0,5.
Ответ: 18 660 кГм — 183 кдж.
29.3(757). Для того чтобы поднять 5000 м3 воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем в 2 л. с. Сколько времени потребуется
для выполнения этой работы, если коэффи-
|
|
|
и |
|
г\ п*л |
|
|
"• задаче |
zy.i. |
|
||
ииент полезного действия насоса 0,8? |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Коэффициентом полезного действия называется отношение |
полезной |
||||||||||
работы, в данном |
случае |
работы, |
затраченной |
на |
подяятяе |
вооы, к работе |
||||||
движущей силы, |
которая |
должна |
быть |
больше |
полезной работы |
вследствие |
||||||
вредных сопротивлений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
34 |
час 43 |
мин 20 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
29.4 (758). Как велика мощность в |
лошадиных силах и киловат- |
||||||||||
тах |
машины, поднимающей 84 |
раза |
в |
минуту |
молот |
весом |
200 |
кГ |
||||
на |
высоту |
0,75 |
м, если коэффициент полезного действия машины |
0,7? |
||||||||
|
Ответ: 4 л. с.= 2,94 кет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
29.5 (759). Вычислить в лошадиных |
силах |
и мегаваттах |
общую |
мощность трех водопадов, расположенных последовательно на одной
реке. Высота падения воды: у первого водопада—12 |
м, |
у |
вто- |
|||||||||
рого—12,8 |
м, |
у |
третьего—15 м. |
Средний расход |
воды в реке — |
|||||||
75,4 м3/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
40 000 л. с. = 29,4 мгвт. |
|
|
|
|
|
|
|||||
29.6 (760). Вычислить мощность турбогенераторов |
на |
станции |
||||||||||
трамвайной |
сети, если число вагонов на линии 45, вес |
каждого |
||||||||||
вагона 10 г, |
сопротивление трения |
равно 0,02 |
веса |
вагона, |
средняя |
|||||||
скорость |
вагона |
12 км/час и потери в |
сети 5%. |
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
421 л. с. = 309 кет. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
29.7 |
(761). Разгрузка угля с баржи производится |
мотором, подни- |
||||||||||
мающим |
бадью. Бадья вмещает 1 т угля и весит 200 |
кГ. За |
12 часов |
|||||||||
работы должны |
быть |
нагружены 600 т |
угля, |
причем бадью |
с |
углем |
||||||
приходится |
поднимать |
на высоту |
10 м. |
Определить |
теоретическую |
|||||||
мощность мотора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
2,22 |
|
л. с. = 1,63 кет. |
|
|
|
|
|
|
|
223
29.8 (762). Вычислить работу, которая производится при подъеме груза в 20 кГ по наклонной плоскости на расстояние 6 м, если угол, образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а коэффициент трения равен 0,01.
Ответ: 61,04 кГм = ЬШ дж.
29.9 (763). Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, турбина
его |
развивает |
мощность |
5144 л. |
с. Определить |
силу сопротивления |
|||||||||||
воды движению |
турбохода, |
зная, что коэффициент полезного дейст- |
||||||||||||||
вия турбины |
и винта равен |
0,4 и 1 узел = |
0,5144 |
м/сек. |
|
|||||||||||
|
Ответ: |
20 |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29.10 (764). |
Найти в |
лошадиных |
силах |
и |
киловаттах мощность |
||||||||||
двигателя |
внутреннего |
сгорания, |
если |
среднее |
давление |
на поршень |
||||||||||
в течение всего хода равно 5 кГ |
на 1 см*\ длина хода поршня 40 см, |
|||||||||||||||
площадь поршня 300 смг, число рабочих ходов |
120 в минуту и коэф- |
|||||||||||||||
фициенг полезного действия |
0,9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
14,4 л. с. = |
10,6 |
кет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
29.11 (765). |
Шлифовальный |
камень |
диаметром |
60 |
см |
делает |
|||||||||
120 |
об/мин. |
Потребляемая |
мощность |
равна |
1,6 |
л. с. Коэффициент |
||||||||||
трения шлифовального |
камня о |
деталь |
равен |
0,2. |
С |
какой |
силой |
|||||||||
прижимает |
камень шлифуемую деталь? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: |
1570 к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
29.12 (766). Определить мощность мотора продольно-строгального |
|||||||||||||||
станка, если длина рабочего |
хода 2 м, |
его продолжительность |
10 сек, |
сила резания 1200 кГ, коэффициент полезного действия станка 0,8.
Движение |
счшать равномерным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
2,96 кет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29.13 (767). В XVIII |
веке |
для |
откачки |
воды |
из угольных шахт |
|||||||||
употребляли конный привод, называемый круговым |
топчаком. Диаметр |
|||||||||||||
топчака d = 8 |
м, и его |
вал делал « = |
6 об/мин. |
|
|
|
|
|||||||
Определить |
среднюю |
силу |
тяги |
лошади, |
приводившей |
топчак |
||||||||
в движение, считая ее мощность равной 1 л. с. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: F —29,9 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29.14 (768). К концу упругой пружины подвешен груз веса |
Р. Для |
|||||||||||||
растяжения |
пружины |
на |
1 см |
надо |
приложить |
силу, |
равную |
с Г. |
||||||
Составить выражение |
полной |
механической |
энергии системы. |
|
|
|||||||||
|
\ |
Р |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: - ~ — у ? \ - ^ с х г — mgx |
— const, |
где |
х |
отсчитывается |
от |
|||||||||
конца нерастянутой пружины |
вниз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29.15 (769). |
При |
ходьбе |
на |
лыжах на дистанцию |
в 20 |
км |
по |
горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармони-
ческие колебания с |
амплитудой |
8 см |
и |
с |
периодом Г = 4 сек. |
Вес лыжника 80 кГ, а коэффициент трения |
лыж о снег / = 0 , 0 5 . |
||||
Определить работу лыжника |
на марте, если всю дистанцию он |
||||
прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника. |
|||||
Примечание . |
Считать, что работа |
торможения при опускании цен-t |
|||
тра тяжести лыжника |
составляет 0,4 работы |
при подъеме центра тяжести >* |
|||
на ту же высоту. |
|
|
|
|
|
Ответ: Л = 1,05-10" кГм; |
w=s=0,26 |
л. с. |
224
29Л6 (770). Математический маятник А весом Р и длиной / под действием горизонтальной силы Pxjl поднялся на высоту у. Вычислить потенциальную энергию маятника двумя способами: 1) как работу силы тяжести, 2) как работу, произведенную
силой Pxjl, и указать, при каких условиях оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: 1) Ру, |
2) |
\ ^ - . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оба |
ответа одинаковы, |
если |
можно пренеб- |
v |
|
|
|
|
|
|||||
речь |
у*. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
29.17 (771). Для измерения мощности |
|
|
|
|
|
|||||||||
двигателя на его |
шкив А надета лента с |
де- |
|
К задаче 29.16. |
|
|
||||||||
ревянными колодками. Правая ветвь ВС ленты |
|
|
|
|
|
|
||||||||
удерживается пружинными |
весами Q, а левая |
ее |
ветвь DE натяги- |
|||||||||||
вается |
грузом. |
Определить |
мощность |
двигателя, |
|
если, |
вращаясь |
|||||||
равномерно, он делает |
120 об)мин; при этом пружинные весы |
пока- |
||||||||||||
зывают |
натяжение |
правой |
ветви ленты в 4 кГ; |
вес |
груза равен |
1 кГ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
диаметр |
шкива |
а! = |
63,6 |
|
см. |
||
|
|
|
|
|
|
|
Разность натяжений |
ветвей |
ВС |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
и DE ленты равна силе, тормозящей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
шкив; определяем |
работу |
этой |
силы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
в 1 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
0,16 |
|
л. с. = |
117,8 |
вт. |
|
К задаче 29.17. |
|
|
|
К |
задаче 29.18. |
|
||
29.18 |
(772). Посредством |
ремня |
передается |
мощность 20 |
л. с. |
||||
Радиус |
ременного |
шкива |
50 |
см, |
угловая |
скорость |
шкива |
равна |
|
150 об/мин. Предполагая, |
что натяжение |
Т ведущей |
ветви |
ремня |
|||||
вдвое больше натяжения t |
ведомой ветви, определить натяжения |
Tut. |
|||||||
Ответ: Т=382 |
кГ; |
£= |
191 кГ. |
|
|
|
|
§ 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
ЗОЛ. Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру Oi. Длина недеформированной пружины равна l^, OOt — l. В начальный' момент тело Е
8 И. В. Мещерский |
225 |
отклонено от положения'равновесия О на конечную величину ОЕ = а и отпущено без начальной скорости. Определить скорость тела в момент
|
|
прохождения |
положения |
равновесия. |
|
||||||
о |
|
Ответ: v= " | / | Ц + / „ |
(/- |
|
|||||||
|
|
30.2. В. условиях предыдущей |
задачи опре- |
||||||||
|
|
делить скорость тела Е в момент прохождения |
|||||||||
|
|
положения равновесия О, |
предполагая, |
что пло- |
|||||||
|
|
скость шероховата и коэффициент трения сколь- |
|||||||||
|
|
жения |
равен |
/. |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ:г>2=J- [с[ £ + |
|
|
|
||||||
К задаче |
30.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30.3. Тело |
К находится |
на |
шероховатой |
|
наклонной |
плоскости |
|||||
в покое. Угол наклона плоскости |
к горизонту |
а |
и /0 |
> |
tg а, где /0 — |
||||||
коэффициент |
трения |
покоя. |
|
В |
некоторый |
момент |
телу |
сообщена |
|||
|
|
начальная скорость •о0, направленная вдоль пло- |
|||||||||
|
|
скости |
вниз. |
Определить |
путь |
s, пройденный |
|||||
|
|
телом |
до остановки, если |
коэффициент трения |
|||||||
|
|
при движении |
равен /. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ответ: |
s = -2g (f cos а — sin а) |
' |
|
||||||
К задаче зо.з. |
30.4 |
(773). По наклонной плоскости, состав- |
|||||||||
|
|
ляющей |
с |
горизонтом угол 30°, |
спускается без |
начальной скорости тяжелое тело; коэффициент трения равен 0,1. Какую
скорость будет иметь тело, пройдя 2 м |
от начала движения? |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
4,02 |
м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
30.5 |
(774). |
Снаряд весом |
в |
|
24 |
кГ |
вылетает |
из |
дула |
орудия со |
||||||||||||
скоростью 500 м/сек. Длина ствола орудия 2 м. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Каково |
среднее значение силы давления газов на снаряд? |
|
|
|||||||||||||||||||
. |
Ответ: |
152,9 |
г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
30.6 |
(775). Материальная |
точка |
весом 3 кГ |
двигалась |
по |
гори- |
||||||||||||||||
зонтальной |
прямой |
влево |
со |
скоростью |
|
5 м/сек. |
К |
ней |
приложили |
||||||||||||||
постоянную |
силу, |
направленную |
вправо. |
Действие |
силы |
|
прекрати- |
||||||||||||||||
лось |
через |
30 |
сек, и тогда скорость точки |
оказалась равной 55 |
м/сек |
||||||||||||||||||
и направленной |
вправо. Найти |
величину |
этой |
силы |
и совершенную' |
||||||||||||||||||
ею |
работу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
0,612 |
кГ; |
459 |
кГж = 4,5 кдж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
30.7 (776). При подходе к станции поезд идет со скоростью 36 км/час |
||||||||||||||||||||||
под уклон, угол |
которого |
а = 0,008 рад. |
В некоторый |
момент маши- |
|||||||||||||||||||
нист, |
увидав опасность, |
начинает |
тормозить |
поезд. |
|
Сопротивление |
|||||||||||||||||
от |
торможения |
и |
трения |
в |
осях |
составляет 0,1 |
веса |
поезда. |
Опре- |
||||||||||||||
делить, |
на |
каком |
расстоянии |
и |
через |
сколько |
времени |
от |
момента |
||||||||||||||
начала |
торможения |
поезд |
остановится, |
полагая |
sin a = |
а. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ответ: |
55,3 |
м; |
11,06 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
30.8 (777). Поезд весом 200 |
|
т идет |
|
по горизонтальному |
участку |
|||||||||||||||||
при |
с |
ускорением |
0,2 |
м/сек\ |
|
Сопротивление |
or |
|
трения |
в |
осях |
226
составляет |
10 |
кГ |
на тонну |
веса |
поезда |
и принимается не зависящим |
|||||||||||||||
от |
скорости. Определить развиваемую |
тепловозом |
мощность в момент |
||||||||||||||||||
£ = 1 0 |
сек, |
если |
|
в момент £= 0 скорость |
поезда |
равнялась 18 |
м/сек. |
||||||||||||||
|
Ответ: |
1620 |
л. с. = 1192 |
кет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
30.9. Брус весом Q начинает двигаться |
с начальной скоростью v0 |
|||||||||||||||||||
по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной |
|||||||||||||||||||||
остановки |
расстояние |
s. |
Определить |
коэффициент трения |
сколь- |
||||||||||||||||
жения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному |
дав- |
||||||||||||||||||||
лению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: / = | ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
30.10 (779). Сопротивление, встречаемое |
железнодорожной |
плат- |
||||||||||||||||||
формой |
при движении и происходящее от трения в |
осях, равно |
15 кГ, |
||||||||||||||||||
а |
вес |
ее |
6 |
т. Рабочий |
уперся |
в покоящуюся |
платформу и покатил ее |
||||||||||||||
по |
горизонтальному |
и прямолинейному участку пути, |
производя |
дав- |
|||||||||||||||||
ление, |
|
равное |
25 |
кГ. |
Пройдя |
20 |
м, |
он |
предоставил |
платформе |
|||||||||||
катиться |
самой. |
|
Вычислить, |
пренебрегая |
сопротивлением |
воздуха |
|||||||||||||||
и трением |
колес |
о |
рельсы, наибольшую |
скорость |
г>тах |
платформы |
|||||||||||||||
во время движения, а также весь путь |
s, |
пройденный |
ею до |
оста- |
|||||||||||||||||
новки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: vmax |
= 0,808 м/сек; |
s = 33V3 |
м. |
|
|
сопротивле- |
||||||||||||||
|
ЗОЛ 1 (780). Гвоздь |
вбивается |
в стену, |
оказывающую |
|||||||||||||||||
ние К= 70 |
кГ. |
|
При |
каждом |
ударе |
молотка |
гвоздь |
углубляется |
|||||||||||||
в |
стену |
на длину |
/=0,15 |
см. |
Определить |
вес молотка Р, если при |
|||||||||||||||
ударе |
о |
шляпку |
|
гвоздя |
он |
имеет |
скорость |
i»= 1,25 |
м/сек. |
|
|
Ответ:Р=1,37 кГ.
30.12 (781). Метеорит, упавший на Землю в 1751 г., весил 39 кГ. Падая, он углубился в почву на глубину /=1,875 м. Опытное исследование показало, что почва в месге падения метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление /•'=50 т.
С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты должен он был упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость? Считаем силу тяжести постоянной и пренебрегаем сопротивлением воздуха.
Ответ:г»=217 м/сек; Я=2390 м.
30.13 (782). Незаторможенный |
поезд |
весом Р = |
|
|
|
||||
= 500 |
т, двигаясь с |
выключенным |
двигателем, испы- |
|
|
|
|||
тывает |
при движении |
сопротивление |
|
|
|
|
|
||
где v—скорость |
в м/сек. Зная начальную |
скорость |
|
|
|
||||
поезда |
г»0 = 15 |
м/сек, |
определить, |
пройдя |
какое рас- |
|
|
|
|
стояние |
поезд остановится. |
|
|
|
х |
^ |
# |
||
Ответ: s=4,6 км. |
|
|
|
|
**"" |
k |
|||
30.14 (783). Главную часть прибора для |
испыта- |
к задаче зо.14. |
|||||||
ния материалов |
ударом составляет |
тяжелая |
стальная |
|
|
|
отливка М, прикрепленная к стержню, который может вращаться почти без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Прене-
8* |
' |
227 |
брегая массой стержня, рассматриваем отливку М как материальную
точку, |
для которой расстояние ОМ = |
0,981 |
м. Определить скоростью |
|||||||
этой точки в наинизшем |
положении |
В, |
если |
она падает из наивыс- |
||||||
шего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. |
|
|||||||||
Ответ: г> = |
6,2 м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
||
30.15 (784). Написать выражение потенциальной энергии |
упругой |
|||||||||
рессоры, прогибающейся |
на 1 см от |
нагрузки |
в |
0,4 т, предполагая, |
||||||
что прогиб х возрастает |
прямо пропорционально |
|
нагрузке. |
|
||||||
Ответ: V=0,2лг2 ~\- const. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
30.16 (785). Пружина |
самострела |
имеет |
в |
ненапряженном состоя- |
||||||
нии длину 20 см. |
Сила, необходимая для изменения ее длины |
на 1 см, |
||||||||
равна |
0,2 кГ. С |
какой |
скоростью v |
вылетит |
из |
самострела шарик |
||||
|
|
|
весом 30 Г, если пружина была сжата |
|||||||
|
|
|
до длины |
10 |
см? |
Самострел |
располо- |
|||
|
|
|
жен горизонтально. |
|
|
|
||||
|
|
|
Ответ: т> = |
8,1 |
м/сек. |
|
||||
|
|
|
30.17 |
(786). |
Статический |
прогиб |
|
|
К задаче 30.16. |
|
|
балки, |
загруженной |
посередине |
гру- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
зом Q, равен 2 мм. |
Найти наибольший |
|||||||||||
прогиб балки, пренебрегая ее массой, в двух случаях: |
1) когда |
груз Q |
|||||||||||||||||
положен |
на неизогнутую |
балку и опущен |
без |
начальной |
скорости; |
||||||||||||||
2) когда |
груз Q |
падает |
на |
середину |
неизогнутой |
балки |
с |
высоты |
|||||||||||
10 см |
без начальной |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При решении |
задачи следует иметь в виду, что сила, |
действующая на |
|||||||||||||||||
груз со стороны балки, пропорциональна ее прогибу. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: 1) 4 |
мм; |
2) |
22,1 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30.18 |
(787). Вагон весом в 16 тнаталкивается со скоростью 2 м/сек |
||||||||||||||||||
на два |
упорных |
|
буфера. |
Определить |
наибольшее |
сжатие |
|
пружин |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
упорных |
|
буферов |
при |
|
ударе |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вагона, |
если известно, |
что ва- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гонные |
и |
буферные |
пружины |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаковы и сжимаются на 1 см |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
под действием силы в 5 г. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
5,7 |
см. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30.19 |
(788). |
Две |
ненапря- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
женные пружины АС и ВС, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенные |
на |
горизон- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тальной |
прямой Ах, |
прикреп- |
||||||||
|
|
К задаче 30.18. |
|
|
|
лены |
шарнирами |
к неподвиж- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным точкам |
А |
и В, а ъ точке |
||||||||
С — к гире весом |
1,962 кГ. Пружина |
АС |
сжимается |
на |
1 см |
силой |
|||||||||||||
в 2 кГ, а пружина СВ вытягивается |
на |
1 см |
силой |
4 |
кГ. Расстоя* |
||||||||||||||
ния: АС = ВС — |
|
10 |
см. Гире |
сообщена скорость |
v» = 2 м/сек в та** |
||||||||||||||
ком направлении, что при последующем |
движении она проходит |
через. |
|||||||||||||||||
точку |
D, |
координаты |
которой хо = |
8 см, |
_у0 = |
2 см, |
если за |
начало |
|||||||||||
координат принять точку |
А и координатные |
оси |
направить, |
как |
ука- |
228
зано на чертеже. Определить скорость гири в момент прохождения
еечерез точку D, лежащую в вертикальной плоскости ху.
Ответ: v =1,78 м/сек.
Кзадаче 30.19.
30.20(789). Груз М весом Р, подвешенный в точке О на невесомой и нерастяжимой нити длиной /, начинает двигаться в вертикальной плоскости без начальной скорости из точки А; при отсутствии сопротивлений груз М достигнет положения С, где его скорость обратится в нуль. Приняв потенциальную энергию, обусловленную силой тяжести груза М в точке В, равной нулю, построить графики изменений кинетической и потенциальной энергии, а также их суммы в за-
висимости от угла tp.
Ответ: Две синусоиды и прямая, имеющие уравнения
7" = P/sincp, V = Pl{\ — sin<p),
T+V = Pl.
30.21 (790). Материальная точка с массой т совершает гармонические колебания
по прямой Ох под действием упругой восстанавливающей силы по следующему закону: х = a sin (kt -j-P). Пренебрегая сопротивлениями, построить графики изменения кинетической энергии Т и потенциаль-
ной энергии V |
движущейся |
точки |
в зависимости |
от |
координаты хг, |
||||||
в начале координат |
V=0. |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Оба |
графика — параболы, имеющие уравнения |
|
|
||||||||
30.22 (791). Какую |
вертикальную силу, |
постоянную |
по |
величине |
|||||||
и направлению, надо |
приложить к |
материальной |
точке, |
чтобы |
при |
||||||
падении точки |
на Землю с |
высоты, равной |
радиусу |
Земли, эта |
сила |
||||||
сообщила точке |
такую |
же |
скорость, как сила притяжения |
к Земле, |
обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли? Ответ: Р/2, где Р — вес точки на поверхности Земли.
30.23 (792). Горизонтальная пружина, на конце которой прикреплена материальная точка, сжата силой Р и находится в покое. Внезапно сила Р меняет направление на прямо противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся
при этом наибольшее растяжение /2 больше первоначального сжатия 1Ь
Ответ: l.Jli—3.
229
30.24 (793). Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной линии с начальной скоростью v9.
Определить высоту Н поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Радиус
Земли /? = |
6370 км, г»0 =1 км/сек. |
Ответ: |
/ / = • , *°* , = 5 1 км. |
30.25 (794). Две частицы заряжены положительным электричеством; заряд первой частицы д\ равен 100 абсолютным электростатическим единицам CGS, заряд второй д^= 0,\ди первая частица остается неподвижной, а вторая движется вследствие силы отталкивания F от первой частицы. Масса второй частицы равна 1 г, начальное расстояние от первой частицы равно 5 см, а начальная скорость равна нулю. Определить верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во внимание действие только одной силы отталкивания F —
= Щ^-, где г — расстояние между частицами.
Ответ: |
20 |
см[сек. |
|
|
|
||
30.26 (795). Определить скорость |
г»0, которую нужно сообщить |
||||||
по вертикали |
вверх |
телу, |
находящемуся на поверхности Земли, для |
||||
того, |
чтобы |
оно поднялось |
на высоту, |
равную |
земному радиусу; при |
||
этом |
нужно |
принять |
во' внимание только силу |
притяжения Земли, ко- |
торая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела
от |
центра |
Земли. |
Радиус |
Земли равен 637-106 см, ускорение |
силы |
|||
притяжения |
на поверхности |
Земли равно 980 |
см/сек\ |
|
||||
|
Ответ: |
7,9 |
км/сек. |
|
|
|
|
|
|
30.27 (796). |
Найти, с какой скоростью |
va |
нужно выбросить |
сна- |
|||
ряд |
с поверхности |
Земли |
по направлению |
к |
Луне, чтобы он достиг |
точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивлением
воздуха |
пренебрегаем. Ускорение силы |
тяжести у поверхности Земли |
|||
g = 9 , 8 |
м/сек*. Отношение масс |
Луны |
и Земли tti:M=l |
:80; рассто- |
|
яние |
между ними d = 6QR, где |
считаем /? = 6000 км |
(радиус Земли). |
||
Коэффициент /, входящий в формулу для величины силы всемир- |
|||||
ного |
тяготения, находим из уравнения |
|
|
||
|
|
|
М |
т |
|
|
|
— Н) ¥ |
тп |
59 |
|
|
|
л[Жа |
|
|
|
тщ |
a = — — --, или -010= 10,75 |
км(сек. |
|
||
30.28 (797). Шахтная клеть движется вниз со скоростью v= 12 м\сек. |
|||||
Вес |
клети Р = 6 г. |
|
|
|
230