ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdfКакую силу трения между клетью и стенами шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить клеть на протяжении пути $ = 1 0 м, если канат, удерживающий клеть, оборвался? Силу трения считать постоянной.
Ответ: F=p(l |
+ ~ Ц = 10,3т. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§ 3 1 . Смешанные задачи |
|
|
|
|
|
|
||
31.1 (798). Груз |
весом 1 кГ |
подвешен на нити |
|
длиной |
50 |
см |
||||
в неподвижной точке |
О. В начальном положении груз |
отклонен |
от |
|||||||
вертикали на угол 60° и ему сообщена |
скорость |
v0 |
в вертикальной |
|||||||
плоскости |
по перпендикуляру к нити вниз, равная |
210 |
см/сек. Опре- |
|||||||
делить: 1) натяжение нити в наинизшем положении; 2) |
отсчитываемую |
|||||||||
по вертикали высоту, |
на которую |
груз |
поднимается |
над |
этим |
поло- |
||||
жением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) 2,9 кГ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2)47,5 см.
31.2(799). Сохраняя условия предыдущей задачи,
кроме величины скорости v0, |
.М, |
|
найти, при |
какой величине |
|
скорости v0 |
груз будет про- |
|
ходить всю |
окружность. |
|
Ответ: v0 > |
443 см/сек. |
|
|||
31.3 (800). |
По |
рельсам, |
|
||
положенным по пути |
АВ и |
|
|||
образующим затем |
петлю в |
|
|||
виде кругового |
кольца ВС |
К задаче 31.3. |
|||
радиуса а, скатывается |
ваго- |
||||
|
нетка весом Р.
С какой высоты h нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определи 1Ь давление Л' вагонетки на кольцо в точке М, для которой угол МОВ = <р.
Ответ: h ;s= 2,5a;
| |
) |
К задаче 31.4. |
|
31.4 (801). Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано на
чертеже: /_ВОС= /,B0D = a.
Найти, с какой высоты h должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла а, при котором эта высота h наименьшая.
231
У к а з а н и е . На участке DC центр тяжести вагонетки совершает параболическое движение.
Ответ: h = |
r fl-f-cosa-j—2 'cdsa')' hmm |
п р и |
a = = 4 5 ° - |
31.5 (802). |
Тяжелая стальная отливка |
весом |
Р = 20 кГ прикреп- |
лена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Отливка падает из наивысшего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. чертеж к задаче 30.14.)
Ответ: 100 кГ.
31.6 (803). Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю?
Ответ: ср = arccos 2-j.
31.7 (804). Парашютист весом 70 кГ выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение пер-
вых пяти секунд с момента раскрытия |
парашюта, |
при постоянной |
||||||||||||||||
силе |
сопротивления |
движению, |
|
скорость |
|
парашютиста |
уменьшилась |
|||||||||||
до 4,3 м/сек. |
Сопротивлением воздуха движению человека |
пренебречь. |
||||||||||||||||
Ответ: |
127,4 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31.8 |
(805). |
За |
500 м |
до |
станции, стоящей |
на пригорке высотой |
||||||||||||
2 м, |
машинист |
поезда, |
идущего |
со |
скоростью |
12 м/сек, |
закрыл пар |
|||||||||||
и начал |
тормозить. |
Как велико |
должно быть сопротивление от тор- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
можения, считаемое постоянным, чтобы поезд |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
остановился у станции, если вес поезда ра- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вен |
1000 т, а сопротивление трения 2 г? |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
8679 |
кГ. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31.9. Тяжелая |
отливка |
веса |
Р |
прикреп- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лена |
к |
стержню, |
который |
может |
вращаться |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
без |
трения' вокруг |
неподвижной |
оси О и от- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
клонен |
от |
вертикали |
на угол <р0. Из этого |
|||||||
|
к задаче 31.9. |
|
|
|
начального |
положения отливке сообщают на- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
чальную |
скорость |
Ф0 |
(см. чертеж). Опре- |
||||||||
делить |
усилие |
в стержне |
как |
функцию |
угла отклонения стержня от |
|||||||||||||
вертикали, пренебрегая |
массой |
стержня. Длина |
стержня I. |
|
Р п2
Ответ: N= ЗР cos <о — 2Р cos ср0——| — ~.
Если N^>0, стержень растянут; если JV<^0, стержень сжат.
31.10 (806). Сферический маятник состоит из нити ОМ длиной /, прикрепленной одним концом к неподвижной точке О, и тяжелой
точки М весом Р, прикрепленной к другому |
концу |
нити. Точку М |
||||||
отклонили |
из |
положения |
равновесия |
так, что |
ее |
координаты стали: |
||
лри ^= 0 дг=хо, у=0, |
и сообщили ей начальную |
скорость: JCo = 0> |
||||||
j>o = |
^o, io = O. Определить, при каком соотношении начальных усло- |
|||||||
вий |
а очка |
М |
будет |
описывать |
окружность |
в |
горизонтальной |
232
плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружности.
Ответ: va = >
|
|
К задаче 31.10. |
|
|
|
|
|
|
К задаче 31.11. |
|
||||
|
31.11 |
(807). Лыжник припрыжке с трамплина спускается |
с эста- |
|||||||||||
кады АВ, наклоненной подуглом а = 3 0 ° |
к горизонту. Перед |
отры- |
||||||||||||
вом |
он проходит небольшую |
горизонтальную |
площадку ВС, длиной |
|||||||||||
которой |
при расчете пренебрегаем. В момент |
отрыва |
|
|
||||||||||
лыжник |
толчком |
сообщает себе вертикальную состав- |
|
|
||||||||||
ляющую |
скорости |
vy=\ |
м/сек. |
Высота |
эстакады. |
|
|
|||||||
h = 9 м, коэффициент трения лыж о снег /== 0,08,ли- |
|
|
||||||||||||
ния |
приземления CD образует |
угол р = 45° с горизон- |
|
|
||||||||||
том. Определить |
дальность |
/ полета |
лыжника, прене- |
|
|
|||||||||
брегая сопротивлением воздуха. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
П р и м е ч а н и е . Дальностью |
полета считать длину, изме- |
|
|||||||||||
ряемую от точки |
отрыва С доточки приземления лыжника |
|
|
|||||||||||
на линии CD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
1 = 47,4 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
31.12 |
(808). |
Груз М весом Р падает |
без началь- |
|
|
||||||||
ной |
скорости с |
высоты Н на плиту А, лежащую на |
к з а д а ч е 3 1 1 2 - |
|||||||||||
спиральной |
пружине В. От действия |
упавшего |
груза М |
|
|
|||||||||
пружина |
сжимается |
на величину h. He учитывая веса |
плиты А и |
|||||||||||
сопротивлений, |
вычислить |
время Т сжатия |
пружины на величину h |
|||||||||||
и импульс S упругой силы пружины за время Т. |
|
|
||||||||||||
|
Ответ: Т = ± (|-«)./ |
5= |
|
|
|
|
|
|||||||
где |
tg a = |
2]fH(H-\-h) ' |
k = V2g(H+h) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
h |
' |
|
|
|
|
||||
|
31.13 |
(809). При разрыве |
маховика одна из его частей, наиболее |
|||||||||||
удаленная |
от места |
катастрофы, оказалась на расстоянии s = 280 м |
||||||||||||
от |
первоначального |
положения. Пренебрегая |
сопротивлением воздуха |
|||||||||||
п ри |
движении |
указанной |
части |
из первоначального |
положения в |
233
конечное, лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наимень-
шее возможное |
значение угловой |
скорости |
маховика |
в |
момент |
ката- |
||||||||||||||||||||||
строфы, если радиус |
маховика |
|
R=l,75 |
|
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ: и= 286 |
обIмин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
31.14 |
(810). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке |
А |
|||||||||||||||||||||||||
круглого |
кольца, расположенного |
в |
вертикальной |
плоскости, |
падает, |
|||||||||||||||||||||||
скользя |
по кольцу без трения. Найти, какова |
должна |
быть |
|
жесткость |
|||||||||||||||||||||||
пружины |
для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
равнялось |
нулю |
при |
следующих |
данных: радиус |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кольца 20 см, вес груза 5 кГ, в начальном поло- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жении |
груза |
расстояние |
AM |
равно 20 |
см и |
пру- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жина |
имеет |
натуральную |
длину; |
начальная |
ско- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рость груза равна нулю; весом пружины прене- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
брегаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Пружина должна удлиняться на 1 см |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при |
действии |
силы, равной |
0,5 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
К |
задаче 31.14. |
|
|
31.15 |
(811). Определить |
|
давление |
груза |
|
М на |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кольцо в нижней точке В (чертеж |
предыдущей |
||||||||||||||||||||
задачи) при следующих данных: радиус |
кольца |
20 см, |
вес груза |
7 кГ; |
||||||||||||||||||||||||
в |
начальном |
положении груза |
|
расстояние AM |
|
равно 20 |
см, |
причем |
||||||||||||||||||||
пружина |
растянута |
и длина |
ее |
вдвое |
более |
натуральной |
длины, ко- |
|||||||||||||||||||||
торая |
равна |
10 |
см; |
жесткость |
|
пружины |
такова, |
что |
она |
удлиняется |
||||||||||||||||||
на |
1 см |
при действии *силы |
|
в 0,5- кГ; начальная |
скорость |
|
груза |
|||||||||||||||||||||
равна нулю; весом пружины пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ: Давление направлено вверх и равно |
7 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
31.16 (812). Гладкое тяжелое кольцо М весом |
Q может |
сколь- |
|||||||||||||||||||||||||
зить |
без |
трения |
по дуге |
окружности |
радиуса |
R |
см, |
расположенной |
||||||||||||||||||||
в |
вертикальной |
плоскости. |
К кольцу |
привязана |
упругая |
нить |
|
МОА, |
||||||||||||||||||||
проходящая |
|
через |
гладкое |
неподвижное |
кольцо |
|
О |
и |
закрепленная |
|||||||||||||||||||
в |
точке |
А. Принять, что натяжение нити равно |
|
нулю, когда кольцо М |
||||||||||||||||||||||||
находится |
в |
точке |
О, и что |
для вытягивания |
|
нити |
на |
1 см |
нужно |
|||||||||||||||||||
приложить |
силу |
с. В начальный момент кольцо |
находится |
в точке |
В |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в неустойчивом |
равнове- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сии |
|
и при ничтожно малом |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
толчке начинает скользить |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
окружности. Опреде- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лить |
давление |
|
N, произ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водимое |
кольцом |
на ок- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ружность. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
N= |
|
2Q -j- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f |
cR + 3 (Q + сR) cos 2<p; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
давление |
направлено на- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ружу |
при N>0, |
внутрь |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
JV<0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
К |
задаче 31.16. |
|
|
К |
задаче 31.17. |
|
|
|
|
|
31.17 |
(813). Груз под- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вешен |
|
на |
|
нити |
|
дли- |
|||||
ной |
50 |
см |
|
в неподвижной |
точке |
О. В |
начальном |
положении |
Мо |
|||||||||||||||||||
груз |
отклонен |
от |
вертикали |
на |
|
угол |
60° |
|
и |
ему |
|
сообщена |
234
скорость va в |
вертикальной |
плоскости |
по перпендикуляру |
к нити |
||||||||||||||
вниз, |
равная |
350 |
см/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) |
Найти |
тоположение М груза, в котором натяжение |
нити бу- |
||||||||||||||
дет равно |
нулю, и скорость |
vt |
в этом |
положении. |
|
|
|
|||||||||||
|
2) |
Определить |
траекторию |
последующего |
движения груза до |
того |
||||||||||||
момента, |
когда |
нить будет |
опять |
натянута, и время, в течение кото- |
||||||||||||||
рого точка пройдет эту траекторию. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ответ: |
1) Положение М находится над |
горизонталью |
точки О |
||||||||||||||
на |
расстоянии MD = 25 |
см; |
г>1 = 157 |
см/сек. |
|
|
|
|
||||||||||
|
2) |
Парабола |
МАВС, |
уравнение |
которой, |
отнесенное к осям Мх |
||||||||||||
и |
My,- будет у = лг|Лз—0,08JC2 ; |
груз |
описывает |
эту параболу |
в те- |
|||||||||||||
чение |
0,55 |
сек, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
31.18 |
(814). |
Математический маятник установлен насамолете, ко- |
|||||||||||||||
торый |
поднимается |
на высоту |
10 км. На какую |
часть длины |
надо |
|||||||||||||
уменьшить |
длину нити маятника, чтобы период малых колебаний |
|||||||||||||||||
маятника |
на этой |
высоте |
бстался |
без изменений? |
Силу тяжести |
счи- |
||||||||||||
тать |
обратно |
пропорциональной |
|
квадрату У/////////////////////// |
||||||||||||||
расстояния до центра Земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: |
На |
0,00313/, |
где |
/— длина |
нити |
|
|
|
|
||||||||
на |
поверхности |
Земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
31.19 |
(815). В неподвижной точке О по- |
|
|
|
|
||||||||||||
средством |
нити |
ОМ длиной |
/ |
подвешен |
|
|
|
|
||||||||||
груз М с |
массой |
т. В начальный |
момент |
|
|
|
|
|||||||||||
нить ОМ |
|
составляет |
с вертикалью |
угол а и |
|
|
|
|
||||||||||
скорость |
груза |
М равна |
нулю. |
При |
после- |
|
|
|
|
|||||||||
дующем |
движении |
нить |
встречает |
тонкую |
|
|
|
|
||||||||||
проволоку |
О\, |
направление* которой |
перпен- |
|
К задаче 31.19.' |
|
||||||||||||
дикулярно |
к |
плоскости |
движения |
груза, а |
|
|
|
|
||||||||||
положение определяется полярными коорди- |
|
|
|
|
||||||||||||||
натами: h = OOi ир. Определить наименьшее |
|
|
|
|
||||||||||||||
значение угла а, при котором |
нить ОМ после |
|
|
|
|
|||||||||||||
встречи |
с |
проволокой будет на нее нави- |
|
|
|
|
||||||||||||
ваться, а также |
изменение натяжения |
нити в |
|
|
|
|
||||||||||||
момент еевстречи |
с проволокой. Толщиной |
|
|
|
|
|||||||||||||
проволоки |
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а. =. arccos у ( у -f-cos {Jj — -^ ; натяжение нити увеличивается на величину
31.20 (816). Тяжелая точка М, вес которой равен Р, движется по внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса г.
Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, определить давление точки на цилиндр. Начальная скорость точки равна по величине ^о и составляет угол я с горизонтом.
„ |
кг |
Po|cos2o |
. |
Ответ: N——- |
235
. 31.21 (817). В предыдущей задаче составить уравнения движения точки, если в начальный момент точка находилась на оси х.
^ |
Г#о COS О Л |
. |
[Vo COS а Л |
Ответ: |
x = rcos\-~—t\; |
y = r sin |
- ^ — 1 \ ; |
31.22 (818). Камень Мг находящийся на вершине А гладкого полусферического купола радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость г>о. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях v0 камень сойдет с купола в начала ный момент? Сопротивлением движению
камня по куполу пренебречь.
|
Ответ: Ф = |
|
|
|
31.23 |
(819). |
Точка М с массой т дви- |
К задаче 31.22. |
жется по гладкой поверхности полусфери- |
||
|
ческого |
купола |
радиуса R. Считая, что на |
точку действует сила |
тяжести, параллельная оси г, и зная, что в на- |
||
чальный момент точка |
имела скорость Va и находилась на высоте ka |
||
от основания купола, |
определить давление точки на купол, когда |
||
она будет на высоте h от основания купола. |
|||
Ответ:N=n-[ |
iy |
|
|
К задаче 31.23. |
К задаче 31.24. |
31.24 (820). Точка М с массой т движется по цепной линии |
под |
действием силы отталкивания, параллельной оси Оу, направлен- |
ной |
от оси Ох и равной kmy. В момент £= 0 х= 1 м, х= 1 м/сек. |
Определить |
давление iV точки на кривую и движение точки при |
k = 1 сек"8 и |
а=\ м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кри- |
визны цепной линии равен У/а.
Ответ: N==0; x — {\-\-i)M.
31.25 (821). По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отно-
шению к трубке в равновесии, если трубка врашаегся с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Оу?
Ответ: По параболе у = -~ — jca -j- с.
К задаче 31.25. |
|
|
|
|
|
31.26(822). Точка УИ с массой т=\ |
г |
движется по |
гладкой |
||
поверхности круглого конуса, угол раствора |
которого 2а = |
90°, под |
|||
влиянием силы отталкивания от |
вершины О, пропорциональной рас- |
||||
стоянию: F = |
с • ОМ дин, где с = |
1 дин/см. В |
начальный момент точка |
||
М находится |
в точке А, расстояние ОА равно |
а = 2 см, начальная |
скорость г>о= 2 см/сек и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки М (силой
тяжести пренебрегаем). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Положение |
точки М определяем |
коорди- |
|
||||||||
натой z и |
полярными |
координатами |
г |
и tp в |
|
||||||
плоскости, |
перпендикулярной |
к оси Ог; |
урав- |
|
|||||||
нение поверхности |
конуса |
r s |
— z s = 0 . |
|
|
||||||
Ответ: гг |
= |
е4* -j-1 |
|
|
|
|
|
|
|||
31.27 |
(823). |
При |
условиях |
предыду- |
|
||||||
щей задачи, считая |
ось конуса направлен- |
|
|||||||||
ной по вертикали вверх и учитывая силу |
|
||||||||||
тяжести, определить давление точки на |
|
||||||||||
поверхность конуса. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: N=m |
sin a \g-\ |
|
^ s — • |
|
|||||||
31.28 |
(824). |
Материальная |
точка А |
|
|||||||
ПОД действием |
СИЛЫ ТЯЖеСТИ ДВИЖеТСЯ ПО |
К задаче 31 28. |
|||||||||
шероховатой |
винтовой |
поверхности, |
ось |
|
которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z = ay -\-/(r); коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ=Гь т. е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а = const.
Указание . Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную,
237
главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке А. На чертеже угол между йормальной компонентой N реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали п° обозначен через р.
Ответ: Движение по винтовой линии возможно при условии tga — A / l + / ' 2 Co) cos3 a = 0 ,
где tg a = a/r0; скорость движения v = Vgrof |
(r0). |
|
|
||
- 31.29. Тело К, размерами которого |
можно пренебречь, |
установ- |
|||
лено в верхней |
точке А шероховатой |
поверхности |
неподвижного |
||
полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную |
скорость |
||||
г%, направленную |
по касательной к цилиндру, |
нужно |
сообщить телу |
К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра,
если коэффициенты |
трения скольжения при движении и покое оди- |
|
наковы и равны /? |
|
|
Ответ: v0 |
[У |
е~фо ~(1~ Я/3)], |
где fO = |
|
|
К задаче 31.29. |
К задаче 31 30. |
31.30. Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость Vo,направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен /.
Ответ:
§ 32. Колебательное движение
а) С в о б о д н ы е к о л е б а н и я
32.1 (825). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу в 20 Г. В некоторый момент к ниж-
нему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С
238
весом 100 Г и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и
указать |
амплитуду |
и период |
ее |
колеба- |
|
|
|
|
||||||
ний, отнеся движение гири к оси, про- |
|
|
|
|
||||||||||
веденной вертикально |
вниз из положения |
|
|
|
|
|||||||||
статического |
равновесия |
гири. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
х==—5 |
cos I4t |
см; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
а = Ь см; |
Т = |
0,45 |
сек. |
|
|
|
|
||||
32.2 |
(826). При равномерном спуске |
|
|
|
|
|||||||||
груза весом |
Q = |
2 т со |
скоростью v== |
|
|
• |
||||||||
= 5 м/сек |
|
произошла |
неожиданная за- |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
держка верхнего конца троса, на котором |
|
|
|
|
||||||||||
спускался |
груз, |
благодаря |
защемлению |
к задаЧе згл |
к ^ ч е |
32 2. |
||||||||
троса в обойме блока. Пренебрегая весом |
|
|
|
|
||||||||||
троса, определить |
его |
наибольшее натяжение при |
последующих |
коле- |
||||||||||
баниях |
груза,- если коэффициент жесткости |
троса |
с = |
4 т/см. |
|
|||||||||
Ответ: F = 47,l т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32.3 |
(827). Определить |
наибольшее натяжение троса в предыду- |
||||||||||||
щей задаче, |
если |
между |
грузом |
и тросом |
введена упругая пружина |
|||||||||
с коэффициентом жесткости |
ct |
= |
0,4 т/см. |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: F = 1 5 , 6 |
|
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32.4 |
(828). Груз |
|
Q, падая |
с высоты h = 1 м |
без |
начальной ско- |
||||||||
рости, |
ударяется |
об |
|
упругую |
горизонтальную балку |
в ее середине;' |
концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если
статический прогиб балки в ее середине |
при указанной нагрузке |
равен 0,5 см; массой балки пренебрегаем. |
|
Ответ: х = {— 0,5 cos 44,3^ -j- 10 sin 44,3*) см. |
|
32.5 (829). На каждую рессору вагона |
приходится нагрузка Р кГ; |
под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах.
Упругое |
сопротивление |
рессоры |
пропорционально |
стреле |
ее |
про- |
|||||||||||
гиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Г = |
0,45 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32.6 |
(830). |
Определить |
период |
свободных колебаний фундамента |
|||||||||||||
машины, |
поставленного |
на |
упругий |
грунт, |
-если |
вес |
фундамента |
||||||||||
с машиной Q = |
90 T, площадь |
подошвы фундамента 5 = |
15 м%, коэф- |
||||||||||||||
фициент |
жесткости |
грунта |
c=kS, |
где |
Х = |
|
3 кГ/см* — так называе- |
||||||||||
мая удельная |
жесткость |
грунта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
Г = |
0,09 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32.7 |
(831). |
|
Найти |
период |
свободных |
вертикальных |
колебаний |
||||||||||
корабля |
в спокойной воде, если вес корабля |
Р т, площадь |
его |
гори- |
|||||||||||||
зонтального |
сечения |
5 / |
и не |
зависит от |
высоты |
сечения; вес |
1 м3 |
||||||||||
воды равен |
|
1 т. |
Силами, |
обусловленными |
вязкостью |
воды, |
пре- |
||||||||||
небречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : Г = |
|
2 |
/ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 9
32.8. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью.
Ответ: у = — ^- cos I/ ~t м.
32.9 (836). Груз, вес которого равен Р н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия,
груз начинает совершать колебания. Выразить |
длину нити х в функ- |
|||
ции времени и найти, какому |
условию должна |
удовлетворять началь- |
||
ная длина |
ее х9, чтобы во |
время движения |
гири нить оставалась |
|
натянутой. |
Натяжение нити |
пропорционально |
удлинению;4 |
длина ее |
в нерастянутом состоянии равна /; от действия |
статической |
нагрузки, |
равной q я, нить удлиняется |
на 1 см. Начальная скорость груза |
|
равна нулю. |
|
|
Ответ: х —/-\- ~ -J- !х9 |
— I — |
-t |
|
|
42Р
32.10(837). На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на чертеже, цилиндрических шкива одинакового радиуса
|
свободно положен однород- |
||
|
ный стержень; центрышки- |
||
|
вов |
О] и Ов находятся на |
|
|
горизонтальной прямой OiOs; |
||
|
расстояние OiOa = 2/; |
стер- |
|
|
жень |
приводится в движе- |
|
|
ние силами трения, разви- |
||
|
вающимися в точках |
каса- |
|
К задаче 32.10. |
. ния |
его со" шкивами; эти |
|
|
силы пропорциональны дав- |
лению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен /.
1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х0 при г)0==0.
2) Найти коэффициент трения /, зная, что период колебаний Г стержня при / = 2 5 см равен 2 сек.
KjtUQcni, II X Ло LOS I I/ |
~~r-1 11 |
Zl |
Гтгг |
< |
\r |
I /' |
' J |
gT* |
|
32.11 (838). К одной и той же пружине |
подвесили сначала груз |
|||
весом р, а в,о второй раз груз весом |
Ър. Определить, во сколько раз |
изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также, начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и-отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
Ответ: ^ =Vd; |
Xl =~£-cosV^t; |
xi=-~^cQSV^t. |
|||
* 1 |
Q |
w P |
' |
С f |
of) |
3112. К пружине жесткостью с —2 |
tcrjcM сначала |
подвесили |
|||
груз P t = 6 кГ, а затем |
груз |
Р%=\2кГ |
(вместо |
первого груза). '' |
240