ФБТ БИ 2курс / Magnetizm

вектора необхідно додати проекції всіх векторів dB на вісь Ox.

dBx=dBcos =

μμ0I0dl

cos

4π r3

Інтегруючи цей вираз по всім dl, що

дає 2πR, враховуючи, що

1

1

cosφ=Rr , r = a2+R2 2 , отримуємо:cosφ=Rr ,

r = a2+R2 2

B=

μμ

0

2πR2I

1

4π a2+R2 2

Оскільки B=μμ0H, то

H=

R2I

3

2 a2+R2 2

Підставивши числові данні отримаємо H=12,7 А/м

Задача №1.4

По тонкому

провіднику у

вигляді

.

R = 20 см

протікає струм

кільця радіусом

= 100

Перпендикулярно до площини

кільця порушено однорідне магнітне поле

індукцією

кільце.

. Визначити силу F

яка розтягує = 20 мТл

Розв’язок:

Виділимо на кільці диференційну малу ділянку довжиною dl (що утворює кут α). З рис. видно, що dl=Rsinα

Умова рівноваги кільця:

2Fsinα = F

р 2

де F – сила Ампера

21

F=IBdl, тобто 2Fpsinα2=IBRsinα

Для малих кутів sin , тоді:

2F	α	=IBRα	F =IBR
p 2			p

Підставивши числові значення отримаємо:Fp = 0,4 H.

Задача №1.5

Плоска квадратна рамка зі стороною a = 20 см

лежить в одній площині з нескінченно довгим прямим дротом, по котрому протікає струм = 100 . Рамка розташована так що найближча до дроту сторона паралельна йому і знаходиться на відстані L = 10 см від дроту.

Визначити магнітний потік Ф, який пронизує рамку.

Розв’язок:

Магнітний потік, що пронизує рамку визначаємо за формулою:

Φ= BndS

s

Магнітну індукцію визначаємо:

B= 2πxμ0I

тоді

dΦ=B(x)dS

μ

I

adx, Φ=

μ

Ia L+a dx

=

μ

Ia

lnx

L+a

=

μ

Ia

ln

L+a

dΦ=

0

0

0

a

0

.

2πx

2π

x

2π

2π

a

L

Підставимо числові значення: Φ=1,62 мкВб.

22

Запитання та завдання для контролю:

1.Записати і пояснити закон Ампера.

2.Дати означення індукції магнітного поля.

3.Що таке потік вектора індукції?

4.Записати і пояснити закон Біо - Савара - Лапласа.

5.Як визначається величина і напрямок магнітного поля прямого провідника зі струмом?

6.Як визначається величина і напрямок магнітного поля заряду, що рухається?

7.Як визначається величина і напрямок магнітного поля колового витка зі струмом?

Допоміжна література

1.Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П., Загальний курс фізики. Т.2.

– К.: Техніка,2001р. – 452 с.

2.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. - М.: Наука. 1978г. – 480 с.

Иродов И.Е. Електромагнетизм. – М.: Физматлит. 2000 г. – 350с.

23

Лекція 2

Тема: «Закон повного струму»

Питання лекції:

1.Циркуляція вектора В (H) для випадку нескінченно довгого провідника зі струмом, обхопленого контуром.

2.Закон повного струму.

3.Вихровий характер магнітного поля. Теорема Остроградського - Гауса для магнітного поля.

4.Застосування закону повного струму для розрахунку магнітного поля соленоїда, тороїда.

1.Циркуляція вектора індукції В

(вектора напруженості H) магнітного

поля для випадку нескінченно довгого

провідника зі струмом

Циркуляцією вектора			В	називається		Рис. 2.1
інтеграл виду:
		= Bd				(2.1)
Bd				cos B,d = B d

Знайдемо значення цього інтеграла для випадку, коли контур l охоплює нескінченно довгий провідник зі струмом. Нехай провідник прямолінійний і перпендикулярний до площини листа, у якій знаходиться контур l (рис. 2.1). У кожній точці контуру l вектор В напрямлений по дотичній до кола,

що проходить через цю точку (наприклад, А). Виберемо обхід контуру і

24

візьмемо відрізок dl у точці А.

Для трикутників ACD і АВl В, які подібні, можемо записати:

				dl	=	B	(2.2)
звідки	В d =	d	.	d		B
Підставимо це значення в (2.1):					=		Bbd , де d = bd .
		B d =		Bd

Оскільки для прямолінійного провідника зі струмом:

			B =	μ I		,то
				2πb
=	=	2		=	2	B	=	2	2 =	(2.3)
Таким чином, циркуляція вектора							для	випадку		нескінченного
провідника, що охоплюється контуром l, має							вигляд:

=(2.4)

2. Закон повного струму

Якщо контур струму не охоплює, то циркуляція становить нуль. Дійсно, при обході контуру радіус-вектор r

описує спочатку додатні кути α,

а потім від'ємні (рис.2.2), так що

Рис. 2.2

dα=0. l

25

Тому для контуру l, який не охоплює струм:

= 0 (2.5)

Зазначимо, що контур, який охоплює струм,

може мати будь-яку форму і від цього циркуляція вектора B не залежить. Дійсно, для частини контуру l’ (рис. 2.3):

= 0

тому загалом:

=(2.6)

Аналогічно можна записати для вектора H:

=(2.7)

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Ми розглянули плоскі контури, але все викладене справедливе і для неплоских контурів, а також для нескінченних провідників не тільки прямолінійних, а будь-якої форми.

Очевидно, якщо контур охоплює декілька струмів І1, І2, …, то їхні вектори магнітного поля у певній точці А (рис. 2.4) додаються (згідно з принципом суперпозиції) і вираз для циркуляції можемо записати таким чином:

=(2.8)

Це і є закон повного струму. Тут сума алгебрична. Додатними спід вва-

жати струми, які зв'язані з обходом контуру правилом правого свердлика, а

від'ємними - навпаки.

26

Рис. 2.6

3. Вихровий характер магнітного поля. Теорема Остроградського –

Гауса для магнітного поля

Порівняємо вирази для циркуляції векторів В і Е:

=−

(2.9)

= −

Рис. 2.5

а для замкненого контуру (рис. 2.5):

= 0

(2.10)

(циркуляція дорівнює нулю). Це умова потенціальності поля.

Для магнітного поля:

=	≠ 0 (2.11)

Тобто, магнітне поле не є потенціальне і при обході контуру ми не отримуємо того ж потенціалу - він змінюється на μ0 І.

Поля, для яких циркуляція вектора не дорівнює нулю, називаються вихровими або соленоїдальними. Таким є магнітне поле. Існує також вихрове електричне поле. Силові лінії цих полів замкнені. Знайдемо потік вектора В

через замкнену поверхню S (рис. 2.6):

27

Ф =	= 0 (2.12)

Цей потік дорівнює нулю, бо силові лінії магнітного поля замкнені і скільки їх входить у поверхню, стільки й виходить. Рівняння (2.12), таким чином, є теоремою Остроградського - Гауса для магнітного поля.

У випадку електричного поля потік вектора напруженості дорівнює алгебричній сумі зарядів охоплених замкненою поверхнею, діленій на ε0:

∑

=

Оскільки для магнітного поля потік вектора В становить нуль, то можна зробити висновок, що магнітних зарядів не існує.

4. Застосування закону повного струму для розрахунку магнітних полів

а) магнітне поле нескінченно довгого соленоїда

На рис. 2.7 показано нескінченно довгий соленоїд, всі витки зі струмом якого обхоп-

лені прямокутним контуром QPRTQ так, що

сторона RT	нескінченно	далека	від		Рис. 2.7
соленоїда. Теорему про циркуляцію
запишемо таким чином:		+	+	=	(2.13)
=	+

28

де N - кількість витків соленоїда, обхоплених контуром. Щоб визначити В ,

треба показати, що:

= 0;

= 0;

= 0 (2.14)

Магнітне поле соленоїда складається з полів усіх витків. У середині соленоїда поля кожного з витків додаються і в точках K, L, M, N деякої лінії, паралельної до осі соленоїда, поле повинне бути однаковим (рис.2.8).

Рис. 2.8

Оскільки магнітне поле можна представити за допомогою ліній індукції, то, очевидно, ці лінії будуть паралельні до осі соленоїда.

Однак, при виході із соленоїда лінії індукції повинні розходитись і,

оскільки магнітне поле є вихровим,

замикатись через нескінченність. Рис. 2.9

Очевидно, що на нескінченності їх

густина дорівнює нулеві. Отже, якщо частина контуру TR проходить на великій відстані від соленоїда, де В = 0 , то:

= 0

Тепер доведемо, що:

29

== 0

Для цього розглянемо ділянку соленоїда, де проходить, наприклад,

частина контуру PR (рис. 2.9). Виділимо деякий елемент струму в точці C’

на відстані h від PR. Цей елемент створює в точці S на ділянці контуру PR

поле dB’.

Відповідний симетричний елемент струму в точці

з іншого боку від

PR створить поле

dB”

. Очевидно, що вектор

результуючого поля

dB =

C”

dB’ + dB”

перпендикулярний до PR , а це означає, що проекція його на

PR дорівнює

нулю, тому

∫

= 0.

= 0

.

Аналогічно й

Таким чином,

циркуляція для контуру

QPRTQ запишеться∫:

=

(2.15)

звідси

=

N

або

B = μ

l

I

(2.16)

де n=N/l - густина

Bвитків= μ nI

соленоїда(2.17).

Зауважимо,

що

в

даному

випадку значення В не залежить від

того, в якому

місці

соленоїда

проходить

сторона контуру QP .

Виходить, що поле в соленоїді у перерізі однорідне. Однак навряд чи можна вважати такий висновок коректним. Очевидно, розрахунок індукції магнітного поля соленоїда треба робити, користуючись більш строгими

30