MU_samostoyatelnoy_rabote

y x .

Таблица 1.2
Шаг	х	f(x)	Ошибка ɛ
1	0.4	-1.246
2	0.733	-0.657
3	0,839	-0,16232
4	0,86148	-0,03201
5	0.86578	-0.00598
6	0.86658	-0.0011
7	0.86673	-0.00018	0,00018< 0,0001

Метод простых итераций

Представим исходное уравнение f x

= 0 в виде =

.

Пусть нам известно начальное приближение к корню 0

0

, .

Подставив его в правую часть уравнения

=

получим

новое

приближение

1

= 0 ,

затем

аналогичным

образом

получим 2 =

и так далее,

= .

1

+1

Оказывается,

что

при

определенных

свойствах

функции последовательность , ,

… . , , … , определяемая по формуле

1

2

=

, сходится к корню уравнения

= 0.

+1

Рассмотрим

графически

процесс

получения

приближений

в

методе

простых итераций (рис.5). Необходимо отыскать точку пересечения кривой y x и прямой

На рисунке 1.3, (а) изображена некоторая кривая y x , которая может представлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то

обстоятельство, что		производная этой функции в окрестности			корня
	Пусть	x x	*	- корень уравнения, который, естественно,
1 y 0.
предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке						х0 .
Следующее	приближение			x1 (х0 ). Для того, чтобы отобразить	х1	на

графике можно провести через точку (х0 , f (x0 )) прямую, параллельную оси OX , до пересечения с прямой y x , а затем в точке пересечения этих прямых опустить перпендикуляр на ось OX , который и отметит положение точки x1 . Аналогично получаются все последующие приближения. Из рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения мы взяли функцию, производная которой ' x 1.

11

Наконец, рассмотрим случай, когда произвольная функции

Рисунок 1.3. Метод простых итераций: а) односторонний сходящийся процесс; б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.

Рассмотрим теперь другую функцию y x , производная которой отрицательна, ' x 1 по абсолютному значению. Этот случай изображен

на рисунке 1.3, в). Последовательные приближения также сходятся к корню, но на этот раз каждое последующее приближение находится с противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все

последовательные приближения находились с одной стороны от корня.

' x 1

(рис. 1.3, б) и ' x 1 (рис. 1.3, г). В обоих случаях каждое последующее

приближение отстоит дальше от корня, т.е. итерационный процесс расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный

12

процесс сходится при условии, что производная ' x 1.

Пример

Методом простых итераций уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.

= − 5

Преобразуем уравнение к виду:

	=			, т.е ( ) =
		5			5

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [0,2, 0,3]. Вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим:

0.2 = 0.221 > 0

0.3 = −0.150 < 0

т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.

Рисунок 6

13

Рисунок 7 Зависимости y=x, y=φ(x)

Определяем первую и вторую производные функции f(x)

( )/ =

5

( )// =

5

Так как ( )// > 0 на отрезке [0,2, 0,3], то производная ( )/ > 0 и монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка ( )/ = 0.2699 < 1 . Следовательно процесс итерации сходится не зависимо от начального значения 0.

1	=		ex0			=	e0.2		= 0.244281
				5			5
		ex1				e0.244281
2 =				=						= 0.255341
	5						5
	ɛ = 1 − 2								= 0.011
		ex2				e0.255341
3 =				=						= 0.255818
	5						5
ɛ = 2						− 3			= 0.00284
							14

4	=	ex3	=	e0.258914		= 0.259104
		5			5
ɛ = 3 − 4					= 0.00097 < 0.001

Метод Ньютона (касательных)

Метод Ньютона (касательных) является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится, так как имеет квадратичную сходимость, и имеет различные модификации. Однако этот метод эффективен

при весьма жестких ограничениях на функцию		f ( x ):
а) существование второй производной f
		(x) на интервале [a, b].
Если ƒ"(х) во всех точках интервала [а;b]		ƒ"(х)<0, то график функции в

этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 xє(а;b) — график выпуклый вниз. В противном случае график линейный;

б) удовлетворение первой производной условию f (x) 0 для всех значений x на интервале [a, b]. Функция на рассматриваемом интервале не

имеет экстремумов;

в) знакопостоянство f ( x ) и f ( x ) для всех значений x на данном

интервале.

Геометрическая интерпретация метода Ньютона приведена на рис.1.4.

Рисунок 1.4 – Графическая интерпретация нахождения корней функции y f ( x ) методом Ньютона

В качестве начального приближения в зависимости от свойств функции

15

берется

или левый конец интервала [a,b], т.е. x0=a если f (a) f
	(x) 0

или правый конец интервала [a,b], т.е. x0=b если f (b) f
	(x) 0
т.е. итерации сходятся к корню с той стороны, с которой
f (x) f (x ) 0

Рисунок 1.5

Далее строится касательная к кривой y f ( x ) в точке x0 , т.е. кривая

заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение аргумента не станет меньше заданной величины

16

Выведем расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой ВС возьмем участок АВ – касательную, проведенную в точке ( x0 , f (x0) ). Для

этого отрезка справедливо конечное соотношение

	f (x0) 0	f (x0) tg ,
	x0 x1

Решая соотношение (4.1) относительно x1 , получим

f (x )

x1 x0 f (x0 ) .

0

В общем виде выражение (4.2) будет иметь вид

f (x )

xk 1 xk f (xk ) .

k

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Достоинства метода – это один из самых быстро сходящихся методов. Там, где при использовании метода бисекции выполняется 20 итерации, методом Ньютона достаточно выполнить 2 – 3 итерации.

Недостатки метода – жесткие требования к функции, перечисленные выше. Кроме того, необходимо вычисление не только функции, но и ее производной, что увеличивает трудоемкость расчетов.

Пример

Методом Ньютона (касательных) уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.

= 4 + 2 3 − − 1 = 0

Решение:

1. Проверяем существование второй производной f (x) на интервале

0,1

// = 12 2 + 12

На всем интервале 0,1 // > 0 следовательно график функции в этом интервале выпуклый вверх.

2. На интервале 0,1 проверяем условие f (x) 0

/ = 4 3 + 6 2 − 1;

Находим корни уравнения 4 3 + 6 2 − 1 = 0 с помощью команды

Mathcad

17

где: d - корень уравнения 4 3 + 6 2 − 1 = 0;

root - встроенная функция Matcad позволяющая определять корни уравнений;

x - переменная функции;

0,1 - интервал на котором определяются корни.

Так как первая производная f (x) 0при x=0.366, то уточнять значение корня f (x) будем или на интервале [0.366;1], или [0;0.366].

3. Проверяем знакопостоянство f ( x ) и				f ( x ) на интервале 0,1 .
f		x ϵ [0; 0.366] ;
	(x) 0,
f		x ϵ [0.366; 1] ;
	(x) 0,
f (x) 0, x ϵ [0; 1].
	Следовательно уточнять корни будем на интервале [0.366; 1] с правого
	конца интервала, так как f (1)			0
			f (x)

Воспользуемся формулой

1 = 14 + 2 13 − 1 − 1 = 1

/ 1 =4*1+6*1-1 =9

(1)

1 = 1 − /(1) = 0,8888

0,8888 = 0,88884 + 2 0,88883 − 0,8888 − 1 = 0,14007/ 0,8888 = 4 0,8888 + 6 0,8888 − 1 = 0,65500

(0,8888)

2 = 0,8888 − /(0,8888) = 0,8675= 2 − 1 = 0,8888 − 0,8675 = 0,02138

0,8675 = 0,86754 + 2 0,86753 − 0,8675 − 1 = 0,0045/ 0,8675 = 4 0,8675 + 6 0,8675 − 1 = 6,1267

(0,8675)

3 = 0,8675 − /(0,8675) = 0,8667

= 3 − 2 = 0,8667 − 0,8675 = 0,00074 < 0,001

18

Интерполирование

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых.

Интерполя́ция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

К интерполяционным методам можно отнести: кусочно-постоянную, кусочно-линейную интерполяцию, кубический интерполяционный сплайн, интерполяционный многочлен Лагранжа.

Кусочно-постоянная интерполяция
На каждом отрезке					, интерполяционный многочлен равен константе,
			−1
а именно левому или правому значению функции.
Для левой кусочно-линейной интерполяции						=	, если	≤ < ,
						−1	−1
т.е.
	0,	0	≤ < 1
=	1, 1		≤ < 2
	… … … … … … … …
		,		≤ <
	−1	−1

Рисунок 2.1 Левая кусочно-постоянная интерполяция

Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

= , если −1 ≤ <

19

1, 0 ≤ < 1

= 2, 1 ≤ < 2

… … … … … … … …

, −1 ≤ <

Рисунок 2.2 Правая кусочно-постоянная интерполяция

Пример

Интерполировать функцию используя кусочно-постоянную интерполяцию на интервале [0,5]

			= 0.1 + 0.3
Таблица 2.1 Для левой кусочно-линейной интерполяции
Узел	0	1	2	3		4	5
xi	0	1	2	3		4	5
f(xi)	1	1.4499	2.0221	2.7596		3.7500	4.9817
Интервал	[0,1]	[1,2]	[2,3]	[3,4]		[4,5]
Таблица 2.2 Для правой кусочно-линейной интерполяции
Узел	0	1	2	3		4	5
xi	0	1	2	3		4	5
f(xi)	1	1.4499	2.0221	2.7596		3.7500	4.9817
Интервал		[0,1]	[1,2]	[2,3]		[3,4]	[4,5]

Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале −1, функция является линейной ( ) = + .

20