19.4. Принцип Гюйгенса—Френеля

Объяснение и приближенный расчет дифракции света можно осуществить, используя принцип Гюйгенса—Френеля.

Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхностью в последующий момент времени (рис. 19.9; S₁ и S₂ — волновые поверхности соответственно в моменты t_l и t₂; t₂ > t₁.

Френель дополнил это положение Гюйгенса, введя представление о когерентности вторичных волн и их интерференции. В таком обобщенном виде эти идеи получили название принципа Гюйгенса—Френеля.

Д

Рис. 19.9

ля того чтобы определить результат дифракции в некоторойточке пространства, следует рассчитать, согласно принципу Гюйгенса—Френеля, интерференцию вторичных волн, попавших в эту точку от различных элементов волновой поверхности. Для волновой поверхности произвольной формы такой расчет достаточно сложен, но в отдельных случаях (сферическая или плоская волновая поверхность, симметричное расположение точки относительно волновой поверхности и непрозрачной преграды) вычисления сравнительно просты. Волновую поверхность при этом разбивают на отдельные участки (зоны Френеля), расположенные определенным образом, что упрощает математические операции.

19.5. Дифракция на щели в параллельных лучах

На узкую длинную щель, расположенную в плоской непрозрачной преграде MN, нормально падает плоскопараллельный пучок монохроматического света (рис. 19.10; АВ = а — ширина щели; L — собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран Э для наблюдения дифракционной картины).

Е

Рис. 19.10

сли бы не было дифракции, то световые лучи, пройдя черезщель, сфокусировались бы в точке О, лежащей на главной оптической оси линзы. Дифракция света на щели существенно изменяет явление. Будем считать, что все лучи пучка света исходят от одного удаленного источника и, следовательно, когерентны. АВ есть часть волновой поверхности, каждая точка которой является центром вторичных волн, распространяющихся за щелью по всевозмож­ным направлениям. Изобразить все эти вторичные волны невозможно, поэтому на рис. 19.10 показаны только вторичные волны, распространяющиеся под углом  к направлению падающего пучка и нормали к решетке. Линза соберет эти волны в точке О' экрана, где и будет наблюдаться их интерференция. (Положение точки О' получают как пересечение с фокальной плоскостью побочной оси СО' линзы, проведенной под углом .)

Чтобы узнать результат интерференции вторичных волн, проделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр AD к направлению пучка вторичных волн. Оптические пути всех вто­ричных волн от AD до О' будут одинаковыми, поскольку линза не вносит добавочной разности фаз между ними, поэтому та разность хода, которая образовалась у вторичных волн к AD, будет сохранена и в точке О'.

Разобьем BD на отрезки, равные /2. В случае, показанном на рис. 19.10, получено три таких отрезка: ВВ₂ = В₂В₁ = B₁-D = /2. Проведя из точек В₂ и В₁ прямые, параллельные AD, разделим АВ на равные зоны Френеля: АА₁ = А₁А₂ = A₂B. Любой вторичной волне, идущей от какой-либо точки одной зоны Френеля, можно найти в соседних зонах соответствующие вторичные волны такие, что разность хода между ними будет /2. Например, вторичная волна, идущая от точки А₂ в выбранном направлении, проходит до точки О' расстояние на /2 больше, чем волна, идущая от точки А,, и т. д. Следовательно, вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, погасят друг друга, так как различаются по фазе на .

Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны А. и угла а. Если щель АВ можно разбить при построении на нечетное число зон Френеля, a BD — на нечетное число отрезков, равных /2, то в точке О' наблюдается максимум интенсивности света:

BD = a sin  =  (2k + 1)(/2); k = 1, 2, ... . (19.26)

Направление, соответствующее углу  = 0, также отвечает максимуму, так как все вторичные волны придут в О в одинаковой фазе.

Если щель АВ можно разбить на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум интенсивности света:

a sin  =  (2k + 1)(/2) = ± k; k = 1, 2, ... . (19.27)

Таким образом, на экране Э получится система светлых (максимум) и темных (минимум) полос, центрам которых соответствуют условия (19.26) и (19.27), симметрично расположенных влево и вправо от центральной ( = 0), наиболее яркой, полосы. Интенсивность I остальных максимумов быстро убывает по мере удаления от центрального максимума (рис. 19.11).

Если щель освещать белым светом, то на экране Э [см. (19.26), (19.27)] образуется система цветных полос, лишь центральный максимум будет сохранять цвет падающего света, так как при  = 0 усиливается свет всех длин волн.

Рис. 19.11

Дифракция света, как и интерференция, связана с перераспределением энергии электромагнитных волн в пространстве. В этом смысле щель в непрозрачном экране является не просто системой, ограничивающей поступление светового потока, но перераспределителем этого потока в пространстве.

Чтобы понять влияние соотношения между шириной щели и длиной волны на возможность наблюдения дифракционной картины, рассмотрим некоторые частные случаи:

1) . а. Представив формулу для максимумов в виде

sin  =  (2k + 1) /(2а),

имеем sin   0 практически для всех максимумов, и дифракция при этом не наблюдается. Этот случай соответствует достаточно широкой, по сравнению с длиной волны, щели. Так, например, не удается осуществить дифракцию в комнате при прохождении све­та через окно;

2) а < . На основании (19.27) для первых минимумов, которые ограничивают центральную светлую полосу, можно записать

sin  = ± /а.

Отсюда следует, что при заданном условии sin  формально превышает единицу, чего не может быть. Практически в этом случае вместо системы максимумов и минимумов весь экран будет слабо освещен.