Вопрос 4. 15 минут. Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Установленные им для этого случая закономерности имеют важное значение для понимания сущности гемодинамических явлений и их количественного описания.

Пуазейль установил, что вязкость жидкости может быть определена по объему жидкости, протекающей через капиллярную трубку. Этот метод применим только к случаю ламинарного течения жидкости.

Пусть на концах вертикальной капиллярной трубки длиной l и радиусом R создана постоянная разность давлений р. Выделим внутри капилляра столбик жидкости радиусом r и высотой h. На боковую поверхность этого столбика действует сила внутреннего трения:

(17)

Рис. 6 Схема

для вывода формулы Пуазейля.

Если р₁ и р₂ – давления на верхнее и нижнее сечения соответственно, то силы давления на эти сечения будут равны:

F₁=p₁r² и F₂=p₂r².

Сила тяжести равна F_тяж=mgh=r²gl.

При установившемся движении жидкости, согласно второму закону Ньютона:

F_тр+F_{давления}+F_тяж=0,

Учитывая, что(р₁-р₂)=р, dv равно:

Интегрируем:

Постоянную интегрирования находим из условия, что при r=R скорость v=0 (слои, прилегающие непосредственно к трубе, неподвижны):

Скорость частиц жидкости в зависимости от расстояния от оси равна:

Объем жидкости, протекающий через некоторое сечение трубки в пространстве между цилиндрическими поверхностями радиусами r и r+dr за время t, определяется по формуле dV=2rdrvt или:

Полный объем жидкости, протекающей через сечение капилляра за время t:

(19)

В случае, когда пренебрегаем силой тяжести жидкости (горизонтальный капилляр), объем жидкости, протекающий через сечение капилляра, выражается формулой Пуазейля:

(20)

Формулу 20 можно преобразовать: разделим обе части этого выражения на время истечения t. Слева получим объемную скорость течения жидкости Q (объем жидкости, протекающий через сечение за единицу времени). Величину 8l/ 8R⁴ обозначим через Х.. Тогда формула 20 принимает вид:

(21)

Такая запись формулы Пуазейля (ее еще называют уравнением Гагена-Пуазейля) аналогична закону Ома для участка электрической цепи.

Можно провести аналогию между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям. Объемная скорость течения жидкости Q является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I. Гидродинамическим аналогом разности потенциалов ₁-₂ является перепад давлений Р₁ - Р₂. Закон Ома I = (₁-₂)/R имеет своим гидродинамическим аналогом формулу 20. Величина Х представляет собой гидравлическое сопротивление - аналог электрического сопротивления R.

Вопрос 5. 15 минут. Методы определения вязкости жидкости.

Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, и приборы, используемые для таких целей - вискозиметрами.

1. Капиллярные методы основаны на законе Пуазейля и заключаются в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.

Вискозиметр Оствальда.

Вискозиметр Оствальда представлен на рисунке 7.

Рис. 7. Вискозиметр Оствальда.

1 – измерительный резервуар,

2 – кольцевые метки,

3 – резервуар,

4 – капилляр,

5 – груша.

С помощью вискозиметра Оствальда определяют вязкость исследуемой жидкости относительным методом. Измеряют время истечения определенного объема (между двумя метками 2, см. рис. 7.) исследуемой и эталонной жидкостей t и t₀ соответственно. Объемы жидкостей равны:

где р=gl и р₀=₀gl перепад давлений для исследуемой и эталонной жидкостей.

Выразим из формулы величину вязкости исследуемой жидкости:

(22)

где ₀- вязкость эталонной жидкости, в качестве которой чаще всего используют дистиллированную воду.

Вискозиметр ВК-4.

Вискозиметр Оствальда требует много исследуемой жидкости. В клинической практике используют вискозиметр (рис. 8). Капиллярный вискозиметр ВК-4 применяется для определения вязкости крови.

Рис. 8. Внешний вид вискозиметра ВК-4.

1 и 2 – градуированные пипетки, 3 – подставка, 4 – кран, 5 – резиновая трубка, через которую отсасывают воздух из прибора.

Принцип действия вискозиметра ВК-4 состоит в том, что путь, пройденный жидкостью в капиллярах одинакового сечения при одинаковых давлениях и температурах, обратно пропорционален внутреннему трению или вязкости. Отсюда:

(23)

Измерив пути l₀ и l, пройденные дистиллированной водой и кровью, и зная вязкость ₀ дистиллированной воды, находят вязкость  крови.

1. Метод падающего шарика (метод Стокса).

Метод основан на измерении скорости падения маленьких шариков в исследуемой жидкости (рис. 9).

На падающий шарик радиусом r из вещества с плотностью  в вязкой жидкости с плотностью ₀ и вязкостью  действуют силы:

сила тяжести ,

выталкивающая сила ,

сила сопротивления жидкости, которая, согласно закону Стокса, равна F_B=6 rV, где V- скорость шарика.

Рис. 9.

Схема для объяснения

принципа метода Стокса.

При равномерном движении шарика F_тяж = F_A + F_B , откуда

. (24)

Метод применяется при изучении оседания взвешенных частиц (крахмальных зерен, порошка какао и т. п.).

2. Ротационные методы.

Измерение вязкости ротационным вискозиметром основано на определении скорости вращения цилиндра, опущенного в вязкую жидкость.