Основные правила дифференцирования и производные элементарных функций.

Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождение ее производной) придерживаются следующие схемы:

1. выбрав некоторое значение х, дают ему приращениехи находят значение функции в точкех + х, равноеf(x + x);

2. определяют приращение функции: f = f(x + x);

3. составляют отношение f / xи, если возможно, упрощают его;

4. находят производную функции, то есть предел (f / x), если этот предел существует:

Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений второй функции на производную первой и первой функции на производную второй:

Производная частного (дроби) двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату знаменателя дифференцируемой функции, а числитель есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя:

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Функция у = F(x), которая числухставит в соответствие числоf(g(x)), называется функцией отфункции илисложной функцией, образованной из функций f иg в указанном порядке:у = f(g(x)), гдеу = f(u), u = g(x).

Например, если y = u³, u = cos x, тоy = (cos x)³ = cos³ x.

Любую сложную функцию можно представить в виде элементарных функций, которые являются ее промежуточными аргументами.

Пример 1.Функцияу = (х² + 3х)² есть сложная функция отх, так как она состоит из элементарных функцийu = х² + 3х иу = и².

Пример 2. Функцияу = sin lg(5 + 1/x³) есть сложная функция отх, так как она состоит из элементарных функцийt = x³, z = 1/t, u = 5 + z,  = lg u, y = sin .

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.

1. (С)_х = 0.

2. (х)_х = 1.

3. (иⁿ)_x = nu^n-1u_x; (xⁿ)_x = nx^n-1.

4. (u +  - )_x = u_x + _x - _x.

5. (u)_x = u_x + u_x.

6. (Cu)_x = Cu_x;

7. 

8. (a^u)_x = a^uu_x lna.

9. (e^u)_x = e^uu_x; (e^x)_x = e^x.

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Производные высших порядков.

Производные второго и высших порядков. Производнуюf(x) функцииу = f(x)будем называтьпроизводной первого порядкаили простопервой производнойэтой функции. Производная функцииf(x)является функцией от х, её можно дифференцировать .

Производная от производной называется производной второго порядкаили простовторой производной.

Вторая производная обозначается символами: (читается «игрек два штриха по икс»), («эф два штриха от икс»),d²y/dx² («дэ два игрек по дэ икс дважды),d²f/dx² («дэ два эф по дэ икс дважды»).

Исходя из определения второй производной, можно записать:

Вторая производная в свою очередь есть функция от х, и её можно дифференцировать.

Производная второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается

Производная (n – 1)-й производной (n – натуральное число) называется производной n-го порядка или n-й производной и обозначается

Например, для функции f(x) = x⁵ можно найти и так далее.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Найдите производные следующих функций:

1. y=

2. у=

3. у=ln(x²+cosx)

4. y=

Найдите дифференциалы следующих функций:

1. y=

2. y=