Вступительный экзамен 2018 / Раздел 10 (ответы)
.docxРаздел 10. Вычисление площадей плоских фигур.
-
Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.
Найдем точку пересечения кривых :
Для кривых выразим через :
Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:
-
Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.
Найдем точку пересечения кривых:
Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:
-
Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.
Найдем точки пересечения кривых :
Найдем точку пересечения кривой с :
Найдем точку пересечения кривой с :
Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:
-
Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.
Найдем точки пересечения кривых :
Определим с какой из кривых , в точке пересекается кривая :
Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:
-
Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:
Определим промежутки монотонности функции на интервале :
Определим знак функции y на интервале :
Найдем площадь по формуле:
-
Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:
Найдем искомую площадь как умноженная на 4 площадь части фигуры, расположенной в первой четверти.
Определим промежутки монотонности функции на интервале (в первой четверти):
Определим знак функции y на интервале :
Найдем площадь по формуле:
-
Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:
Определим промежутки монотонности функции на интервале :
Определим знак функции y на интервале :
Найдем площадь по формуле:
Примечание. При определение интеграл берется с минусом, т.к. на интервале интегрирования функция монотонно убывает. При определение и интеграл берется с минусом, т.к. они представляют из себя площади пространства ниже искомой фигуры (т.е. не входят в искомую фигуру).
Искомая площадь равна:
Ответ:
-
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах как
Ответ:
-
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах как
Ответ:
-
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Так как заданные кривые представляют из себя две прямые и две окружности, для упрощения расчетов перейдем к полярным координатам:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Пересечение заданных кривых образует кольцо, разделенное на 4 сектора. Таким образом условие задачи может подразумевать как нахождение площади двух противолежащих секторов меньшей площади, так и большей. Рассмотри оба случая.
Первый случай.
Фигура ограничена кривыми:
Второй случай. Фигура ограничена кривыми:
Ответ :первый случай (меньшие секторы кольца): второй случай (меньшие секторы кольца):
-
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Перейдем к полярным координатам:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Кривая в полярных координатах имеет вид:
Ответ