Вступительный экзамен 2018 / Раздел 15 (ответы)

Раздел 15. Элементарные функции комплексного переменного, их свойства.

1. Решить уравнение . Ответы записать в алгебраической форме.

Ответ:

2. Найти все значения Ответы записать в алгебраической форме.

Ответ:

3. Решить уравнение . Ответы записать в алгебраической форме.

Учитывая периодичность и четность косинуса:

Ответ:

4. Записать в алгебраической форме .

Представим число в показательной форме:

Тогда:

5. Найти .

Ответ:

6. Может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции?

Для того чтобы функция могла быть действительной частью некоторой аналитической функции необходимо, чтобы данная функция была гармонической. Другими словами должно выполняться условие . Проверим это:

Заданная функция не является гармонической, поэтому не быть действительной частью некоторой аналитической функции.

Ответ: нет.

7. Найти аналитическую функцию , такую, что

Проверим, может ли заданная функция являться мнимой частью аналитической функции.

Определим функцию сопряженную c :

Теперь найдем искомую аналитическую функцию:

Ответ:

8. Записать в алгебраической форме

9. Решить уравнение .