10. Геоцентрическая инерциальная система координат. Прямоугольные, сферические и геодезические координаты
Геоцентрическая инерциальная система координат
Применение Земли в качестве ИСО, несмотря на приближённый его характер, широко распространено в навигации. Инерциальная опорная система по определению должна быть стационарной в пространстве или движущейся с постоянной скоростью. Такая система задается следующим образом:
начало находится в центре масс Земли О;
ось z направлена по мгновенной оси вращения Земли к истинному северному полюсу мира Р;
ось х направлена в экваториальной плоскости к истинной точке весеннего равноденствия g, то есть точке пересечения плоскости истинного экватора Земли с орбитой Земли, наклоненной к экватору на угол e;
ось у дополняет систему до правой.
Строго говоря, это определение не отвечает требованиям, высказанным ранее. Центр масс Земли в такой системе движется вокруг Солнца с изменяющейся в соответствии с законами Кеплера скоростью. Однако на коротких интервалах времени эту систему координат можно считать инерциальной.
Прямоугольные, сферические и геодезические координаты
Прямоугольная система координат
Прямоугольная система координат (Декартова система координат, Картезианова система координат) прямоугольная система координат(любой размерности) — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
Описывается набором ортов (единичных векторов) сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.
Сферическая система координат
Сферическими
координатами называют систему координат
в трёх измерениях посредством задания
трёх координат
,
где
— кратчайшее расстояние до начала
координат, а
и
— зенитный и азимутальный углы
соответственно(широта и долгота).
Телом
отсчета для сферической системы координат
является сфера с радиусом
. Начало этой системы координат совмещают
с центром сферы. Координатами являются
геоцентрическая широта, долгота и
радиус-вектор. Широтой называется угол
между радиусом-вектором и плоскостью
экватора. Долгота есть угол между
плоскостью, проходящей через заданную
точку и осью вращения (плоскость
меридиана) и плоскостью меридиана,
принятого в качестве нулевого. Связь
между сферической системой и глобальной
декартовой определяется формулами
В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и отвесной линией, сферическая система координат называется астрономической.
Источник: Сферическая система координат(вики)
Геодезическая система координат
С
геодезической системой координат
связывают понятия геодезической широты,
долготы и высоты. Геодезическая широта
В есть угол, под которым пересекается
нормаль к поверхности эллипсоида с
плоскостью экватора. Долгота
-- двугранный угол между плоскостью
нулевого меридиана и плоскостью
меридиана, проходящего через заданную
точку.
Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять, что обе эти составляющие можно определить через разности между астрономическими и геодезическими координатами
|
|
|
Заметим, что геодезическая и геоцентрическая долготы совпадают. Обе они определены как двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью, содержащей ось вращения и заданную точку. Геоцентрическая же широта отличается от геодезической.
Рассмотрим
точку
,
лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки
перпендикуляр на поверхность эллипсоида
и продолжим его до пересечения с
экваториальной плоскостью. Проекцию
точки
на поверхность эллипсоида обозначим
через
Тогда
отрезок PQ
есть геодезическая высота точки
.
Угол, под которым упомянутый перпендикуляр
пересекает плоскость экватора, есть
геодезическая широта
.
Она относится как к точке Q, так и к точке
P. Геоцентрические широты этих двух
точек, как видно из рисунка, различаются.
Геоцентрическая широта точки Q угол
между радиус-вектором этой точки и
плоскостью экватора.
Геодезический азимут – двугранный угол, отсчитываемый от северной части плоскости геодезического меридиана точки по часовой стрелке до нормальной плоскости содержащей данное направление.
Установим
связь между координатами точки Q,
сжатием эллипсоида
и широтами B
и Ф.
Поскольку точка Q
лежит на поверхности эллипсоида, то ее
прямоугольные координаты
подчиняются уравнению эллипсоида
вращения:
.
Формулы для пересчета геодезических
координат B,
L
и Н
в прямоугольные x,
y, z
примут вид
где
.