- •Курсова робота
- •Анотація
- •1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1 Метод половинного ділення
- •1.2 Метод хибного положення (хорд)
- •1.3 Метод Ньютона
- •1.4 Метод січних
- •1.5 Метод простої ітерації
- •2 Алгоритми методів
- •3 Розробка програмного забезпечення
- •3.1 Вибір мови програмування
- •3.3 Структура програмного забезпечення
- •3.4 Інструкція користувачеві
- •4 Тестування програмного забезпечення
- •4.1 Тестування програми. Тест №1
- •4.2 Тестування програми. Тест №2
- •5 Аналіз отриманих результатів
- •Висновки
- •Перелік посилань
- •Додатки додаток а Схема програми
- •Додаток б Лістинг програми
1 Короткі теоретичні відомості
У задачах, що пов'язані з ідентифікацією,аналізом,оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає потреба у обчисленні нелінійних рівнянь. Існує ряд методів для вирішення нелінійних рівнянь.
Відомо багато чисельних методів для розв’язання нелінійного рівняння, але розглянемо найпопулярніші, а серед них задані на індивідуальне завдання:
метод половинного ділення;
метод хибного положення(хорд);
наступні - задані на індивідуальне завдання:
метод січних;
метод простої ітерацїї;
метод Ньютона (дотичних).
1.1 Метод половинного ділення
В цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках, що розташовані через рівні інтервали на осі х. Коли f(xn) i f(xn+1) мають протилежні знаки, знаходять ,f(xcp). Якщо знак f(xcp) збігається зі знаком f(xn), то надалі замість хn використовується хср . Якщо ж f(xcp) має знак, протилежний f(xn), тобто збігається зі знаком f(xn+1), то на хср замінюється xn+1 . За умову припинення ітераційного процесу доцільно брати умову | xn+1 – xn| < , де - задана похибка. Похибка розвязку Δ через n ітерацій знаходиться в межах:
Δ<. (1.1)
Метод має малу швидкість збіжності, оскільки інтервал, де знаходиться корінь, з кожним кроком зменшується не більше ніж в два рази.
Рисунок 1.1 - Метод половинного ділення
1.2 Метод хибного положення (хорд)
Цей метод полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів xn+1 , хn не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці
. (1.2)
Після цього визначають f(xn+1) і порівнюють його з f(xn). Надалі користуються xn+1 замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо | xn+1 – xn| < , то вся процедура повторюється спочатку.
Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається.
Похибка розв'язку оцінюється за формулою:
, (1.3)
де М1, m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.
Рисунок 1.2 - Метод хорд
1.3 Метод Ньютона
Метод Ньютона полягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступне наближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ.В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора:
(1.4)
Члени що містять h у другому і більших степенях відкидаються і в результаті отримується наближена формула для оцінки Хn+1:
хn+1 = хn – , (1.5)
але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певну похибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступної умови: <Δ, де дельта певна задана похибка. Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f’(x)перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f ’’(x) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.
Початкове наближення слід вибирати з умови:
(1.6)
Грубо оцінити похибку для методу можна так:
, (1.7)
де М2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі
[xn, xn+1].
Рисунок 1.2 - Метод Ньютона